初三数学竞赛辅导教程.docx

1.1因式分解1、 常用公式或变形方法（此处只列出教科书以外的常用于竞赛中的内容）1.2.3. （在已知和时此公式常变形为）4.2、 例题讲解例1. 已知a、b、c是ABC的三条边，且满足，试判断ABC的形状.例2. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23倍，求这三个素数.（2015大同杯第四题）例3. 已知实数a、b、c满足，求的值.（2003年宇振杯第3题）例4. 已知，求证：3、 练习题1. 已知整数a、b满足，求的值.2. 已知，求的值.3. 已知a、b、c是不全相等的实数，且，求：（1） 的值（2） 的值4. 化简：（2014大同杯第1题）5. 设非零实数a，b，c满足，求的值.（2013年全国初中数学联赛第一试第1题）6. 已知正数a、b、c满足，求的值.7. 已知：，求的值.（2016全国初中数学联赛第二试B组第2题）1.2对称式与轮换对称式一、定义1. 一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式不变，那么，就称这个代数式为元对称式，简称对称式。例如，都是对称式。2. 如果一个多项式的各项的次数均等于同一个常数，那么称这个多项式为齐次多项式。3. 一个元代数式，如果交换任意两个字母的位置后，代数式均改变符号，那么就称这个代数式为元交代式。例如，均是交代式。4. 如果一个元代数式，如果将字母：以代，代代代后代数式不变，那么称这个代数式为元轮换对称式，简称轮换式。对称式一定是轮换式，但轮换式不一定是对称式。例如，是对称式也是轮换式；是轮换式，但不是对称式。二、例题讲解例1. 已知，a，b，c是ABC的边，且，求此三角形的面积.例2. 满足方程的非负整数解有几组？（2014大同杯第4题）例3. 设x、y、z是三个互不相等的数，且，求xyz的值.例4. x1、x2、y1、y2满足x12+x22=2，x2y1x1y2=1，x1y1+x2y2=3求y12+y22的值.三、练习题1. 已知，求的值.2. 若数组（x，y，z）满足下列三个方程：，求xyz的值.3. 已知b0，且a+b=c+1，b+c=d+2，c+d=a+3，求a+b+c+d的最大值4. 不定方程的整数解共有几组？（2015大同杯第7题）5. 已知bca2=5，cab2=1，abc2=7，求6a+7b+8c6. 已知实数a、b、c，且，若实数x1、x2、y1、y2满足x12+ax22=b，x2y1x1y2=a，x1y1+ax2y2=c求y12+ay22的值.（2007新知杯第5题）1.3高斯函数1、 定义实数x，用x表示不超过x的最大值整数，则y=x称为高斯函数.二、例题讲解例1. 表示不大于的最大整数，求方程的所有实数解.（2006新知杯第6题）例2. 对于正整数n，设是最接近的整数，求（2017全国数学联赛第一试第6题）例3. 给定正实数a，对任意一个正整数n，记，这里，表示不超过实数x的最大整数。（1） 若，求a的取值范围；（2） 求证：（2012新知杯11题）2、 练习题1. 用表示不超过的最大整数，把称为的小数部分.已知，是的小数部分，是的小数部分，求.（2016全国数学联赛第一试第1题）2. 如果a为任意实数，用a表示不大于a的最大整数，例如-5 = -5，-2,3 = -3，=1，设x、y满足方程，求x+y.3. 用表示不超过的最大整数，求方程的所有实数解.4. 设表示不超过实数的最大整数，直至2016项，其中分母为的一段共有项，只有最后一段可能不足项，求的值.（2016大同杯第6题）5. 设表示不超过实数的最大整数，正整数n小于100且满足，这样的正整数n有几个？（2000年全国初中数学联赛第一试第4题）6. 设表示不超过t的最大整数，令. 已知实数x满足，求.（2014全国初中数学联赛第5题）7. 设表示不超过实数的最大整数，求方程- 8x + 7 = 0的所有解的平方和8. 求满足不等式的最大正整数，其中表示不超过实数的最大整数.（2008新知杯第五大题）1.4 概率一、基本概念1. 排列（1）排列的定义：从n个不同元素中，任取m(mn）个元素按照一定的顺序排成一列。