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第18章 光的衍射 18.1 光的衍射现象 惠更斯-菲涅尔原理 圆孔衍射 一、光的衍射现象 1 圆盘衍射 菲涅耳衍射 夫琅和费衍射 衍射分类： 矩孔衍射 2 2. 夫琅和费衍射: 1. 菲涅耳衍射： 光源和接受屏（或两者之 一）距离衍射屏有限远。 S 光源 衍射屏 接收屏 d D 有限远 图中 d 及 D 为有限值。 平行光的衍射， 光源和接受屏都距衍射屏无限远，或相 当于无限远。 衍射屏 来自无限远光源 射向无限远 处接收屏 S 焦点 焦平面 3 二、惠更斯菲涅耳原理 菲涅耳补充：从同 一波阵面上各点发 出的子波是相干波 。 1818年 惠更斯：光波阵面上每 一点都可以看作新的子 波源，以后任意时刻， 这些子波的包迹就是该 时刻的波阵面。 1690年 惠更斯解释不了光强 明暗分布！ 4 惠更斯 菲涅耳原理 波前S上的每个面元ds都可以看成是发出球面子 波的新波源，空间任意一点P的振动是所有这些子波 在该点的相干叠加。 图 菲涅耳原理 1）各子波在 P 点的相位 2）各子波在 P 点的振幅 3） P 点的振动方程 5 18.2 单缝的夫琅和费衍射 一. 装置 衍射图样 单缝的夫琅和费衍 射 子波向各个方向传播，同方向的一组光，在焦平面汇聚为 一点。 菲涅耳波带法 (a) 衍射图样为明暗相间的平行直条纹, 中央明纹光强最大宽度最宽。 同方向的一组光方位用该光的方向与中心轴夹角表示，称为 衍射角。 6 二. 菲涅耳半波带法 衍射光强分布与 几何光学结果比较 ： 1. 思路： 波阵面分成偶数个半波带则暗;分成奇数个半波带则亮。 将波阵面分成许多等面积的条带，并使相邻条带的贡献 相消，即相邻条带对应点间的光程差为/ 2 ，这样的条带 称为半波带。 2. 结论： 3. 具体分法（演示） 7 菲涅耳半波带法： 菲涅耳波带法 (b) 用间隔 / 2 、垂 直BC 的一系列平行平 面来分割波阵面。 BC 为 / 2 的多少倍 ，就将分割出相同数目 的半波带。 8 对应沿不同方向传播的光，狭缝波阵面可分的半波 带数不同，这个数目决定了该衍射方向的光强。 明纹 暗纹 9 平行光垂直单缝平面入射，明暗条纹的位置用衍射角表示。 单缝分成了偶数 2k 个半波带。 三. 明、暗条纹位置公式 1. 暗条纹中心 中央 明纹 0 x 两暗纹间距 暗纹在焦平面上的位置 10 2. 次级明纹中心（近似） 单缝分成了奇数 （2k+1 ） 个半波带。 3. 中央明纹 位于正负一级暗纹之间。 半角宽度: 1 为第一级暗纹的衍射角。 中央明纹 次级明纹在焦平面上的位置 11 讨论： 式中 f 为透镜焦距， 1为一级暗纹的衍射角。 中央明纹宽度 中央明纹宽度的大小是衍射强弱的标志，它正比于波长 ，反比于缝宽 a 。 当 a 时，各级条纹全部并入中心线附近，与几何 光学结果相同，几何光学是波动光学在 / a 0 时的极 限情形 。 中央明纹宽度是各次级明纹宽度的 2 倍。 中央明纹集中了衍射的绝大部分能量。 各次级明纹强度随级次 k 的增大迅速减小。 设主极大（中央明纹中心）光强为 Io ，经精确计算可 知，各次级极大光强依次为 4.7% Io ， 1.7% Io , 0.8% Io 。 12 四. 振幅矢量法 相邻面元的光程差 位相差 衍射矢量图 N个等宽的细窄条子波源 到P点的距离近似相等 引起的光振幅近似相等, 13 两式相除 其中 14 1) 中央明纹 - 主极大 2) 暗纹 3) 次级明纹 作图法可得其它主极大 15 18.1. 