模拟滤波器的设计(数字信号处理).ppt

第七章 模拟滤波器的设计 滤波就是把一个混合信号的某些分量分离出来或 把它去掉。 自然滤波（地震波） 人工滤波：由仪器或运算来完成。 滤波器是一种选频装置，它只允许一定频带范围 的信号通过，同时极大地衰减其它频率成分。 要分离有用信号s(t)与干扰信号n(t), 若上述二信号的频率上是分离的，若存在一个 这样n(t)被滤去，仅存下有用信号s(t) 为了获取有用信号，通常采用以下理想滤波器 图7.2.1 各种理想滤波器的幅频特性 A1(f) 0 1 f fC A2(f) 0 1 ffC A3(f) 0 1 ffC1 fC2 A4(f) 0 1 ffC1fC2 a ) 低通 b ) 高通 c) 带通 d) 带阻 根据滤波器的选频特性 q 低通滤波器(LP)：通频带0fc q 高通滤波器(HP)：通频带fC q 带通滤波器(BP)：通频带fC1fC2 q 带阻滤波器(BS)：通频带0fC1与fC2（阻带: fC1 fC2） 滤波器的种类 7.1 理想滤波器 A0 |H(f)| fc-fc 0 f |H(f)| fc -fc 0 f 2pt0 理想低通滤波器 频率特性 无过渡带且在通频带内满 足不失真测试条件的滤波 器称为理想滤波器。理想 滤波器的频率响应函数为 ： 2、理想低通滤波器的冲击响应 (t) y(t) h(t) H(f) Y(f)D(f) = 1 理想滤波器的脉冲响应函数为sinc函数，若无相角滞后（ t0=0）： 亦即： 对上述的频率响应函数做傅氏逆变换： h(t) 2A0fc 0 t h(t) 0 t t0 c f2 1 c f2 1 - c f 1 c f 1 - t b) 理想低通滤波器脉冲响应函数 A0 |H(f)| fc-fc 0 f |H(f)| fc -fc 0 f 2pt0 a) 理想低通滤波器频率特性 2A0fc (t) 0 t 0 t h (t) 在输入(t)到来以前 ，即t 1时，CN(x)是双曲线函数，随x单调上升。 按照(7.2.19)式，平方幅度函数与三个参数即,p 和N有关。其中与通带内允许的波动大小有关，定义 允许的通带波纹用下式表示： (7.2.21) 因此 (7.2.22) 图7.2.7 切比雪夫型与巴特沃斯低通的A2()曲线 设阻带的起始点频率(阻带截止频率)用s表示，在 s处的A2(s)用(7.2.19)式确定： (7.2.23) 令s=s/p，由s1，有 (7.2.24) (7.2.25) 可以解出 3dB截止频率用c表示， 按照(7.2.19)式，有 通常取c1，因此 上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： (7.2.26) 以上p,和N确定后，可以求出滤波器的极点，并 确定Ha(p)，p=s/p。求解的过程请参考有关资料。下 面仅介绍一些有用的结果。 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： (7.2.23) 令s=s/p，由s1，有 (7.2.24) (7.2.25) 上式中仅取正号，得到3dB截止频率计算公式： (7.2.26) 设Ha(s)的极点为si=i+ji，可以证明： (7.2.27) 式中 (7.2.28) (7.2.28)式是一个椭圆方程，长半轴为pch(在虚 轴上)，短半轴为psh(在实轴上)。令bp和ap分别表 示长半轴和短半轴，可推导出： (7.2.29) (7.2.30) (7.2.31) 图7.2.8 三阶切比雪夫滤波器的极点分布 设N=3，平方幅度函数的极点分布如图7.2.8所示( 极点用X表示)。为稳定，用左半平面的极点构成Ha(p) ，即 (7.2.32) 式中c是待定系数。根据幅度平方函数(7.2.19)式 可导出：c=2 N-1，代入(7.2.32)式，得到归一化的 传输函数为 (7.2.33a) 按照以上分析，下面介绍切比雪夫型滤波器设计步骤 。 1) 确定技术要求p,p,s和s p是=p时的衰减系数，s是=s时的衰减系数 ，它们为 去归一化后的传输函数为 (7.2.33b) (7.2.34) (7.2.35) 这里p就是前面定义的通带波纹，见(7.2.21)式。 归一化频率 2) 求滤波器阶数N和参数 由(7.2.19)式，得到： 将以上两式代入(7.2.34)式和(7.2.35)式，得到： 令 (7.2.36) (7.2.37) 这样，先由(7.2.36)式求出k-11，代入(7.2.37)式，求 出阶数N，最后取大于等于N的最小整数。 按照(7.2.22)式求，这里p=。 +2=10 0.11 3) 求归一化传输函数Ha(p) 为求Ha(p)，先按照(7.2.27)式求出归一化极点 pk,k=1,2,:,N。 将极点pk代入(7.2.33)式，得到： 4) 将Ha(p)去归一化，得到实际的Ha(s)，即 (7.2.38) (7.2.39) 例7.2.2设计低通切比雪夫滤波器，要求通带截止 频率fp=3kHz，通带最大衰减p=0.1dB，阻带截止频率 fs=12kHz，阻带最小衰减s=60dB。 解 (1) 滤波器的技术要求： (2) 求阶数N和： (3) 求Ha(p): 由(7.2.38)式求出N=5时的极点pi，代入上式，得到： (4)将Ha(p)去归一化，得到： 4.