数据的收集与整理数据的描述与处理、统计的选择与应用、概率.ppt

(二十八) 数据的收集与整理 1、要知道本班同学所喜爱爱的学科可进进行（ ） （A）观观察 （B）查询查询 （C）调查调查 （D）了解 C 数据收集的基本方法: (1)直接途径:数数、观观察、测测量、调查调查 、实验实验 并记录记录 等 (2)间间接途径:查询查询 、查阅查阅 文件、报报刊、上网及计计算等 1、请把左边要获取数据的事件与右边获取 数据的方法用线连接。 观察 测量 实验 调查 一周来小明家每天的用电量 9：0011：00在某交通路 口的闯红灯的次数 七年级（2）班同学最喜爱的 体育活动 用显微镜了解细胞的结构。 2、为了考察4名篮球运动员投篮的命中率，让每位运动员投篮10次。 （1）你认为需要获取哪些数据？如何去获取这些数据？ （2）若记录员记 下这4名运动员投篮命中次数如下： 甲:正 乙 :正 丙 :正 丁:正 请将数据整理后填入下表： 甲乙丙丁 命中次 数 6985 命中率 % 观观察记录记录 的方式 60 90 80 50 3、某班男同学一次数学考试试成绩为绩为 ：72，80，71，52，84， 91，81，77，86，53，93，76，89，77，40，75，82，90， 85，83，78，90，55，59 （1）为为了更直观观地比较较成绩绩，可对对数据作怎样样的整理？ （2）根据这这些数据你得到那些信息？ 解：排序 分类类排序、分组编码组编码 是 数据整理的主要方法 例如：90分及以上有4人，60分以下有5人等 4、请请指出下列问题问题 适合用普查还查还 是用抽查查： （1）日光灯管厂要检查检查 一批灯管的使用寿命； （2）银银行收进储进储 蓄现现金时时想知道有没有假钞钞； （3）想知道西湖的水质质； （4）了解居民对废电对废电 池的处处理情况。 抽查查 抽查查 抽查查 普查查 5、为为了了解某地区初一年级级7000名学生的体重情况。 从中抽取了500名学生的体重，就这这个问题问题 来说说。 下面说说法正确的是（ ） （A）7000名学生是总总体 （B）每个学生是个体 （C）500名学生是所抽取的一个样样本 （D）样样本容量是500 D 6、某中学八年级进级进 行了一次数学测验测验 ，参加考试试人数共540人， 为为了了解这这次数学测验测验 成绩绩，下列所抽取的样样本中较为较为 合理的 是（ ） （A）抽取前100名同学的数学成绩绩 （B）抽取后100名同学的数学成绩绩 （C）抽取（1）、（2）两班同学的数学成绩绩 （D）抽取各班学号个位是3的同学的数学成绩绩 D 现现行国家标标准鞋号，根据 脚的长长度，如图图：以10mm为为 一个号，5mm为为半个号确定， 如果脚长是24.825.2cm,可以选25号鞋; 如果脚长是25.325.7cm,可以选25.5号鞋. 2.小亮的脚长26.7厘米，鞋号应是 号。 1. 小明的脚长25.1厘米，鞋号应是 号。25 26.5 观察右表,回答问题. 3.小王选了24号鞋，那么他的脚长约是 大于等于 厘米且小于 厘米 23.824.3 分组、编码是整理数据的一种重要方法分组、编码是整理数据的一种重要方法 脚长（cm)鞋号 21.8L22.3 22 22.3L22.8 22.5 22.8L23.3 23 23.3L23.8 23.5 23.8L24.3 24 24.3L24.8 24.5 24.8L25.3 25 25.3L25.8 25.5 25.8L26.3 26 26.3L26.8 26.5 （二十九） 数据的描述与处处理 (1)概念:一般地,如果有n个数 我们把 叫做这n个数的算术平均数,简称平均数, 记作 , 读作 x 拔”. (2)在实践中,常用样本的平均数来估 计总体的平均数. 1.方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据的方差. 2.方差：用来衡量一批数据的波动大小(即这批数 据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下, 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 3.