矩阵的特征值与特征向量1.ppt

第四章 矩阵的特征值与特征向量 一.特征值与特征向量的概念与计算 二.相似矩阵与可对角化矩阵 三. 实对称矩阵的特征值与特征向量 *四. 矩阵级数 五.特征值与特征向量的应用 历史点滴 v1743年，法国数学家达朗贝尔（1717-1783）在研 究常系数线性微分组的解的问题时提出“特征 值”的概念 v1820初，法国数学家柯西首先用“特征值” 的方法对实二次型进行研究，后据此提出了实 对称矩阵的“标准形理论” v1878年，法国数学家弗罗贝尼乌斯（1849-1917） 首先定义了矩阵的“相似”与“合同”的概念 并证明了它们的一些主要性质 一.特征值与特征向量的概念与计算 (一)概念与计算 v设A是n阶矩阵,若对于数0,存在非零的n维列向量,使 得 A=0, 则称0 是A的一个特征值, 并称是A的属于特征值0 的一个特征向量 v 称行列式 |E-A|为A的特征多项式, 且 |E-A |= -Tr(A) + + (-1)|A| v|E-A|=0 称为A的特征方程,其根为A的特征值 v(0E-A)X=0 称为A的特征方程组, 其非零解为A的 属于特征值0 的特征向量 (二) 特征值与特征向量的性质 v设A是n阶矩阵,则A与A 有相同的特征值 vn阶矩阵A可逆的充分必要条件是A的每个特征 值均不为零 v若是可逆矩阵A的特征值,则是A 的特征值 vn阶矩阵A的属于不同特征值的特征向量必线 性无关 vn阶矩阵A的所有特征值的和为Tr(A),且其所有 特征值的积为|A| 二.相似矩阵与可对角化矩阵 v定义(相似矩阵) v性质: (1)矩阵的相似关系具有反身性对称性和传递性 (2) 相似矩阵有相同的特征多项式(特征值)、行列 式、可逆性 (3)相似矩阵的任意矩阵多项式也相似 (4) n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵相似的充分必要 条件是 A有n个线性无关的特征向量 二.相似矩阵与可对角化矩阵 (5)设i是A的一个ni重特征值,则A的属于i的线 性无关特征向量的个数ni,i=1,2,s. (6) n阶矩阵A相似于n阶对角矩阵的充分必要条 件是对于A的每个ni重特征值i,特征矩阵 (iE-A)的秩为n-ni ,i=1,2,s. 若尔当标准形 v任一阶矩阵A都与一个若尔当矩阵JA相似,其中 JA的主对角线元素恰好是A的全部特征值, 且 JA 是由s个ni阶若尔当块Ji 构成的准对角矩阵, n= . v若尔当块（矩阵）Ji = ni v若尔当（C.Jordan,1838-1921） vn 阶矩阵A可对角化的充要条件是A 的最小多项式没有重根. 三. 实对称矩阵的特征值 v性质： (1)实对称矩阵的特征多项式的根都是实数 (2)实对称矩阵A的属于不同特征值的特征向量彼此正交 (3) 设A为n阶实对称矩阵，则存在n阶正交矩阵Q,使得 Q AQ = Q AQ 为实对角矩阵 v正交矩阵Q的求法： (1) 求出A的n个线性无关的特征向量1,2,n (2)用施密特正交化方法将1,2,n 化为正交向量组 后再单位(标准)化为1,2, ,n ,则 Q=(1,2, ,n) 即为所求. *四. 矩阵级数 v矩阵序列和矩阵级数的收敛性 -与常数(函数)序列和常数(函数)级数的收敛 定义类似 v矩阵幂级数的收敛性 (1) 设A是n阶矩阵,则 A 0(k)的充分必要 条件是A的任一特征值的模都小于1 (2)设A是n阶矩阵,则矩阵幂级数 A =E+A +A + +A + 收敛的充分必要条件是A 0(k) 五.特征值与特征向量的应用 v污染与工业发展的工业增长模型 v 莱斯利(Leslie)种群模型 v投入产出数学模型 非负矩阵 - 完全消耗系数 - 价值型投入产出数学模型 - 实物型投入产出数学模型 v非负矩阵:设A=(aij)nn,如果 |aij| 1, 或者 |aij| 1,则A的所有特征值的模均小于1 v价值型直接消耗系数矩阵A与对应的实物型直接消 耗系数矩阵A相似 可逆矩阵的特征性质 n阶矩阵A为可逆矩阵的充分必要条件是 (1)存在n阶矩阵B,使得 AB = E . 或者 (2)存在n阶矩阵C,使得 CA = E . 或者 (3)|A|0. 或者 (3) A的转置矩阵A 为可逆矩阵. 或 (4)|A*|0.或者 (4) A的伴随矩阵A*为可逆矩阵. 或 (5) 秩(A)= n . 或者 (7)A等价于n阶单位矩阵.或 (6) A可经有限次行(列)初等变换化为n阶单位矩阵. 或 (7) A可表示为有限个初等矩阵的乘积. 或者 (8) A的行(列)向量组线性无关. 或者 (9) 对任意的n维列向量,n元线性方程组 AX= 都有唯一解. 或者 (10)对任意的 nt 矩阵B, 线性矩阵方程 AX=B 都有唯一解. 或者 (11) n元齐次线性方程组 AX= 0 只有零解. 或 (12) 线性矩阵方程 AX = 0 只有零解. 或者 (13) A的特征多项式的根均不为0. 或者 (14) A的特征多项式的常数项不为0. 或者 (15) A的最小多项式的常数项不为0. 或者 (16) A相似于可逆的上(下)三角矩阵. 或者 范例讲解 v设n阶矩阵A、B满足条件 r(A)+r(B)n,证明: A与B有公共的特征值和公共的特征向量. v证明:若0 是m阶矩阵Amn Bnm 的特征值,则也是n阶 矩阵 BnmAmn的特征值. v证明:若A是n阶正交矩阵,且|A|=-1 ,则-1是 A 的一个特征值. v设A,B 均为n阶矩阵,则AB与BA有相同的特 征多项式,但AB与BA未必相似. v设n阶矩阵A满足条件