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回首页 第1章 逻辑代数基础 第1章 逻辑代数基础 1.1 1.1 数制与编码数制与编码 1.2 1.2 逻辑代数基础逻辑代数基础 1.3 1.3 逻辑函数的表示方法逻辑函数的表示方法 1.4 1.4 逻辑函数的化简逻辑函数的化简 Date1 回首页 第1章 逻辑代数基础 1.1.1 数制 （1）进位制：表示数时，仅用一位数码往往不够用，必须用 进位计数的方法组成多位数码。多位数码每一位的构成以及 从低位到高位的进位规则称为进位计数制，简称进位制。 （2）基 数：进位制的基数，就是在该进位制中可能用到的数 码个数。 （3） 位 权（位的权数）：在某一进位制的数中，每一位的大 小都对应着该位上的数码乘上一个固定的数，这个固定的数 就是这一位的权数。权数是一个幂。 1.1 数制与编码 Date2 回首页 第1章 逻辑代数基础 1、十进制 数码为：09；基数是10。 运算规律：逢十进一，即：9110。 十进制数的权展开式： 103、102、101、100称 为十进制的权。各数 位的权是10的幂。 同样的数码在不同的数 位上代表的数值不同。 任意一个十进制数都 可以表示为各个数位 上的数码与其对应的 权的乘积之和，称权 展开式。 即：(5555)105103 510251015100 又如：(209.04)10 2102 0101910001014 102 Date3 回首页 第1章 逻辑代数基础 2、二进制 数码为：0、1；基数是2。 运算规律：逢二进一，即：1110。 二进制数的权展开式： 如：(101.01)2 122 0211200211 22 (5.25)10 加法规则：0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 乘法规则：00=0，01=0 ，10=0，11=1 运算 规则 各数位的权是的幂 二进制数只有0和1两个数码，它的每一位都可以用电子元 件来实现，且运算规则简单，相应的运算电路也容易实现 。 Date4 回首页 第1章 逻辑代数基础 数码为：07；基数是8。 运算规律：逢八进一，即：7110。 八进制数的权展开式： 如：(207.04)8 282 0817800814 82 (135.0625)10 3、八进制 4、十六进制 数码为：09、AF；基数是16。 运算规律：逢十六进一，即：F110。 十六进制数的权展开式： 如：(D8.A)16 13161 816010 161(216.625)10 各数位的权是8的幂 各数位的权是16的幂 Date5 回首页 第1章 逻辑代数基础 Date6 回首页 第1章 逻辑代数基础 1.1.2 数制转换 将二进制数按权展开，即可以转换为十进制数。 （1）二进制数转换为八进制数： 将二进制数由小数点开始，整数部 分向左，小数部分向右，每3位分成一组，不够3位补零，则每组二进 制数便是一位八进制数。 1、二进制数与八进制数的相互转换 1 1 0 1 0 1 0 . 0 10 00 (152.2)8 （2）八进制数转换为二进制数：将每位八进制数用3位二进 制数表示。 = 011 111 100 . 010 110(374.26)8 Date7 回首页 第1章 逻辑代数基础 2、二进制数与十六进制数的相互转换 1 1 1 0 1 0 1 0 0 . 0 1 10 0 00 (1E8.6)16 = 1010 1111 0100 . 0111 0110(AF4.76)16 二进制数与十六进制数的相互转换，按照每4位二进制数 对应于一位十六进制数进行转换。 3、十进制数转换为二进制数 采用的方法 除2取余、乘2取整 原理：将整数部分和小数部分分别进行转换 。 整数部分采用除2取余法，小数部分 采用乘2取整法。转换后再合并。 