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理论力学教案 理论力学课程基本信息（一）课程名称：理论力学（二）学时学分：每周4学时，学分4（三）予修课程：力学、高等数学（四）使用教材：金尚年、马永力编著理论力学，第二版.，北京：高等教育出版社，2002年7月，面向21世纪课程教材。（五）教学参考书：1.周衍柏 理论力学教程（第二版），北京：高等教育出版社，1986年。2.郭士望 理论力学上、下册，北京：高等教育出版社，1982。3.梁昆森 力学上、下册，北京：人民教育出版社，1979。（六）教学方法：课堂讲授，启发式教学（七）教学手段：传统讲授与多媒体教学相结合（八）考核方式：闭卷考试占总成绩70%，平时作业成绩占30%（九）学生创新精神与实践能力的培养方法：在课程讲授过程中注意采用启发式教学手段，将基本的概念和规律讲清、讲透，而将一些具有推广性的问题留给学生思考，以此来提高学生分析问题、解决问题的能力。并且在课堂讲授时多联系实际的力学问题，以此来提高学生解决实际问题的能力。（十）其他要求：每堂课后布置适量的课后作业并定期批改、检查和给出成绩，这部分成绩将占期末总成绩的30%。绪 论一：理论力学课程的内容：该课程是以牛顿力学和分析力学为主要内容的力学理论，是理论物理的第一门课程。是从物理学的基本经验规律出发，借助于微积分等数学工具，推导出关于物体机械运动时所满足的整体规律的一门课程。二：理论力学与力学的区别和联系1.内容：理论力学包括牛顿力学和分析力学，是力学课程的深入和提高；而力学课程仅讲授牛顿力学，且研究的深度不及理论力学。2.研究手段：力学是从物理现象出发，通过归纳总结出物质运动的规律。理论力学是从经验规律出发，借助于数学工具，推导出物质运动所满足的规律，并通过实践来检验该规律的真伪，着重培养学生理性思维的能力。三：本教材的特点：将牛顿力学和分析力学穿插在一起讲解，可对比二者在处理力学问题时各自的优缺点，并适当增加了分析力学在这门课中的比重。第一章 牛顿动力学方程第一章 牛顿动力学方程教学目的和基本要求：要求学生了解牛顿运动定律的历史地位，掌握牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式和使用方法；熟练掌握运用运动微分方程求解并讨论力学问题的方法；理解质点系、质心、动量、角动量和能量的概念；熟练掌握三个基本定理、三个守恒定律的内容和它们的适用条件，以及应用它们求解问题的方法步骤；了解研究变质量物体运动的指导思想和处理方法。教学重点：熟练掌握牛顿运动定律，动量、角动量、能量定理以及运用这些定理解决力学问题的方法。教学难点：如何讲清牛顿第二定律、三个守恒定律在具体力学问题中的应用方法。1.1 牛顿的原理奠定了经典力学的理论基础一：经典力学的理论基础牛顿于1687年发表的自然哲学的数学原理，简称原理，是牛顿在总结伽利略等前人的研究成果再加上自己的研究成果后形成的。在原理中牛顿提出了著名的力学三定律和万有引力定律，并阐述了关于时间、空间的基本概念和区别相对运动和绝对运动的思想。在物理学中将以原理为依据的力学称为经典力学或牛顿力学。二：经典力学的物质观、时空观及运动观。1. 物质观、时空观及运动观在力学中的重要性。 力学研究的是物体的空间位形随时间的变化规律，因此要建立力学的理论体系首先就要对什么是物质、时间、空间和运动有科学的认识和明确的规定。2. 物质观、时空观及运动观的发展历史：亚里士多德，笛卡尔等。3. 牛顿力学的物质观、时空观及运动观。（1）物质观：以古希腊原子论为基础，认为世界是由原子构成，原子间的作用力构成万物的运动。