标准差:方差的算术平方根叫做标准差. S2= (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 S = (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 计算一组数据的方差的一般步骤： 1、利用平均数公式计算这组数据的平均数X 2、利用方差公式计算这组数据的方差S2 中位数定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中 间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这 组数据的中位数。 众数的定义： 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的 众数。 如上表中的1350 如上表中的1200 中位数 众数 员员工总总工 程师师 工程 师师 技术术 元A 技术术 元B 技术术 元C 技术术 元D 技术术 元E 技术术 元F 技术术 元G 见习见习 技术术 元H 工资资500040001800 170015001200120012001000400 三种统计图的特点 条形统计图扇形统计图折线统计图 条形统计图能清条形统计图能清 楚地表示出每个项目楚地表示出每个项目 的具体数目。的具体数目。 扇形统计图能清扇形统计图能清 楚地表示出各部分在楚地表示出各部分在 总体中所占的百分比总体中所占的百分比. . 折线统计图能折线统计图能 清楚地反映事物的清楚地反映事物的 变化情况。变化情况。 频数及其分布 频数与频率（极差、频数、频率） 频数分布表 频数分布直方图 频数分布折线图 应用 知识点1 极差： 一组数据的最大值与最小值的差。 极差是反映一组数据变化范围大小的指标 知识点2 频数与频率的概念： 落在各小组内的数据个数叫做频数 每一组频数与数据总数（或实验总次数）的比叫做频率 频数分布表的绘制步骤： 1、计算极差； 2、确定组距与组数；3、确定分点； 4、绘制频数分布表；记住：要写上分布表 的名称 (1)(1)被测身高的学生有多少人被测身高的学生有多少人? ?组距是多少？组距是多少？ 4+9+12+8+3=36(4+9+12+8+3=36(人人) )158-153=5(cm)158-153=5(cm) （2 2）自左至右最后一组的频数、频率分别是多少？）自左至右最后一组的频数、频率分别是多少？ 3 3 3 3 36=11236=112 （3 3）频数最大的是哪一组？并说明该组的值中值和边界值）频数最大的是哪一组？并说明该组的值中值和边界值. . 自左至右的第三组（自左至右的第三组（ 160.5165.5cm160.5165.5cm这一组）这一组） 160.5cm160.5cm和和165.5cm165.5cm163cm163cm 160.5 165.5 （4 4）估计样本的中位数是多少？）估计样本的中位数是多少？ 因为因为3636个数从小到大排列，中位数是第个数从小到大排列，中位数是第1818、1919个个 数的平均数，这两个数均落在第三组，由此估中数的平均数，这两个数均落在第三组，由此估中 位数是位数是163cm163cm （5 5）估计样本的平均数是多少？）估计样本的平均数是多少？( (精确到精确到0.1cm)0.1cm) 162.6cm162.6cm （6 6）身高在）身高在160cm160cm以上的有多少人？以上的有多少人？ 占总人数的百分之几？占总人数的百分之几？( (精确到精确到0.1%)0.1%) 2323人人 63.9%63.9% 160.5 3 6 9 12 0 5 109 5 18212427 数据共29个，按从小到大排列，中位数应是第15 个数据，落在第2组，可估计中位数大于19.5,小 于22.5，可以用组中值来作为估计数，即21 3 6 9 12 0 6 109 7 6789 数据共32个，按从小到大排列，中位数应是 第16、17个数的平均数，即7.5，的第二组与 第三组的交界值. 