（2）排列的计算公式：；使用计算器时先输入n的值，然后按P按钮，再输入m的值。2. 组合（1）组合的定义：从n个不同元素中，任取m(mn）个元素并成一组。组合与排列的区别是组合是无序的，而排列是有序的。（2）组合的计算公式：；使用计算器时先输入n的值，然后按C按钮，再输入m的值。二、例题讲解例1. 有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，求取出的3个小球的编号和为奇数的概率.（2015大同杯第2题）例2. 从三边长均为整数且周长为24的三角形中任取一个，求它是直角三角形的概率.（2015全国初中数学联赛第一试填空第2题）例3. 三对夫妻排成一排照相，求仅有一对夫妻相邻的概率.三、练习题1. 同时投掷两颗骰子，P（a）表示两颗骰子朝上一面的点数之和为a的概率，求 P（1）+P（2）+P（3）+P（4）+P（5）的值.（2012新知杯第2题）2. 从编号分别为，的张卡片中任意抽取张，求抽出卡片的编号都大于等于的概率.（2011新知杯第3题）3. 6张不同的卡片上分别写有数字2，2，4，4，6，6，从中取出3张，求这3张卡片上所写的数字可以作为三角形的三边长的概率.（2014全国初中联赛第一试第4题）4. 从正12边形的顶点中取出4个顶点，求它们两两不相邻的概率.5. 某校初三年级举行一次演讲赛共有10位同学参赛，其中一班有3位，二班有2位，其它班有5位，若采用抽签的方式确定他们的演讲顺序，则一班有3位同学恰好被排在一起（指演讲序号相连）且二班的2位同学没有被排在一起的概率是多少？6. 已知5件产品中有3件合格品，2件次品。每次任取一个检验，检验后不再放回，求恰好经过3次检验找出2件次品的概率.1.5 单元测试一一、填空题1. 从1到9这九个数字中任取两个数，它们的乘积是偶数的概率是_2. 已知，则的值为_3. 用表示不大于的最大整数，则方程的解的个数为 _4. 若实数a，b，c满足，代数式的最大值是_5. 用表示不超过的最大整数，已知方程=x 3，那么满足方程的x是_6. 若实数a、b、c、d满足a2+b2+c2+d2=10，则y=(a-b)2+(a-c)2+(a-d)2+(b- c)2+(b-d)2+(c-d)2的最大值是 7. 设表示不大于的最大整数，如，若，则 8. 已知，且（表示不超过的最大整数），则=_二、解答题9. 已知a、b、c0，求证：a3+b3+c33abc10. 设a，b，c，d是四个整数。且使得是一个非零整数，求证：一定是合数.11. （1）用表示不超过的最大整数，对于任意实数，求证：（2）求的值12. 试确定一切有理数r，使得关于x的方程有根且只有整数根.2.1 不定方程一、例题讲解例1. 求满足方程的所有实数对.（2010新知杯第2题）例2. 不定方程的整数解共有多少组？（2015大同杯第7题）例3. 求方程的整数解.（2000弘晟杯第8题）二、练习题1. 求不定方程的整数解2. 方程xyz=2009的所有整数解有多少组？（2009新知杯第8题）3. 方程，、都是正整数，求该方程的正整数解.4. 已知正整数满足:，求.（2015全国初中数学联赛填空第4题）5. 已知三整数、之和为13且，求的最大值和最小值，并求出此时相应的与的值.6. 已知为整数，若关于的二次方程有有理根，求值.7. 已知正整数a，b，c满足，求的最大值.（2013全国数学联赛第一试填空第8题）2.2 特殊方程（组）的解法一、例题讲解例1. 已知是不为0的实数，求解方程组：（2013新知杯第10题）例2. 设、均为非零数，解方程组：例3. 关于的方程组有实数解，求正实数的最小值（2006新知杯第三题）例4. 解方程：例5. 解方程：二、练习题1. 已知实数满足如下方程组，求的值.（2006新知杯第2题）2. 解方程：3. 解关于x的方程：（2014大同杯第9题）4. 解方程组：（2012新知杯第10题）5. 解方程：6. 解方程组：2.3 韦达定理一、例题讲解例1. 已知二次函数的图像与轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，则的取值范围.（2006新知杯第4题）例2. 