（2）时空观：“绝对的、真正的、数学的时间自身在流逝着，而且由于其本性而在均匀地，与其他任何事物无关地流逝着”，即时间是一维的、均匀的、无限的，与空间和物质无关。牛顿还认为在宇宙中存在着绝对的、三维的、均匀的和各向同性的绝对空间。在绝对空间中可取这样的坐标系：原点静止于绝对空间中，坐标轴的方向一经选定就不再改变，那么这个坐标系就代表了绝对空间。物体相对于该坐标系的运动即为绝对运动。一切相对于绝对空间做匀速直线运动的参考系惯性参考系。（3）运动观：牛顿第三定律和力学相对性原理，它们可以看成是力学的最高原理。另外还包括万有引力定律。 此外在原理一书中牛顿还明确定义了动力学理论所必需的一系列完整的辅助概念，发明了微积分，将力学原理与数学结合起来，使力学成为了严密的科学理论。三：牛顿运动三定律1：运动三定律：第一定律：一个物体，若没有外力影响使其改变状态，则该物体仍保持其原来静止的或匀速直线运动的状态。第二定律：运动的变化，与所加的力成正比，其方向为力作用的方向。第三定律：作用恒与其反作用相等，方向则相反。 其中最重要的是第二定律，其原始的数学表达式为 （1.1）如果将物体质量m看成常量，上式可改写为 或 （1.2）2：力学相对性原理：在一个系统内部的任何力学实验，都不能决定这一系统是静止的还是在作匀速直线运动。意义：根据这一原理，相对于绝对空间做匀速直线运动或静止的参考系力学规律完全相同，这样将牛顿定律的适用范围从绝对空间推广到惯性系。因牛顿设想的绝对空间实际上是不存在的，这样就为牛顿力学的使用找到了一个理论依据。3：伽利略变换。设参考系S和S均为惯性系且S相对于S以匀速u运动，那么这两个参考系之间的时空坐标的变换关系为： （1.3）将上式代入（1.2）式可见牛顿第二定律在伽利略变换下保持不变，因此力学相对性原理又可表述为：力学定律对于伽利略变换保持不变。四：牛顿运动三定律的局限性：适用于低速宏观物体。五：牛顿的认识论、方法论简介：简单性，因果性，同一性和真理性。简单性：科学上正确的东西都是简单的，如果同一个问题可用简繁不同的方法得到相同的结论，应该选用简单的方法。因果性（决定论）：就是由一定的前因按照自然规律必然可确定唯一的结果，反之由一定结果必然可确定唯一的原因。这在量子力学出现之前一直是物理学最牢固的一个信条。统一性：指原理中所阐述的定律和物质观等在没有证明它的局限性和错误性之前应该认为它对整个自然界都是普遍适用的。真理性：就是承认的相对性和绝对性。六：本节重点：了解力学的发展历史，掌握牛顿运动三定律。1.2 牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式牛顿运动定律的核心是第二定律，本节将就其数学表达式做深入探讨。一：牛顿第二定律： （2.1） 在经典力学中物体的m为常数，牛顿定律变为：。一般情况下F为坐标、速度和时间的函数，即 （2.2），所以牛顿第二定律可进一步表示为： （2.3）此式为二阶微分方程，在具体求解力学问题时，需要将其转化为标量方程。根据坐标系的不同，牛顿第二定律有以下表达式。二：牛顿第二定律在常用坐标系中的表达式：1.直角坐标系：空间任一点P位置可用x、y、z三个参数来表示，用i、j、k分别表示沿x轴、y轴、z轴的单位矢量，则空间任一点P的位置矢量可表示为： （2.4）进一步可得及 （2.5）牛顿第二定律的可表示为： （2.6）2.平面极坐标系：平面上任一点P的位置可用参数r、来表示。er和e分别表示矢径r增加方向和极角增加方向的单位矢量(如图1.1），它们的方向随着P点的运动而改变，则位矢 （2.9）。