波长为 6000 埃的单色光垂直照射宽 a=0.30 mm 的 单缝，在缝后透镜的焦平面处的屏幕上，中央明纹上下两侧第二条 暗纹之间相距 2.0 mm ,求透镜焦距。 且距中央亮纹中心的距离为 解： 由第二暗纹 k=2 得： x a 16 18.2 单缝宽 0.10 mm ，缝后透镜焦距为 50 cm , 用波长 =5461 埃 的平行光垂直照射单缝，求透镜焦平面处屏幕上中央明 纹宽度。 中央明纹宽度为 解： 在正负第一级暗纹 之间的区域为中央明纹，有 a x 17 18.3. 单缝宽a=0.2mm，在缝后放一焦距f=0.5m的透镜，在透镜 的焦平面上放一屏幕。用波长为=0.5461m的平行光垂直 的照射到单缝上，试求：（1）中央明纹及其他明纹的角宽 度及屏上的线宽度；（2）第k级明纹的相对强度。 解：（1）设第一级暗纹的衍射角为1， asin1= 设第k级和第k+1级暗纹的衍射角为k和k+1,第级明纹的角宽度为 18 （2）将第k级明纹的近似位置 代入到单缝衍 射的强度公式中。 19 18.3 光栅衍射 1. 光栅衍射 光栅： 具有空间周期性的衍射装置 缝间距为d d=a+b 称为光栅常数 光栅的衍射条纹： 单缝衍射 和 多缝干涉 的总效果 20 光栅的衍射条纹是单缝衍射和多光 干涉的总效果 21 光栅常数 d = a+b （1） 明纹 - 多缝干涉加强 光栅方程： （2） 暗纹 - 多缝干涉相消 （主明纹或主极大） - 相邻主明纹之间有 N-1 条暗纹 （3） 次明纹 - 相邻主明纹之间有 N-2 条次明纹或次极大 22 光栅常数 d = a+b （1） 明纹 （2） 暗纹 （3） 次明纹 （4）缺级现象 缺级的级次为: 例如，当 a+b=2a, 则 k=2k k=2,4,6. 缺级 当 b=a/3 , 则k=4k/3 k=4,8,12. 缺级 23 光栅衍射强度公式 衍射因子干涉因子 分析干涉因子：N条相干光叠加 相邻两缝对应光线周相差 由 24 讨论： (1) 光强有极大值 即 (2)但仍为整数： 极 小 光栅 公式 25 平行光斜入射到光栅上时: 相邻两缝在入射前有光程差 AB,衍射光线在x轴正方向时,衍射 后有光程差 DC ,总光程差： G B A O P L C D f 斜入射光栅方程： 如图所示，接收屏上半部分 衍射主极大级次数目减少，而 下半部分衍射级次比垂直入射 时增大。 衍射光线在x轴负方向时，衍射 后有光程差 BD ,总光程差： B A O P C D f 26 4. 反射式光栅- 闪耀光栅27 18. 4 波长为 6000 埃 的单色光垂直入射在一光栅上。 第二级明纹出现在 sin=0.20 处，首次缺级为第四级(ab)。试求 （1） 光栅常数； （2） 光栅上狭缝宽度； （3） 屏上实际呈现的全部级数。 （1） 光栅常数 （2） 光栅衍射为单缝衍射与多缝干涉的合成结果。 缺级即干涉的主极大恰与单缝衍射的极小重合，即 解： 由光栅方程 28 据题意，首次缺级为第四级 （3） 由 29 18. 5 用4000埃-7600埃的复合平行光垂直入射一光栅，第二级衍 射光谱的最大衍射角与最小衍射角之差为20O，求(1)光栅常数。(2) 从哪一级光谱开始不同级次的光谱重叠? 解： 30 (2)假设第k级重叠 31 18. 6用波长为=0.59m的平行光照射一块具有500条/mm狭缝 的光栅，光栅的狭缝宽度a=110-3mm。