已知a，b，c，d四个不相等的实数，满足c，d是方程的两实根，a，b是的两实根，求a+b+c+d.（2017大同杯第8题）例3. 整数满足，且关于的一元二次方程的两个根均为正整数，求.（2010新知杯第7题）例4. 已知矩形ABCD的相邻两边长为a、b，是否存在另一个矩形ABCD，使它的周长和面积分别是矩形ABCD的周长和面积的？证明你的结认论。（2005宇振杯第二题）例5. 设实数满足，求的值（2014全国数学联赛第三题）二、练习题1. 在ABC中，C=90，A、B、C的对边顺次为a、b、c，若关于x的方程的两根平方和为10，求的值.（2007新知杯第3题）2. 已知关于x的方程有实根，并且所有实根的乘积为2，求所有实根的平方和.（2009新知杯第4题）3. 设a，b是方程的两个根，c，d是方程的两个根，求的值.（2009新知杯第6题）4. 已知a，b，c，d四个不相等的实数，满足a，b是的两实根，c，d是方程的两实根，求a+b+c+d.（2017大同杯静安区初赛第9题）5. 设二次函数的图象过两点P，Q且与轴的交点为A、B，与轴的交点为C.如果关于的方程的两个根都是整数，求ABC的面积.（2010全国数学联赛第二试第三题）2.4 单元测试二一、填空题1. 实数满足方程组其中是实常数,且,用“”号连接：_2. 如果方程的两根之差等于1，那么p=_3. 如果 ，那么= 4. 实数x，y满足，且，则x+y=_5. 已知x、y是正整数，并且，则=_6. 在直角坐标系中，坐标都是整数的点称为整点，设为整数，当直线的交点为整数时，可以取的值有_个7. 若实数x、y满足，则x+y=_8. 已知是正整数，且满足是整数，则这样的有序数对共有_对3、 解答题9. 已知a，b，c满足方程组：，求方程的根.10. 设关于x的二次方程的两根都是整数求满足条件的所有实数k的值11. 已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值.12. 已知实数m、n满足和，求的值.3.1 基本不等式一、基本概念与公式1. 基本不等式：当a0，b0时，当且仅当ab时取等号2. 文字描述：设a0，b0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数3.公式变形（1）实数a、b，a2b22ab，当且仅当ab时取等号；（2）实数a、b同号时，2，当且仅当ab时取等号；（3）实数a、b，当且仅当ab时取等号；（4）实数a、b，当且仅当ab时取等号4.注意点（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”；（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”2、 例题讲解例1. 若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4，求(x+y)(y+z)的最小可能值.（2002宇振杯第9题）例2. 已知x，y为非负实数，满足，求xy的最大值.（2017大同杯第10题）例3. 设是给定的正实数， 是给定的大于1 的整数，实数 满足，求的最大值.（2015大同杯第8题）例4. 如图，在RtABC中，C=90，BC=2，AC=x，点F在边AB上，点G、H在边BC上，四边形EFGH是一个边长为y的正方形，且AE=AC.（1） 求y关于x的函数关系式（2） 当x取何值时，y取得最大值？并求出y的最大值.（2007新知杯第二题）3、 练习题1. 已知x0，y0，且2xy1，求的最小值.2. 设ab0，求a2的最小值.3. 已知，四边形是正方形且边长为1，求的最大值.（2013新知杯第9题）4. 若正数a，b满足，求的最小值.（2015全国数学联赛第二试B组第一题）5. 设实数，且满足，求的最大值.3.2 函数的最值一、例题讲解例1. 将个数，排列为，使得的值最小，求这个最小值.（2011新知杯第4题）例2. 已知实数x，求的最小值.（2017大同杯第二题）例3. 已知实数x，y满足xy-x-y=1，求的最小值.（2015全国数学联赛A组第一试第5题）例4. 