由图1.1可将er和e化为i、j的函数：，进一步得 （2.7）， （2.8）接着可求出 （2.10）， （2.11），牛顿第二定律的可表示为： （2.12）3. 球坐标：空间任一点P的位置可用参数r、来表示， er 、e、 e分别表示r、 三个参数增加方向的单位矢量 (如图1.2），它们的方向随着P点的运动而改变。将er 、e和e化为i、j、k的函数，如，进一步可求出，结合 可得牛顿第二定律的可表示为： （2.21）4.柱坐标：空间任一点P的位置可用参数R、 、z来表示， eR 、e、 k分别表示相应的单位矢量(如图1.3） 。 eR 、e的方向随着P点的运动而改变，而k的大小方向均不变，参考平面极坐标可得： （2.23） （2.24）牛顿第二定律的表达式为： （2.25）5. 自然坐标和内禀方程：以上坐标系中其单位矢量或者与运动无关，或者仅与质点的位置有关，而与质点的速度（方向）均无关。还有一种自然坐标，其单位矢量的方向由任一时刻速度的方向决定，相应的牛顿动力学方程被称为本性方程或内禀方程。（1）平面自然坐标：用et 、en分别表示质点运动轨道的切线和法线方向的单位矢量(如图1.4）， 即et与任一时刻速度V同向，显然et 、en二者为变矢量，有 （2.26）另由及可得 （2.27）进一步可得牛顿第二定律的表达式为： （2.28）（2）空间自然坐标：基本概念：密切面：PP1与PP2所构成的极限平面。et：在密切面内沿轨道曲线切线方向的单位矢量，其方向沿质点运动方向。en：在密切面内与et垂直的单位矢量，其方向指向曲线的凹侧。主法线：与en同向的法线。 eb：由et en决定的单位矢量。次法线：与eb同向的法线。 法平面：由en、 eb构成的平面。直切平面：由et 、en构成的平面。用et 、en、 eb分别表示质点运动轨道的切线、主法线和次法线方向的单位矢量，et与任一时刻速度V同向，显然et 、en、 eb三者均为变矢量。类似于平面自然坐标，利用得牛顿第二定律的表达式为： （2.29）（3）适用范围：适用于运动轨道已知的质点运动，或用于介质阻力不能忽略的运动。三：本节重点：掌握直角坐标系、平面极坐标系、柱坐标系、平面曲线自然坐标系中牛顿第二定律的分量表达式。1.3 质点系牛顿运动定律是针对质点提出的，对于不能看成质点的力学体系，则必须重新分析讨论。一：质点系：（1）定义：由两个或两个以上相互联系的质点所组成的力学体系为质点系，质点间的联系体现在质点间的相互作用对发生作用的每个质点的运动均有影响。（2）实例：A：太阳九大行星 B：m、m通过轻绳联系在一起，如图1.5。前者是九个单质点的力学问题，后者是两质点构成的质点系。（3）结论：A：不能以质点个数的多少来推断是否为质点系，而应该看质点之间的作用力是否对发生作用的质点的运动均有影响。B：内力和外力的区分。二：质点系的运动方程1.一般方法：设有n个质点构成一质点系，由牛顿第二定律可得：，i=1，2.n （3.1），共3n个标量方程。若质点系受内部或外界的约束共k个，则Fi中会含由k个未知的约束力Fni，则可得k个约束方程：，j=1，2.k （3.2）联立以上共3n+k个方程可求出3n+k个未知数。2. 一般方法的困难性和解决方法：以上方法需求解的方程个数太多，可借助于动量、角动量、能量定理简化求解过程。三：本节重点：正确理解质点系的概念和力学问题的处理方法。1.4 动量定理一：动量及动量定理1.质点：定义动量为P=mv，由牛顿第二定律可得动量定理为，若F=0，则质点的动量P=C，即动量守恒。注：虽然这里由牛顿第二定律推出动量定理，但后者的适用范围超过前者，所以有些场合将牛顿第二定律看成动量定理的推论。