例4 测量36名老人的血压，获得每位老人的舒张压数据如下(单位：毫米汞柱)： 100，110，80，88，90， 80， 87， 88， 90，78，120，80， 82， 84， 88，89，72，100，110，90， 80，85， 86，88， 90， 88， 87，85，70， 80， 88， 89， 90， 92， 85，84. （1）按组距10毫米汞柱将数据分组，列出频数分布表； 组别组别 （毫米汞柱）频频数组组中值值（毫米汞柱） 69.579.5374.5 79.589.52284.5 89.599.5694.5 99.5109.52104.5 109.5119.52114.5 119.5129.51124.5 36名老人的血压，获得每位老人的舒张压的频数分布表 （2）画出频数分布直方图；（3）画出频数分布折线图； 组别组别 （ 毫米汞 柱） 频频 数 组组中 值值（ 毫米 汞柱 ） 69.5 79.5 374.5 79.5 89.5 2284.5 89.5 99.5 694.5 99.5 109.5 2104.5 109.5 119.5 2114.5 119.5 129.5 1124.5 36名老人的血压，获得每位 老人的舒张压的频数分布表36名老人的血压，获得每位老 人的舒张压的频数分布直方图 2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 74.5 84.5 94.5 104.5 114.5 124.5 频数（人） 舒张压 组别组别 （ 毫米汞 柱） 频频 数 组组中 值值（ 毫米 汞柱 ） 69.5 79.5 174.5 79.5 89.5 284.5 89.5 99.5 1294.5 99.5 109.5 18104.5 109.5 119.5 6114.5 119.5 129.5 1124.5 36名老人的血压，获得每位 老人的舒张压的频数分布表 36名老人的血压，获得每位老 人的舒张压的频数分布折线图 2 0 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 74.5 84.5 94.5 104.5 114.5 124.5 频数（人） 舒张压 64.5 134.5 5 15 25 35 0 10 20 30 40 频数（人） 年龄（岁） 1 11 38 25 14 8 6 5 515253545556575 练习：1、 国家卫生部信息统计中心根据国务院新闻办公室发布的全国 内地2003年5月21日至5月25日非典型性肺炎发病情况，按年龄段进行 统计，如图所示（每组包括前一个边界值，不包括后一个边界值） 1、全国内地2003年5月21 日至5月25日共有 人患 非典型性肺炎； 2、年龄在1020（岁） 这一组的人数是 人， 占发病总人数的百分比是 ； 3、根据图形，年龄在 （岁）范围内人数发病最多； 4、你能估计出这里所有患者年龄的平均数是多少？中位数是多少？ 108 11 10.2% 2030 3 5 7 4 2.53.54.55.56.5 组别 频数（个） 练习2：一个样本的频数分布直方图如图，则这个样本的中位数约是（ ） （A）4.5 （B）3.5 （C）5 （D）5.5 C 中位数-数据奇数个，最中间数据在哪一组，则就是那 组的组中值。 数据偶数个，最中间两个数据若在同一组，则就是那组 的组中值；若分在相邻两个组，则是相邻两组组中值的 平均数. 注意 1.某养殖户养殖鸡、鸭、鹅数量的扇形统计图如图所示 (1)统计图中各个扇形的圆心角分别是多少度？ (2)如果这个养殖户养鸭450只，那么养鸡、鹅各多少只？ 解：（1）圆心角分别是 216、108、36 （2）鸡300只、鹅50只 三种基本统计图:条形统 计图、折线统计图、扇形 统计图 2。学期结结束前，学校向全体600名学生作了营营养午餐满满意程度的 问问卷调查调查 ，其结结果如下： 反馈馈意见见偏向满满意 反馈馈意见见偏向不满满 意 非常满满意150非常不满满 意 40 满满意300不满满意110 （1）计计算每一种反馈馈意见见所占总总人数的比例（精确到1）； （2）绘绘制4种反馈馈意见见的扇形统计图统计图 。 解：（1）非常满意25%、满意50%、 非常不满意7%、不满意18% （2）圆心角依次为90、180、 25.2、64.8 3一个样样本有20个数据：35，31，33，35，37，39，35， 38，40，39，36，34，35， 37，36，32，34，35，36，34。在列频频数分布表时时，如果组组 距为为2。则应则应 分成_组组， 其中32.534.5这这一小组组的频频数为为_。 