序列的Z变换与傅里叶变换.ppt

第二章第二章 序列的序列的Z Z变换与傅里叶变换变换与傅里叶变换 2 本章目录本章目录 n n 序列的序列的Z Z变换变换 n n 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 n n 序列的序列的Z Z变换与连续时间信号的拉普拉斯变换与连续时间信号的拉普拉斯 变换、傅里叶变换的关系变换、傅里叶变换的关系 n n MatlabMatlab实现实现 3 2.1 2.1 引言引言 n n 信号与系统的分析方法信号与系统的分析方法: : n n 时域时域分析分析 n n 变换域变换域分析分析 n n 连续时间信号与系统连续时间信号与系统 n n 信号用信号用时间时间 t t的函数的函数表示表示 n n 系统用系统用微分方程微分方程描述描述 n n 离散时间信号与系统离散时间信号与系统 n n 信号用信号用序列序列表示表示 n n 系统用系统用差分方程差分方程描述描述 4 时域与频域分析时域与频域分析 傅里叶变换 时间域 频率域 (复频域 ) 拉普拉斯变换 推推 广广 离散时间傅里叶变换 时间域 频率域 (复频域 ) Z变换 推推 广广 n连续时间信 号与系统 n离散时间信 号与系统 5 本章主要内容本章主要内容 n n 序列的序列的Z Z变换变换 n n Z Z变换的主要性质变换的主要性质 n n 序列的傅里叶变换序列的傅里叶变换 n n 傅里叶变换的主要性质傅里叶变换的主要性质 6 2.2 2.2 序列的序列的Z Z变换变换 n n Z Z变换及其收敛域的变换及其收敛域的定义定义 n n 几种序列几种序列的的Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域 n n 逆逆Z Z变换变换 n n Z Z变换的变换的性质和定理性质和定理 n n 利用利用Z Z变换变换求解差分方程求解差分方程 7 2.2.1 2.2.1 Z Z变换及其收敛域的定义变换及其收敛域的定义 n n 序列的序列的Z Z变换定义变换定义 n n 双双边边Z Z变变换换 n n 单单边边Z Z变变换换 n n 因果序列因果序列的的Z Z变换变换: : 单单边边Z Z变换可以看成因变换可以看成因 果序列情况下的双边果序列情况下的双边Z Z变换变换 8 Z Z平面与单位圆平面与单位圆 n n 变量变量z z的极坐标形式的极坐标形式 n n Z Z平面平面: : Z Z变换定义变换定义式中z所在的复平面， z是一个连续复变量，具有实部和虚部 n n 单位圆单位圆: : n n 在在Z Z平面上平面上| |z z|= 1|= 1为半径的圆为半径的圆 n n 单位圆上的参数可表示为单位圆上的参数可表示为 9 例例: : 求序列的求序列的Z Z变换变换 例例2.1 2.1 求序列求序列 的的Z Z变换变换。 解：解：序列序列x x( (n n) )是因果序列，根据是因果序列，根据Z Z变换的定义变换的定义 分分析收敛性：析收敛性：X X( (z z) )是无穷项幂级数。是无穷项幂级数。 n n X(z)X(z)可用封闭形式，即解析函数形式表示为可用封闭形式，即解析函数形式表示为 n n 当当|z|a|z|a时级数发散，当时级数发散，当|z|z|a|a|时级数收敛。时级数收敛。 10 Z Z变换的收敛域变换的收敛域 n n 根据级数理论，式根据级数理论，式(2.1)(2.1)收敛收敛 的充分必要条件是满足绝对的充分必要条件是满足绝对 可和条件，即可和条件，即 n n 收敛域收敛域: : 对于给定的任意序列x(n)，使其Z 变换收敛的所有z值的集合组成的区域。 n n 根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域根据罗朗级数性质，收敛域一般是某个环域 n n 收敛半径收敛半径R R x x- - 可以小到可以小到0 0，R R x x+ + 可以大到可以大到 n n 收敛域以原点为中心，收敛域以原点为中心，R R x x- - 和和R R x x+ + 为半径的环域为半径的环域 11 2.2.2 2.2.2 几种序列的几种序列的Z Z变换及其收敛域变换及其收敛域 序列序列x x( (n n) )的性质决定了的性质决定了X X( (z z) )的收敛域的收敛域 ，不同形式的序列其收敛域不同，不同形式的序列其收敛域不同 。 