已知非负实数满足，求的最大值.（2014全国数学联赛第一试第2题）二、练习题1. 不等式对于一切实数都成立.则实数的最大值.（2008新知杯第2题）2. 已知实数x,y满足，求的最大值.（2015全国数学联赛B组第一试第4题）3. 已知实系数一元二次方程ax2+2bx+c=O有两个实根x1、x2，若abc，且a+b+c=0，求d=|x1-x2|的取值范围（2004宇振杯第9题）4. 设实数满足 1求则的最大值.（2016全国数学联赛第一试第6题）3.3 二次函数一、例题讲解例1. 若实数使得二次函数当时，恒有, 求的最大值.（2016大同杯第7题）例2. 已知为四个正的常数，则当实数满足时，求的最小值.（2016大同杯第8题）例3. 已知二次函数的图像与轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，求的取值范围.（2006新知杯第4题）例4. 某学生为了描点作出函数y=ax2+bx+c(a0)的图象，取自变量的7个值：，且，分别算出对应的的值，列出下表：xx1x2x3x4x5x6x7y51107185285407549717但由于粗心算错了其中一个y值。请指出算错的是哪一个值？正确的值是多少？并说明理由.（2003宇振杯第四题）二、练习题1. 已知点在二次函数的图像上，则当图像上的点的横坐标时，求它的纵坐标的值.（2016大同杯第3题）2. 已知二次函数的图象的顶点在第二象限，且过点.当为整数时，求的值.（2016全国数学联赛B组第一试第3题）3. 已知关于正整数n的二次式y=n2+an(a为实常数)若当且仅当n=5时，y有最小值，求实数a的取值范围（2002宇振杯第4题）4. 抛物线顶点A在x轴上交y轴于C，AC=，有，过点A且交抛物线于另一点B，求B点坐标.（2017大同杯徐汇区初赛第6题）3.4 单元测试三一、填空题1. 若a0，b0，且a2b20，则ab的最大值为_2. 抛物线与x轴的两个交点分别位于点（2，0）的两旁，那么a的取值范围是 3. 设a，b都是实数，函数，若对任意实数b，方程有两个相异的实根，则实数a的取值范围为_4. 当x0时，则f(x)的最大值为_5. 若,则的最大值是_6. 当时，函数的最大值是_7. 设x为正数，则函数的最小值是_8. 二次函数的图象与轴正方向交于A，B两点，与轴正方向交于点C已知，则_二、解答题9. 直角三角形斜边为c，直角边为a、b，求证：.10. 设A、B是抛物线上的点，原点是线段AB的中点，求A、B两点的坐标.11. a、b、c为实数，且，证明：关于x的方程有大于而小于1的根.12. 如图，抛物线，顶点为E，该抛物线与轴交于A，B两点，与轴交于点C，且OBOC3OA直线与轴交于点D求DBC-CBE4.1 相似三角形一、例题讲解例1. 如图，在凸四边形ABCD中，已知ABC+CDA=300，求证：.（2014大同杯第10题）例2. 如图，在正的边、上分别有点、，且满足，当平分时，求的值为（2011新知杯虹口区初赛）例3. 如图，梯形ABCD中，ABCD，AC，BD相交于点OP，Q分别是AD，BC上的点，且APB=CPD，AQB=CQD求证：OPOQ（2012全国数学联赛第13题）二、练习题1. 已知在上且过点作的平行线交于，的延长线交的延长线于，求.（2013新知杯第3题） 2. 已知梯形中，/，求梯形的面积.（2011年新知杯第2题）3. 直角三角形斜边上的高，延长到使得，过作交于，交于，求.（2013新知杯第8题）4. 如图，在四边形中，,对角线的交点为，求的长.（2016全国数学联赛第一试第5题） 4.2 梅涅劳斯定理1、 定理梅涅劳斯（Menelaus）定理： 一直线分别截ABC的边BC、CA、AB（或其延长线）于D、E、F，则。二、例题讲解例1. 如图，在四边形ABCD中，ABD、BCD、ABC的面积之比是341，点M、N分别在AC、CD上，满足AMAC=CNCD，且B、M、N三点共线求证：M与N分别是AC和CD的中点.例2. 直角ABC中，CK是斜边上的高，CE是ACK的平分线，E点在AK上，D是AC的中点，F是DE与CK的交点. 求证：.三、练习题1. 