一组组数据的最大值值与最小值值的差叫做极差 数据分组组后落在各小组组内的数据个数为频为频 数 每一组频树组频树 与数据总总数（或实验总实验总 次数）的比 叫做这这一组组数据（或事件）的频频率 数据个数在100以内时时通常按数据的多少分成512组组 5 4 4对对100个数据进进行分组组整理后，各组组数据的频频数之 和与频频率之和分别别等于（ ） （A）100，1 （B）100，100 （C）1，100 （D）1，1 频频率之和等于1 A 5、如图图是901班学生在一次体检检中每分钟钟脉搏跳动动次数的频频数 分布折线图线图 ，根据折线图线图 回答下列问题问题 ： （1）901班有多少学生？ （2）组组距是多少？ （3）组组中值值是75次一组组的频频率是多少？ 解:（1）901班有50名学生 （2）组距是10次 （3）组中值是75次一组的 频率是0.4 数据的分布图： 频数分布直方图、 频数分布折线图 5、青少年视视力水平下降已引起社会的广泛关注，为为了了解某市 5000名初中毕业毕业 生的视视力情况，我们们从中抽取了一部分学生的 视视力作为样为样 本进进行数据处处理，得到频频数分布表和频频数分布直方图图 （1）根据表中数据，补补全频频数分布表和频频数分布直方图图； （2）画出频频数分布折线图线图 ； （3）视视力在哪个范围围内的学生最多？ （4）若视视力在4.85以上属于正常，不需要矫矫正，试试估计该计该 市5000 名初中毕业毕业 生中约约有多少名学生的视视力不需要矫矫正。 20 50 0.16 0.40 0.32 4.554.85 2000人 7、某班第一小组组有12人，一次数学测试测试 成绩绩如下：85，96，74， 100，96，85，79，65，74，85，65，80，这这12个同学的平均成 绩绩是_，众数是_，中位数是_。82 8582.5 8、某校学生在希望工程献爱爱心的活动动中，省下零用钱为钱为 山区失学 儿童捐款，九年级级（3）班同学捐款数额额如下：10元8个，15元14 个，20元7个，25元5个，30元9个，40元2个，50元5个，则该则该 班同 学平均捐款_元。 23.1 9、某瓜农农采用大棚栽培技术术种植了一片良种西瓜，生产产西瓜 约约800个，在西瓜上市前该该瓜农农随机摘了10个成熟的西瓜，称 重如下： 西瓜质质 量（kg ） 5.55.45.04.94.64.3 西瓜数 量（个 ） 123211 1.在这这个样样本中其众数、中位数、平均数各是多少？ 2.试试估计这计这 片地的西瓜产产量约约是多少？ 解：(1)众数、中位数、平均数分别是5.0、5.0、5.0 (2)估计这片地的西瓜产量约是4000kg 10、某服装销销售商在进进行市场场占有率的调查时调查时 ，他最应该应该 关注 的是（ ） （A）服装型号的平均数 （B）服装型号的众数 （C）服装型号的中位数 （D）服装型号的极差 B 11、数学老师对师对 小明参加中考前的5次数学模拟拟考试试成绩进绩进 行 统计统计 分析，判断小明的数学成绩绩是否稳稳定，于是老师师需要知道 小明这这5次成绩绩的（ ） （A）平均数或中位数 （B）方差或极差 （C）众数或频频率 （D）中位数或平均数 B 12、已知数据7，9，19，a，17，15的中位数是13， 则则它们们的方差是_。 13、某农场农场 种植甲、乙两种不同的水稻，6年中各年每 公顷顷的平均产产量如下（单单位：kg）： 甲：450，458，450，425，455，462； 乙：446，476，473，429，432，444。 问问哪个品种的水稻产产量比较稳较稳 定？ （三十） 统计统计 的选择选择 与应应用 (1)概念:一般地,如果有n个数 我们把 叫做这n个数的算术平均数,简称平均数, 记作 , 读作 x 拔”. (2)在实践中,常用样本的平均数来估 计总体的平均数. 小结：谈谈自己这节课已学到什么？ 1.方差:各数据与平均数的差的平方的平均数叫做这 批数据的方差. 2.方差：用来衡量一批数据的波动大小(即这批数 据偏离平均数的大小).在样本容量相同的情况下, 方差越大,说明数据的波动越大,越不稳定. 3.