试求：（1）平行 光垂直入射时，最多能观察到第几级光谱线？实际能观察 到几条光谱线？（2）平行光与光栅法线呈夹角=300时入 射，如图所示，最多能观察到第几级谱线？ 解：（1）光栅常数： d=a+b=110-3/ 500=210-6 m 光栅方程： dsin=k 衍射条纹中，k=2的主极大缺级，故实际上屏上能观察到的主极 大条纹为k=0,1,3,共5条。 32 （2）当平行光斜入射时：（a+b)(sin +sin)=k 300 所以当以 =300入射时，最大能观察到的次级为即可能到的光 谱 线最高级次为 5。 300 33 18.4 光学仪器分辨率 其中 是一阶柱贝塞耳函数 1. 圆孔的夫朗和费衍射 34 爱里斑 半角宽度： R：孔半径 D：孔直径 爱里斑半径： 式中 f 是透镜焦距 中央亮斑称爱里斑，它占 入射能量的 84 % 。 多数光学仪器，包括人眼，相当于一凸透镜，其边缘（光阑）相当 于一圆孔，而且多数情况是通过平行光或近似平行光成像，所以人 眼及多数光学仪器就构成了夫朗和费圆孔衍射装置，物点所成的像 ，不是几何点，而是圆孔夫朗和费衍射图样，至少是一爱里斑。 爱里斑 D 35 2. 光学仪器的分辨本领 瑞利判据 当一个爱里斑中心 刚好落在另一个爱里 斑的边缘上时,就认为 这两个爱里斑刚好能 分辨 最小分辨角: 分辨本领: 36 望远镜的分辨本领 显微镜的最小分辨距离 式中：n 为物方的折射率 u 是显微镜物镜半径对物点的半张角 nsinu 称为物镜的数值孔径（.） 显微镜的分辨本领 37 38 荷兰兰 透射电镜电镜 场发射枪电镜 日本 透射电镜电镜 透气膜的电子显微镜图片 39 5nm 40 光栅分光原理 色分辨本领 R 恰能分辨的两条谱线的平均波长 与 这两条谱线的波长差 之比 光栅光谱 3. 光栅的分辨本领 光栅分光镜 41 波长为 的第 k 级主极大的角位置 波长为 的第 kN+1 级极小的角位置 两者重合 42 18. 7 已知天空中两颗星相对一望远镜的角距离为 4.8410-6 rad , 它们发出的光波波长为 5500埃，问望远镜物镜 的口径至少多大，才能分辨出这两颗星？ 故物镜直径至少为 解: 据题意，望远镜的最小分辨角应为 min 物镜 焦平面 43 18.8 试估算人眼瞳孔在视网膜上所形成的爱里斑的大小，以及人 眼所能分辨的20m远处的最小线距离。 解：人的瞳孔的直径为：D=2-8mm之间调节， 取波长为550nm, D=2mm. 爱里斑的角半径： 人眼的焦距 爱里斑的直径为： 取： 人眼所能分辨最小线距离 在1mm2的视网膜面元中布满约5100个爱里斑。 44 18.9 一光源发射的红双线在波长=6563埃处，两条 谱线的波长差= 1.8 埃，欲用一光栅在第一级中把这两条谱线分 辨出来，试求该光栅所需最少刻线总数。 解： 由光栅分辨本领 45 4.5 X 射线的衍射 劳厄实验 劳厄斑 布喇格条件 劳厄相 德拜相 46 劳 厄 相 德拜相 X射线在 NaCl单晶 衍射 中子束在 NaCl单晶衍 射 (a)0.071nmX 射线通过铝 箔衍射 (b)0.05nm电 子束通过铝 箔衍射 (c ) 中子通 过铜箔的衍 射 47 18.10 在比较两条单色X射线谱线波长时，注意到谱线A在与某种晶 体的光滑表面成300的掠射角处，出现第1级反射极大。谱线B( 已知具有波长0.097nm）则在与同一晶体的同一表面成600的 掠射角处，出