过ABC的重心G的直线分别交AB、AC于E、F，交CB延长线于D，求证：2. 在ABC中，点M和N顺次三等分AC，点X和Y顺次三等分BC，AY与BM，BN分别交于点S，R，求四边形SRNM与ABC的面积之比。3. 已知ABC的重心为G，M是BC边的中点，过G作BC边的平行线交AB边于X，交AC边于Y，且XC与GB交于点Q，YB与GC交于点P，证明：MPQABC.4.3 正、余弦定理1、 定理1. 正弦定理：（R为外接圆半径）面积公式：诱导公式：2. 余弦定理： 变形：2、 例题讲解例1. 已知ABC中，AB=2，AC=3，点D、E在边AC、AB上，且ABD=4DBC，ACE=4ECB，求ABC的面积.（2017大同杯第6题）例2. 在等腰直角三角形中，是内一点，使得，求边的长.（2011新知杯第6题）例3. 已知点是内一点，使得.求证：.3、 练习题1. 设是正方形内部一点，到顶点、的距离分别是、2、3，求正方形的面积.2. 在的及边上分别取点、，使，求证：为正三角形.3. ABC中，B=60，A=20，求.（2017大同杯徐汇区初赛第8题）4.4 单元测试四1、 填空题1.如下左图，ABEFCD，已知AB=20，CD=80，那么EF的值是_2. 如上右图，正方形OPQR内接于ABC已知AOR、BOP和CRQ的面积分别是，和，那么，正方形OPQR的边长是_3. 在ABC中，已知(bc)(ca)(ab)456，则sin Asin Bsin C等于_4. 在ABC中，最大角A是最小角C的两倍，且AB7，AC8，则BC_5. 在ABC中，已知面积S(a2b2c2)，则角C的度数为_6. AC、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，点M、N分别在AC、CE上，使 AM：AC=CN：CE =r，如果B、M和N三点共线，那么r=_7. 如下左图，一个边长为3、4、5厘米的直角三角形的一个顶点与正方形的顶点B重合，另两个顶点分别在正方形的两条边AD、DC上，那么这个正方形的面积是_厘米2 8. 如上右图，在ABC中，在BC上有100个不同的点，过这100个点分别作ABC的内接矩形，设每个内接矩形的周长分别为，则_2、 解答题9. 在ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，AF与CE相交于G，AF与DE交于H，求AH:HG:GF10. 证明余弦定理的一种四边形推广：即设凸四边形的对角线交于，又设，则.11. 过ABC三条角平分线的交点I，作AI的垂线与AB、AC分别交于D、E，求证：BIDIEC12. 已知中，延长到点，连结，若，且，求的长.5.1 几何不等式与最值1、 例题讲解例1. 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，MON 的两边分别是射线 y = x(x 0)与x轴正半轴点A(6,5)，B(10,2)是MON 内的两个定点，点P、Q分别是MON 两边上的动点，求四边形ABQP 周长的最小值.（2015大同杯第6题）例2. 如图，RtABC中，C=90，AC=4，BC=5，现点A、B分别在y轴、x轴正半轴上运动，求点C的运动轨迹的长度.（2017大同杯第3题）例3. 已知面积为4的的边长分别为，AD是的角平分线，点是点C关于直线AD的对称点，若与相似，求的周长的最小值。（2010新知杯第11题）2、 练习题1. 如图，直角三角形ABC中, AC=1，BC=2，P为斜边AB上一动点。PEBC，PFCA，求线段EF长的最小值. （2009新知杯第5题）2. 如图，ABC的面积为1，点D、G、E和F分别在边AB、AC、BC上，BDDA，DGBC，DEAC，GFAB，求梯形DEFG面积的最大可能值.（2017新知杯第7题）3. 已知ABC的两条高分别为5和20，若第三条高也是整数，求第三条高的最大值.（2011全国初中数学联赛第2题）4. 两个直角梯形的斜腰与上底都等于1，且两个锐角互余，它们的面积分别为S1和S2，求证：1S1+S225.2 三角形的“五心”1、 例题讲解例1. 设ABC的内心为I，A内的旁心为J，AI的延长线交三角形外接圆于K，则KI=KJ=KB=KC.