标准差:方差的算术平方根叫做标准差. S2= (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 S = (x1-x)2+(x2-x)2+ +(xn-x)2 计算一组数据的方差的一般步骤： 1、利用平均数公式计算这组数据的平均数X 2、利用方差公式计算这组数据的方差S2 中位数定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中 间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这 组数据的中位数。 众数的定义： 在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的 众数。 如上表中的1350 如上表中的1200 中位数 众数 员员工总总工 程师师 工程 师师 技术术 元A 技术术 元B 技术术 元C 技术术 元D 技术术 元E 技术术 元F 技术术 元G 见习见习 技术术 元H 工资资500040001800 170015001200120012001000400 7、6、15、6、15、1 你认为下面这组数中众数是 哪个数据？ 注意: 2、众数是一组数据中出现次数最多的数据，是一 组数据中的原数据，而不是相应的次数不计算。 1、求中位数要将一组数据按大小顺序，而不一定要 计算，顾名思义，中位数就是位置处于最中间的一个 数（或最中间的两个数的平均数），排序时，从小到 大或从大到小都可以 数 据中位数众数 15，20，20，22，35， 15，20，20，22，35，38 15，20，20，22，35，35 3，0，-1，5，5，-3，14 练习完善建构 1.如何求一组 数据的中位数 ？ 2.众数是否惟 一？ 20 21 21 3 20 20 20和35 5 2、在一组数据 1，0，4，5，8中插入 一个数据X，使该组数据的中位数 为3，则插入数据X =（ ）2 平均数、众数及中位数都是描述一组数据的集中趋势 的特征数，但描述的角度和适用范围有所不同。 平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系 ，其中任何数据的变动都会相应引起平均数的变动； 众数着眼于对各数据出现的频数的考察，其大小 只与这组数据中的部分数据有关。当一组数据中有不 少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一 种统计量； 中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的 变动对它的中位数没有影响。当一组数据中的个别数 据变动较大时，可用它来描述其集中趋势。 1、有下列说说法：通常用样样本平均数去估计总计总 体平均数； 如果样样本方差越大，可以估计总计总 体的波动动就越大； 样样本容量越大，对总对总 体的估计计就越精确； 样样本方差一定等于总总体方差。其中正确的是（ ） （A） (B) (C) (D) B 2、如图图所示的两幅统计图统计图 中，反映了某市甲、乙两所中学生 参加课课外活动动的情况，请请你通过图过图 中信息回答下面的问题问题 ： （1）通过对过对 以上两个统计图统计图 的分析，分别别写出一条你认为认为 正 确的结论结论 ； （2）根据统计图统计图 的信息，谈谈谈谈 自己的感想（不超过过30字）。 04年两校参加课外活动的学生数相同; 05、06年参加课外活动的学生数甲校比乙校多； 甲校参加课外活动的学生增长率要比乙校高； 03年乙校参加科技活动的学生比例要比甲校大。 （2）根据统计图统计图 的信息，谈谈谈谈 自己的感想（不超过过30字）。 学生是否参加课外活动和参加的项目与学校的传统特色、 学校的引导是有关的，甲校的文体活动氛围比较浓，文体 活动开展比较普遍，而乙校的科技活动氛围比较浓，科技 活动开展比较普遍 3、小军军想分析自己最后五次数学考试试是否发挥稳发挥稳 定，他需要求 出这这五次考试试的（ ） （A）平均数和众数 （B）众数和中位数 （C）中位数和方差 （D）极差和标标准差 D 4、有15位同学参加智力竞赛竞赛 ，且他们们的分数互不相同， 取8位同学进进入决赛赛，某人知道了自己的成绩绩后，还还需 要知道这这15位同学的分数的什么量，就能判断自己能不 能进进入决赛赛（ ） （A）平均数 （B）众数 （C）中位数 （D）最高分 C 5、为为了调查调查 学生参加课课外体育锻炼锻炼 的情况，老师进师进 行了问问卷 调查调查 。