Date8 回首页 第1章 逻辑代数基础 整数部分采用除2取余法， 先得到的余数为低位，后 得到的余数为高位。 小数部分采用乘2取整法 ，先得到的整数为高位， 后得到的整数为低位。 所以：(44.375)10(101100.011)2 Date9 回首页 第1章 逻辑代数基础 1.1.3 编码 用一定位数的二进制数来表示十进制数码、字母、符 号等信息称为编码。 用以表示十进制数码、字母、符号等信息的一定位数的 二进制数称为代码。 数字系统只能识别0和1，怎样才能表示更多的数码、符 号、字母呢？用编码可以解决此问题。 二-十进制代码：用4位二进制数b3b2b1b0来表示十进 制数中的 0 9 十个数码。简称BCD码。 2421码的权值依次为2、4、2、1；余3码由8421码加0011 得到；格雷（Gray）码是一种循环码，其特点是任何相邻的 两个码字，仅有一位代码不同，其它位相同。 用四位自然二进制码中的前十个码字来表示十进制数码 ，因各位的权值依次为8、4、2、1，故称8421 BCD码。 Date10 回首页 第1章 逻辑代数基础 Date11 回首页 第1章 逻辑代数基础 格雷码求法 某二进制数为 其对应的格雷码为 其中：最高位保留 其他各位 i=0，1，2，n-2 例：二进制数为 1 0 1 1 0 格雷码为 异或运算： 相同为0 相异为1 11101 Date12 回首页 第1章 逻辑代数基础 1.2.1 逻辑代数的基本概念 一、逻辑变量（A、B) 逻辑变量（A、B) 的取值只有两种，即逻辑0和逻辑1。 特点： 无大小、正负之分，而是表示两种对立的逻辑状态。 0 矛盾的否定面、反面 1 矛盾的肯定面、正面 1.2 逻辑代数基础 Date13 回首页 第1章 逻辑代数基础 二、逻辑基本运算 1、与逻辑（与运算） 与逻辑的定义：仅当决定事件（Y）发生的所有条件（A，B ，C，）均满足时，事件（Y）才能发生。表达式为： 开关A，B串联控制灯泡Y Date14 回首页 第1章 逻辑代数基础 这种把所有可能的条件组合及其对应 结果一一列出来的表格叫做真值表。 将开关接通记作1，断开记作0； 灯亮记作1，灯灭记作0。可以作 出如下表格来描述与逻辑关系： 功能表 实现与逻辑的电路 称为与门。与门的 逻辑符号： 逻辑符号 真值表 Date15 回首页 第1章 逻辑代数基础 2、或逻辑（或运算） 或逻辑的定义：当决定事件（Y）发生的各种条件（A，B ，C，)中，只要有一个或多个条件具备，事件（Y）就发生 。表达式为： 开关A，B并联控制灯泡Y Date16 回首页 第1章 逻辑代数基础 实现或逻辑的电 路称为或门。或 门的逻辑符号： Y=A+BY=A+B 真值表 功能表 逻辑符号 Date17 回首页 第1章 逻辑代数基础 3、非逻辑（非运算） 非逻辑指的是逻辑的否定。当决定事件（Y）发生的条件（A） 满足时，事件不发生；条件不满足，事件反而发生。表达式为： 开关A控制灯泡Y Date18 回首页 第1章 逻辑代数基础 实现非逻辑的电路称 为非门。非门的逻辑 符号： Y=AY=A A断开，灯亮。A接通，灯灭。 真 值 表 功 能 表 逻辑符号 Date19 回首页 第1章 逻辑代数基础 三、常用的逻辑运算 （1）与非运算：逻辑表达式为： （2）或非运算：逻辑表达式为： Date20 回首页 第1章 逻辑代数基础 （3）异或运算：逻辑表达式为： （4） 与或非运算：逻辑表达式为： Date21 回首页 第1章 逻辑代数基础 四、逻辑函数及其相等概念 （1）逻辑表达式：由逻辑变量和与、或、非3种运算符连接起来所 构成的式子。在逻辑表达式中，等式右边的字母A、B、C、D等称为输 入逻辑变量，等式左边的字母Y称为输出逻辑变量，字母上面没有非运 算符的叫做原变量，有非运算符的叫做反变量。 （2）逻辑函数：如果对应于输入逻辑变量A、B、C、的每一组确 定值，输出逻辑变量Y就有唯一确定的值，则称Y是A、B、C、的逻辑 函数。