2.质点系：（1）动量：定义质点系的动量为（2）动量定理：对每一个质点应用动量定理可得：， i=1，2n. （4.3）其中表示质点所受的合外力，表示质点所受的内力的合力，且，将（4.3）式共n个方程相加在一起，可得： （4.4）考虑到，所以上式中，这样（4.4）可简化为 （4.6）上式即为质点系的动量定理，它表示质点系动量的变化率等于体系所受的的合外力，与内力无关。二：质点系的动量守恒：在动量定理（4.6）式中如果，则可得，即质点系的总动量守恒。当得，即动量在某一方向上（如x方向）的分量守恒，如发射炮弹的问题。当时，则可得，如碰撞问题。三：质心运动定理：1.质心：定义质心的位矢rc为 （4.9） 则有 （4.10）即质点系的动量可看成将质量集中在质心上并以质心的速度运动的质点所具有的动量。2. 质心运动定理：将代入动量定理可得 （4.11）上式即为质心运动定理，它说明质心的运动就象一个质点的运动一样，此质点的质量等于质点系的总质量，作用在此质点上的力等于质点系所受的合外力。四：本节重点：掌握质点系的动量定理、动量守恒定律和质心运动定理。1.5 角动量定理一：.质点的角动量和角动量定理1.角动量定义质点的角动量（动量矩）L为位矢r与动量的矢量积，即 （5.1）2.角动量定理：，即质点角动量对时间的变化率等于质点所受的力矩。推导：由角动量的定义式L=rp，两边对时间求导可得：，因，又定义力矩，最终可得角动量定理 （5.2）3.角动量守恒：如果质点所受的力矩M=0，则可得L=C，即如果质点所受的力矩为零，则其角动量守恒。 注：M、L必须是针对坐标原点或惯性系的同一点而言。4.应用：当质点受有心力的作用时，易得，则有二：.质点系的角动量和角动量定理1.角动量：定义质点系的角动量L为各质点角动量Li的矢量和，即。2. 角动量定理：，即质点系角动量对时间的变化率等于质点系所受的外力矩之和，与内力矩无关。推导：由动量的定义式，两边对时间求导可得：，考虑到上式中，最终可得角动量定理 （5.5）3. 角动量守恒：同质点的角动量守恒一致，当时，有，即角动量守恒。 以上讨论的均是相对于惯性系的坐标原点而言，但在处理实际的力学问题时，往往选取相对于某一点P的L、M比选取相对于坐标原点的更方便，下面我们就专门讨论这种情况。4.相对于惯性系中任一点P的角动量定理定义，参考图1.6利用，同理可得，将代入角动量定理 可得：或 （5.6）讨论：A：当Vp=0时，P为惯性系中的定点，角动量的形式不变，。 B：Vp0，但Vp与Vc同向，角动量的形式不变，。 C：，角动量的形式不变，。三：质心系中的角动量定理1.质心系：以质心为坐标原点且相对于惯性系做平动的参考系为质心系，其坐标轴始终平行与惯性系中相应坐标系的坐标轴，多为理论工作者使用。2.实验室系：以惯性系为运动参考的参考系，以前我们所讨论的问题均是在实验室系中讨论的，多为实验工作者使用。3.质心系中的角动量定理：首先定义分别代表质心系中的位置矢量，速度，角动量，力矩,且有（严格来说应为，详见第五章），。 注：与是不同的两概念，与是不同的速度，前者是质点在惯性系中的速度，而后者是质点在质心系中的速度。但是可以证明L、 LC二者相等。证明：因，所以有 （5.10） （5.11），所以，接着将中的、用，替换掉，最终可得 。四 本节重点：重点掌握惯性系中的角动量定理。1.6 能量定理一：质点的动能定理1.质点的动能：或 （6.1）2.质点的动能定理： （6.2），即作用在质点上的力所做的元功等于质点动能的增量。证明：由等式两边求微分可得 一段过程：二：质点系的动能定理1.质点系的动能：质点系的动能为所有质点的动能之和，即， （6.3）2.