n n 有限长序列：有限长序列：00|z|z|+ 或 0|z|+ n n 右边序列：右边序列： R Rx-x-|z|z|+ n n 左边序列：左边序列： 0 0|z|z|R R x x+ + n n 双边序列：双边序列： R Rx-x- |z|z| R R x x+ + 12 有限长序列有限长序列 n n 有限长序列只在有限区间有限长序列只在有限区间n n 1 1 n n n n 2 2 内具有非零内具有非零 的有限值，在此区间外序列值都为零的有限值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 要求：在有限区间内级数的每一项都有界，要求：在有限区间内级数的每一项都有界， 则有限项的和有界，级数就收敛。则有限项的和有界，级数就收敛。 x(n)有界 开域 n n 边界讨论：边界讨论：z= 0z= 0及及z= z= 两点是否也收敛与两点是否也收敛与n n 1 1 、n n 2 2 取取 值情况有关。值情况有关。 13 例：求有限长例：求有限长序列的序列的Z Z变换变换 例例2.22.2 求序列求序列 的的Z Z变换。变换。 讨论：讨论： n n 假设假设|a|a|是有限值，且是有限值，且|a|a|1 1。 n n X(z)X(z)有一个有一个z= az= a的极点，但也有的极点，但也有 一个一个z= az= a的零点，将零极点对消。的零点，将零极点对消。 n n 收敛域为收敛域为0 0|z|+|z|+。 解：解：根据根据Z Z变换的定义变换的定义 14 右边序列右边序列 n n 右边序列只在有限区间右边序列只在有限区间n nn n 1 1 内具有非零的有内具有非零的有 限值，在此区间外序列值都为零限值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 假设：级数假设：级数(2.5)(2.5)在某个圆在某个圆| |z z|=|=|z z 1 1 | |上绝对收敛上绝对收敛 15 右边序列（因果）的收敛域右边序列（因果）的收敛域 假设假设：z z是圆外任意一点，即是圆外任意一点，即| |z z| | |z z 1 1 | | n n 当当n n 1 1 00时，序列为因果序列时，序列为因果序列 n n 显然，级数显然，级数X X( (z z) ) 收敛。收敛。 n n 讨论：级数讨论：级数X X( (z z) )中没有正幂中没有正幂 项，项，| |z z|= +|= +时级数收敛，因此时级数收敛，因此 收敛域包括收敛域包括 点，即为点，即为 RxRx- -| |z z|+|+ 16 右边序列（非因果）的收敛域右边序列（非因果）的收敛域 n n 当当n n 1 1 0 0时，序列为非因果序列时，序列为非因果序列 n n 显然，当显然，当z z取有限值时，级数取有限值时，级数X X 1 1 ( (z z) ) 的值有限，的值有限， 而级数而级数X X 2 2 ( (z z) ) 收敛。所以，级数收敛。所以，级数X X( (z z) )的收敛域是的收敛域是 以以R R x x- - 为半径的圆的外部区域，即为半径的圆的外部区域，即 R Rx x- - | |z z| |+ 17 左边序列左边序列 n n 左边序列只在有限区间左边序列只在有限区间n n n n 2 2 内具有非零的有限内具有非零的有限 值，在此区间外序列值都为零值，在此区间外序列值都为零 n n Z Z变换变换 n n 假设：级数假设：级数(2.5)(2.5)在某个圆在某个圆| |z z|=|=|z z 2 2 | |上绝对收敛上绝对收敛 18 左边序列（逆因果）的收敛域左边序列（逆因果）的收敛域 假设假设：z z是圆内任意一点，即是圆内任意一点，即| |z z| | |z z 2 2 | | n n 当当n n 2 2 0 0时，序列为逆因果序列时，序列为逆因果序列 n n 显然，级数显然，级数X X( (z z) ) 收敛。收敛。 n n 讨论：级数讨论：级数X X( (z z) )中没有负幂中没有负幂 项，项，| |z z|= 0|= 0时级数收敛，因此收时级数收敛，因此收 敛域包括敛域包括0 0点，即为点，即为 0 |0 |z z| | R R x x+ + 19 左边序列（非逆因果）的收敛域左边序列（非逆因果）的收敛域 n n 当当n n 2 2 0 0时，序列为非因果序列时，序列为非因果序列 n n 显然，当显然，当z z取取0 0外的有限值时，级数外的有限值时，级数X X 2 2 ( (z z) ) 的值的值 有限，而级数有限，而级数X X 1 1 ( (z z) ) 收敛。