随意抽查查一张调查张调查 表，这这位同学反映：从周一到周五 每天在操场场上运动动1小时时，周六去游泳池游泳2小时时，周日去 登山4小时时。求这这位学生参加课课外体育锻炼时间锻炼时间 的平均数、中 位数和众数。在考虑虑他参加课课外体育锻炼锻炼 情况时时，你认为选认为选 用这这些数据的平均数好还还是众数好？为为什么？ 平均数为 h,中位数为1h,众数为1h.在考虑他 参加课外体育锻炼情况时可选择众数更具有代表性，因 为平均数要受周日极端数据的影响，而众数则反映了七 天中五天 的锻炼情况。 6.小明身高1.63m，在一个平均水深为为1.4m的游泳池中游泳， 因为为小明的身高超过过1.4m，所以小明不会有危险险。这这个判 断是否正确？请简单说请简单说 明理由。 产品质量 A（频数） B（频数） 优等品1630 合格品26 次品24 7.下面表格是A、B两位工人制作某种产产品质质量的 频频数分布表： 根据此表，下列判断不正确的是（ ） （A）两工人的次品率一样样高 （B）B工人比A工人制作合格品的水平高 （C）两工人制作优优等品的水平一样样高 （D）B工人比A工人制作优优等品的水平高 D 7、某校九年级级一班、二班各有49名学生，两班在一次实验测试实验测试 中的成绩统计绩统计 如下表： 班级级平均分众数中位数标标准差 九年级级一班79708719.8 九年级级二班7970795.2 （1）一班的小明回家对对爸爸说说：“昨天的实验测试实验测试 ，全班平均分 是79分，得70分的人数最多，我得了85分，在班里可算得上上游 游水平了！”请请你对对小明的话话予以简简要的分析。 从平均分、众数看，小明的话没错，但从中 位数87分看小明的85分在班级中属于中等偏 下一点。 7、某校九年级级一班、二班各有49名学生，两班在一次实验测试实验测试 中的成绩统计绩统计 如下表： 班级级平均分众数中位数标标准差 九年级级一班79708719.8 九年级级二班7970795.2 （2）请请你根据表中数据，对这对这 两个班的测试测试 情况进进行简简要分析， 并提出一些建议议。 从中位数看： 从平均分和众数看： 从方差、标准差看： 两班的总体水平差不多 一班的优分人数要比二班多 一班的两极分化比较严重，而二班则比较平衡 建议议：一班在教学中要多关注基础础促平衡；二班在教学中要 关注难题难题 的训练训练 ，抓培优优。 8.随着课课改的深入，我省的高中招生及学校对对学生的评评定越来 越注重对对学生综综合素质质的评评定。下表是两位学生的五项项素质质 考评评得分表（以分为单为单 位，每项满项满 分10分）： 学生 品德考试试成 绩绩 身体素质质艺术类艺术类信息和实实 验验 甲10106107 乙108988 (1)请问请问 两位同学的考评评分中的平均分、中位数、众数和方差有 那些异同？ (2)从不同方面对对两位同学的得分情况作出评评价； (3)你觉觉得根据以上的评评价来衡量某同学综综合素质质的好坏是否合理？ 若合理请阐请阐 明你的观观点；若不合理，请给请给 出一个更合理的评评价 方案。 9.某集团对应团对应 聘者甲、乙、丙进进行面试试，并从专业专业 知识识、工作 经验经验 、仪仪表形象三方面给应给应 聘者打分，每一方面满满分20分，最 后的打分制成条形统计图统计图 利用图图中提供的信息，在专业专业 知识识方面3人得分的极差是多少？ 在工作经验经验 方面谁谁最有优势优势 ？在仪仪表形象方面3人得分的众数是 多少？ 如果专业专业 知识识、工作经验经验 、仪仪表形象三个方面的重要性之比为为 10：7：3，那么作为为人事主管，你应该录应该录 取哪一位应应聘者？为为什么？ 在（2）的条件下，你对对落聘者有何建议议？ 9.某市体校准备备挑选选一名跳高运动员动员 参加全市中学生运动动会， 对对跳高运动队动队 的甲、乙两运动员进动员进 行了八次选选拔赛赛，他们们的 成绩绩如下（单单位：m）： 甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 若预测预测 ，跳过过1.65m就可能获获得奖奖牌，该该校为为了获获得奖奖牌， 可能选选哪位运动员动员 参赛赛？为为什么？ 若预测预测 ，跳过过1.70m才可能获获得奖奖牌，该该校为为了获获得奖奖牌， 可能选选哪位运动员动员 参赛赛？为为什么？ （三十一） 概率的计计算与应应用 1.