记为 注意注意：在逻辑代数中，不管是变量还是函数，其取值都只能是 0或1，并且这里的0和1只表示两种不同的状态，没有数量的含义。 Date22 回首页 第1章 逻辑代数基础 （3）逻辑函数相等的概念：设有两个逻辑函数 它们的变量都是A、B、C、，如果对应于变量A、B、C 、的任何一组变量取值，Y1和Y2的值都相同，则称Y1和Y2是 相等的，记为Y1=Y2。 要证明两个逻辑函数是否相等，只要分别列出它们的真值 表，看它们的真值表是否相同即可。 证明： 相同 Date23 回首页 第1章 逻辑代数基础 1.2.2 逻辑代数的基本公式、定理、规则 1、逻辑代数的公式和定理 （1）常量之间的关系 （2）基本公式 分别令A=0及A=1代 入这些公式，即可证 明它们的正确性。 Date24 回首页 第1章 逻辑代数基础 （3）基本定理 Date25 回首页 第1章 逻辑代数基础 （4）常用公式 非因子A多余 分配律 如果一个乘积项如果一个乘积项 的反是另一个乘积的反是另一个乘积 项的因子，则这个项的因子，则这个 因子因子是多余的是多余的。 Date26 回首页 第1章 逻辑代数基础 第3项多余 Date27 回首页 第1章 逻辑代数基础 例如，已知等式 ，用函数Y=AC代替等 式中的A，根据代入规则，等式仍然成立： 2、逻辑代数运算的基本规则 （1）代入规则：任何一个含有变量A的等式，如果将所有出现A的位 置都用同一个逻辑函数代替，则等式仍然成立。 （2）反演规则：对于任何一个逻辑表达式Y，如果将表达式中的所有“” 换成“”，“”换成“”，“0”换成“1”，“1”换成“0”，原变量换成反变量，反变 量换成原变量，那么所得到的表达式就是函数Y的反函数Y（或称补函数）。 例如： Date28 回首页 第1章 逻辑代数基础 1.3 逻辑函数的表示法 一、真值表 将输入、输出的所有可能取值组合一一对应地列出. 真值表列写方法：每一个变量均有0 、1两种取值，n个变量共有2n种不同 的取值，将这2n种不同的取值按顺序 排列起来，同时在相应位置上填入函 数的值，便可得到逻辑函数的真值表 。 例如：当A、B取值 相同时，函数值为0 ；不相同时，函数 取值为1，真值表为 Date29 回首页 第1章 逻辑代数基础 二、逻辑表达式 把逻辑函数的输入、输出关系写成与、或、非等逻辑运 算的组合式，称为逻辑表达式，通常采用“与或”逻辑表达式 的形式。 比如： 若表达式中的乘积项包含了所有变量的原变量或反变量，则 这一项称为最小项，上式中每一项都是最小项。 若两个最小项只有一个变量以原、反区别，称它们逻辑相邻。 Date30 回首页 第1章 逻辑代数基础 逻辑相邻 两个逻辑相邻的项可以合并，消去一个因子(A) Date31 回首页 第1章 逻辑代数基础 将函数值为1的各个状态表示成全部变量（值为1的表示成原 变量，值为0的表示成反变量）的与项（例如A=0、B=1时函 数Y的值为1，则对应的与项为AB）,然后相加，即得到函数 的与或表达式。 由真值表列写逻辑表达式的方法： Date32 回首页 第1章 逻辑代数基础 1、具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所 得到的图形叫做最小项的卡诺图。 2、卡诺图的每一个方块（最小项）代表一种输入组合，并且把对 应的输入组合注明在阵列图的上方和左方。 三、卡诺图： A B 01 0 1 两变量卡诺图 AB=01 时函数Y 取值 Y Date33 回首页 第1章 逻辑代数基础 三变量卡诺图 A BC 00011110 0 1 0 Date34 回首页 第1章 逻辑代数基础 AB CD 00011110 00 01 11 10 四变量卡诺图 输入组合 0010，对 应的最小 项： ABCD= 0100时函 数取值 Date35 回首页 第1章 逻辑代数基础 有时为了方便，用二进制对应的十进制数表示单元编号。 