（鸡爪定理） 例2. 设三角形的外接圆半径为R，内切圆半径为r，外心与内心的距离为d，则.（欧拉定理）例3. 如图，在ABC中，BC = a，CA = b，ACB = 60，ABD是正三角形，P是其中心，求CP 的长度（2015大同杯第9题）例4. 如图，为的垂心，圆为的外接圆。点、为以为圆心、长为半径的圆与圆的交点，为线段的垂直平分线与圆的交点。求证：（1）垂直平分线段；（2）.二、练习题1. 已知四边形的面积为2013，为上一点，的重心分别为，求的面积为.（2013新知杯第7题）2. 已知为等腰内一点，为的中点，与交于点，如果点为的内心，求的度数.（2014全国初中数学联赛填空第3题）3. 设的外心，垂心分别为，若共圆，对于所有的，求所有可能的度数（2013全国初中数学联赛12题）4. 已知ABC的三边长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为ABC的重心和内心，且GIC = 90，求边AB的长度（2015大同杯第11题）5.3 圆幂定理与四点共圆1、 例题讲解例1. 设PO是边长为1的正ABC的外接圆的一条弦，已知AB和AC的中点都在PQ上，求PQ的长.例2. 如图，在平行四边形中，为对角线上一点，且满足, 的延长线与的外接圆交于点. 证明：（2014全国初中数学联赛第四题）例3. 如图，若PA=PA，APB=2ACB，AC与PB交于点D，且PB=4，PD=3，求ADDC的值.例4. 如图，已知与外切于点，和的半径依次为和直线切于点，与相交于点，求的值（2016大同杯第9题）2、 练习题1. 已知AB为圆O的直径，AB=1，延长AB到点C，使得BC=1，CD是圆O的切线，D是切点，则的面积.（2015大同杯第1题）2. 如图，圆与圆 外切于点P ，从圆上点A 作圆的切线AB ， B 是切点，连结AP 并延长，与圆交于点C 已知圆 、圆的半径分别为2、1，求的值.（2015大同杯第5题）3. 凸四边形ABCD的对角线AC、BD交于点E，已知ABD=35，ADB=20，ACB=40，ACD=70，求AEB的度数.4. 如图，在等腰中,为边上异于中点的点，点关于直线的对称点为点,的延长线与的延长线交于点 求的值.（2016全国初中数学联赛B组第三题）5.4 单元测试五1、 填空题1. 不等边三角形，如果一条边长等于另两条边长的平均值，则最大边上的高于最小边上的高的比值K的取值范围是_2. ABC中，AB=AC，B的平分线交AC于D，且BC=AD+BD，则BAC=_3. 在长为32宽为3的长方形内部最多可以不重叠地放置_个半径为1的圆4. 如下左图，在中，为的内心，连接并延长交于点，记的面积为， 的面积为，则_5. 如上右图在钝角ABC中，BC=1，A=30，D为BC中点，G为ABC重心，若B、C为定点，当点A运动时，线段GD长度的取值范围是_6. 已知为等腰内一点，为的中点，与交于点，如果点为的内心，则 7. 已知四边形ABCD的面积为32，边AB、CD和对角线AC的长都是整数，且它们的和为16，则该四边形的边长的平方和的最小值为_8. 如图正方形ABCD内接于O，点P在劣弧AB上，连结DP，交AC于点Q若QP=QO，则的值为_2、 解答题9. 如图，在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，CD是AB边上的高，E,F分别是ADC和BDC的内心，连接EF交CD于点G，试求CG的长。10. 梯形ABCD的面积为1，上底为m，下底为n，点P、Q分别是上底和下底上的动点，假设AQ、BP交于点R，CP、DQ交于点S，则阴影部分面积的最大值是多少？11. 等腰RtABC与等腰RtA1B1C1满足A1、B1、C1分别在ABC的三条不同边上，求的最小值.12. 如图，点P为O外一点，过点P作O的两条切线，切点分别为A，B过点A作PB的平行线，交O于点C连结PC，交O于点E；连结AE，并延长AE交PB于点K求证：PEAC=CEKB6.1 数论一、例题讲解例1. 设是正整数， 不是 4的倍数，求证：不是完全平方数（2015大同杯第12题）例2. 称具