模拟滤波器的频率变换模拟高通、带通、带 阻滤波器的设计 为了防止符号混淆，先规定一些符号如下： 1) 低通到高通的频率变换 和之间的关系为 上式即是低通到高通的频率变换公式，如果已知 低通G(j)，高通H(j)则用下式转换： (7.2.41) (7.2.40) 图7.2.9 低通与高通滤波器的幅度特性 模拟高通滤波器的设计步骤如下： (1)确定高通滤波器的技术指标：通带下限频率p ，阻带上限频率s，通带最大衰减p，阻带最小衰减 s。 (2)确定相应低通滤波器的设计指标：按照(7.2.40) 式，将高通滤波器的边界频率转换成低通滤波器的边 界频率，各项设计指标为： 低通滤波器通带截止频率p=1/p； 低通滤波器阻带截止频率s=1/s； 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减仍为s。 (3)设计归一化低通滤波器G(p)。 (4)求模拟高通的H(s)。将G(p)按照(7.2.40)式，转 换成归一化高通H(q)，为去归一化，将q=s/c代入H(q) 中，得 例7.2.3 设计高通滤波器,fp=200Hz,fs=100Hz，幅度 特性单调下降，fp处最大衰减为3dB，阻带最小衰减 s=15dB。 (7.2.42) 解 高通技术要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 归一化频率 低通技术要求： 设计归一化低通G(p)。采用巴特沃斯滤波器，故 求模拟高通H(s)： 2) 低通到带通的频率变换 低通与带通滤波器的幅度特性如图7.2.10所示。 图7.2.10 带通与低通滤波器的幅度特性 表7.2.2 与的对应关系 由与的对应关系，得到： 由表7.2.2知p对应u，代入上式中，有 (7.2.43)式称为低通到带通的频率变换公式。利用 该式将带通的边界频率转换成低通的边界频率。下面 推导由归一化低通到带通的转换公式。由于 将(7.2.43)式代入上式，得到： 将q=j代入上式，得到： 为去归一化，将q=s/B代入上式，得到： (7.2.44) (7.2.45) 上式就是由归一化低通直接转换成带通的计算公式。 下面总结模拟带通的设计步骤。 (1)确定模拟带通滤波器的技术指标，即： 带通上限频率u，带通下限频率l 下阻带上限频率 s1 ,上阻带下限频率 s2 通带中心频率20=lu，通带宽度B=ul 与以上边界频率对应的归一化边界频率如下： (2) 确定归一化低通技术要求： s与-s的绝对值可能不相等，一般取绝对值小的s ，这样保证在较大的s处更能满足要求。 通带最大衰减仍为p，阻带最小衰减亦为s。 (3) 设计归一化低通G(p)。 (4) 由(7.2.45)式直接将G(p)转换成带通H(s)。 例7.2.4 设计模拟带通滤波器，通带带宽 B=2200rad/s，中心频率0=21000rad/s，通带内最 大衰减p=3dB，阻带s1=2830rad/s,s2=21200rad/s ，阻带最小衰减s=15dB。 解 (1) 模拟带通的技术要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=6 (2) 模拟归一化低通技术要求： 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 (3)设计模拟归一化低通滤波器G(p)： 采用巴特沃斯型，有 取N=3，查表7.2.1，得 (4) 求模拟带通H(s)： 3) 低通到带阻的频率变换 低通与带阻滤波器的幅频特性如图7.2.11所示。 图7.2.11 低通与带阻滤波器的幅频特性 图中，l和u分别是下通带截止频率和上通带截 止频率，s1和s2分别为阻带的下限频率和上限频率， 0为阻带中心频率，20=ul，阻带带宽B=ul，B 作为归一化参考频率。相应的归一化边界频率为 u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B; 20=ul 表7.2.3 与的对应关系 根据与的对应关系，可得到： 且ul=1，p=1，(7.2.46)式称为低通到带阻的频率 变换公式。将(7.2.46)式代入p=j，并去归一化，可得 上式就是直接由归一化低通转换成带阻的频率变 换公式。 (7.2.46) (7.2.47) (7.2.48) 下面总结设计带阻滤波器的步骤： (1)确定模拟带阻滤波器的技术要求，即： 下通带截止频率l,上通带截止频率u 阻带下限频率s1，阻带上限频率s2 阻带中心频率+20=ul，阻带宽度B=ul 它们相应的归一化边界频率为 l=l/B,u=u/B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul 以及通带最大衰减p和阻带最小衰减s。 (2) 确定归一化模拟低通技术要求，即： 取s和s的绝对值较小的s；通带最大衰减为p， 阻带最小衰减为s。 (3) 设计归一化模拟低通G(p)。 (4) 按照(7.2.48)式直接将G(p)转换成带阻滤波器 H(s)。 例7.2.5 设计模拟带阻滤波器，其技术要求为： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=