A BC 00011110 0 1 Y( A , B , C )=( 1 , 2 , 4 , 7 ) 1,2,4,7单元 取1，其它 取0 Date36 回首页 第1章 逻辑代数基础 AB CD 00011110 00 01 11 10 * 在卡诺图中，几何 位置上相邻的小方格 ，在逻辑上也是相邻 的. * 卡诺图的最大优点 就是直观地表达了最 小项之间的逻辑相邻 性,便于逻辑函数的化 简！ 卡诺图的最大优点 CD AB 00 01 11 00 00 01 11 10 m0 m1 m3 m2 m4 m5 m7 m6 m12 m13 m15 m14 m8 m9 m11 m10 Date37 回首页 第1章 逻辑代数基础 * 卡诺图中，与纵轴 、横轴对称的小方格 在逻辑上也是相邻的 。 * 随着变量的增加， 小方格是否具有逻辑 上的相邻性，往往难 以判断，所以卡诺图 只适宜于表示5个变量 以内的逻辑函数。 AB CD00 011110 00 01 11 10 Date38 回首页 第1章 逻辑代数基础 四、逻辑图： 把相应的逻辑关系用逻辑符号和连线表示出来。 &A B &C D 1 Y Y=AB+CD Date39 回首页 第1章 逻辑代数基础 五、波形图 Y Y 由输入变量的所有可能取值组合的高、低电平及其对应的输 出函数值的高、低电平所构成的图形。 Date40 回首页 第1章 逻辑代数基础 1.4 逻辑函数的化简 一、利用逻辑代数的基本公式化简： 例： 多余 提出AB =1 提出A 逻辑函数化简的意义：逻辑表达式越简单，实现它的电路越简 单，电路工作越稳定可靠。 Date41 回首页 第1章 逻辑代数基础 例： 反演律 配项 被吸收 被吸收 Date42 回首页 第1章 逻辑代数基础 二、利用卡诺图化简： A BC 00011110 0 1 Date43 回首页 第1章 逻辑代数基础 A BC 00011110 0 1AB ? Date44 回首页 第1章 逻辑代数基础 A BC 00011110 0 1AB BC Y=AB+BC 化简过程： Date45 回首页 第1章 逻辑代数基础 例：化简逻辑函数 Y(A,B,C,D)=(0,2,3,5,6,8,9,10,11, 12,13,14,15) AB CD 0001 11 10 00 01 11 10 A Date46 回首页 第1章 逻辑代数基础 例：化简逻辑函数 AB CD 0001 11 10 00 01 11 10 ABD Date47 回首页 第1章 逻辑代数基础 约束项是指在一个逻辑函数中，变量的某些取值组合不会 出现；或者输出值不确定，可以是0，也可以是1。 例如用A、B、C三个变量分别代表甲、乙、丙三人， 他们共用一部电话。因为任何时刻只允许一人使用电话， 所以不会出现任何两个变量同时为1（约定使用电话为1） 的情况，即A、B、C三个变量取值组合只可能是000、001 、010、100，而不会出现011、101、110、111。把后面四 个不可能出现的变量取值组合称为约束项。 约束项的定义： Date48 回首页 第1章 逻辑代数基础 例：已知真值表如图，用卡诺图化简。 101状态未给出，即是无所谓状态(约束项）。 Date49 回首页 第1章 逻辑代数基础 A BC 000111 10 0 1 化简时可以将无所谓状态(约束项）当作1或0，目的是 得到最简结果。 A Y=A 认为是1 Date50 回首页 第1章 逻辑代数基础 利用卡诺图化简的规则： （1）相邻单元的个数是2n个，并组成矩形时，可以合并。 AB CD 00011110 00 01 11 10 AD AB CD 00011110 00 01 11 10 逻辑不相邻！ Date51 回首页 第1章 逻辑代数基础 （2）先找面积尽量大的组合进行化简，可以减少每项的 因子数。 （3）各最小项可重复使用，但不可漏掉。 （4）注意利用无所谓状