所以，级数收敛。所以，级数X X( (z z) )的收的收 敛域是以敛域是以R R x x+ + 为半径的圆的内部区域，即为半径的圆的内部区域，即 0 0| |z z| | R Rx+x+ 20 例：求左边例：求左边序列的序列的Z Z变换变换 例例2.32.3 求序列求序列 的的Z Z变换。变换。 解：解： 讨论：讨论： n n 当当|az|az|1 1，即，即|z|z|1/|a|1/|a|时，级时，级 数收敛。数收敛。X(z)X(z)可用封闭形式表示可用封闭形式表示 n n X(z)X(z)有一个有一个z= 1/az= 1/a的极点，但也的极点，但也 有一个有一个z= 0z= 0的零点的零点 。 21 双边序列双边序列 n n 双边序列指双边序列指n n从从-到到+都具有非零的有限值都具有非零的有限值 ，可看成右边序列和左边序列的和，可看成右边序列和左边序列的和 n n Z Z变换变换 n n 讨论：讨论： X X1 1 ( (z z) ) 收敛域为收敛域为0 0|z|z|R R x x+ + ； X X2 2 ( (z z) )收敛域为收敛域为R R x x- - | |z z| |+。双边序列。双边序列 Z Z变换的收敛域是公共部分。变换的收敛域是公共部分。 n n 如果满足如果满足R R x x- -r,p,c= residuez(b,a); r,p,c= residuez(b,a); n n 输入参数输入参数: : b=b= b b0 0， b b1 1， ， b bMM为分子多项式的系数为分子多项式的系数, , a=a= a a0 0， a a1 1， ， a aNN为分母多项式的系数，这些多项式都按为分母多项式的系数，这些多项式都按 z z的降幂排列的降幂排列 n n 输出参数输出参数: : r r是极点的留数，是极点的留数，p p是极点，是极点，c c是无穷项多项式的系是无穷项多项式的系 数项，仅当数项，仅当MM N N时存在。时存在。 63 例：计算逆例：计算逆Z Z变换变换 例例2.19 2.19 计算计算 的逆的逆Z Z变换。变换。 解解: : 有理分式有理分式X X( (z z) ) 分子和分母分子和分母 多项式都按多项式都按z z的降幂排列。的降幂排列。 n n b= 0,1; a= 2,-3,1; % b= 0,1; a= 2,-3,1; % 多项式的系数多项式的系数 n n r,p,c= residuez(b,a); % r,p,c= residuez(b,a); % 求留数、极点和系数项求留数、极点和系数项 n n disp(disp(留数留数:);disp(r); % :);disp(r); % 显示输出参数显示输出参数 n n disp(disp(极点极点:);disp(p);:);disp(p); n n disp(disp(系数项系数项:);disp(c);:);disp(c); 程序运行结果为程序运行结果为 n n 留数留数: 1 -1: 1 -1 n n 极点极点: 1.0000 0.5000: 1.0000 0.5000 n n 系数项系数项: : X X ( (z z ) )的部分分式形式的部分分式形式为为 逆逆 Z Z 变换变换为为 64 2.5.2 2.5.2 周期序列傅里叶级数的周期序列傅里叶级数的MatlabMatlab实现实现 nDFS式(2.77)的矩阵形式的矩阵形式 n n 由周期序列的由周期序列的DFSDFS定义，定义，00n n N N-1-1，00k k N N-1-1，有，有 n n 只需计算只需计算WW N N 因子，由矩阵理论可计算式因子，由矩阵理论可计算式(2.99)(2.99) 65 例：计算例：计算周期序列周期序列离散傅里叶级数离散傅里叶级数 例例2.21 2.21 计算计算 以以N N= = 4 4为周期进行周期延拓为周期进行周期延拓 ，求周期序列的离散傅里叶级数，求周期序列的离散傅里叶级数。 解解: : n n xn= 0,1,2,3;N= 4; % xn= 0,1,2,3;N= 4; % 设定序列和周期设定序列和周期 n n n= 0:1:N-1;k= 0:1:N-1; % n= 0:1:N-1;k= 0:1:N-1; % 设定设定n n和和k k n n WN= exp(-j*2*pi/N); % WN= exp(-j*2*pi/N); % 设定设定WnWn因子因子 n n nk= n*k;WNnk = WN.nk; % nk= n*k;WNnk = WN.nk; %