质点系的动能定理： 将动能表达式两边取微分 （6.4）即质点系动能的增量等于外力和内力所做的元功之和， 注：动能的增量与体系的内力有关，这一点与质点系的动量、角动量定理有明显的区别。以上我们只证明了动能定理对惯性系成立，对于质心系是否成立需证明。3.寇尼希定理质点系的动能等于质点系全部质量集中在质心并以质心的速度运动的动能，再加上各质点相对于质心系运动的动能，即（6.5），其中 （6.6）证明：由及可得，其中用到。4.质心系中的动能定理：质点系相对于质心系的动能的增量等于作用于质点系的外力和内力在质心系中所做的元功之和，即 （6.7）由两边取微分可得 另由 联立且由质心运动定理，可得三：保守力和势能 在动能定理中有，因，因此W一般很难直接求出，但可以证明当为某一类特殊的力时，W可方便的求出。1.保守力：当为某一位置函数的梯度即时，该被称为保守力，此时做功与质点运动的路径无关。证明：由，将上式代入 可得，即，两边积分可得 （6.11）说明：可见保守力做功只与始末位置、有关，与运动的具体路径无关。可证明保守力满足。常见的保守力：重力、弹力、万有引力、库仑力等。2.势能：当某位置函数满足（6.9），该函数被称为势能。它由发生相互作用的物体共有，且势能为相对量，当给出它的具体数值时必须指出势能的参考零点。由，可得， 3.机械能守恒：定义动能T与势能V之和为机械能E，当体系仅受保守力作用时，可证明此时机械能守恒。证明：由 （6.13），即机械能守恒。4.质点系势能：因势能为标量，所以质点系的势能为所有质点的势能之和，即，当质点系所受内、外力均为保守力时， （6.14）5.例：计算受中心力的两质点的势能（从略）四：本节重点：重点掌握惯性系中质点系动能定理和寇尼希定理以及保守力、势能的概念。1.7 变质量运动方程一：变质量力学问题分类1.质量随t增加而增加：，例：雨滴2.质量随t增加而减小：，例：火箭以上两类问题均可用动量定理推导出的变质量运动方程求解。二：变质量运动方程1.运动方程：2.推导：t时刻： m， ， t+t： m-m、；m、； ,由牛顿第二定律，最终可得 （7.1） 即变质量运动方程。注：均是相对于惯性系的速度，即绝对速度。3.密斯尔斯基方程： （7.3）在上述方程的基础上，令为废气相对于火箭的速度，它与反向。设为火箭前进方向上的单位矢量，即与同向，则有：，将上式代入变质量运动方程可得：或，其中，为推进力。结论：要提高火箭的，需设法提高，即提高和。三：实例：设，火箭做直线运动且=C，则有，设，则有，令t=0时，可得：。如令，为空火箭的质量，为燃料的质量，则有。结论：（1）与成正比（2）与成正变关系，且增大比增大的效果好。四：本节重点：了解变质量运动方程，掌握、对提高火箭的影响。1.8 综合例题（从略）掌握例1、例2、例4，了解例3。本章习题：1.1、1.4、1.6、1.7、1.10、1.13、1.20、1.24、1.29、1.35、1.37。15第二章 拉格朗日方程第二章 拉格朗日方程教学目的和基本要求：正确理解各种约束的物理意义，掌握判断力学体系自由度的方法和选择广义坐标的基本原则；能应用虚功原理求解处于静平衡的力学体系的各类问题；掌握运用广义坐标、广义速度和时间来表示拉格朗日函数的方法；能熟练地用理想、完整体系拉格朗日方程建立力学体系的运动微分方程。 教学重点：在理解各种约束、自由度的物理意义的基础上，熟练掌握应用拉格朗日方程求解力学问题的方法。教学难点：约束、自由度的物理意义及拉格朗日方程在力学问题中的应用。2.1 理想约束、达朗贝尔方程一：牛顿动力学方程的一般解法1. 一般解法：设有n个质点，受到k个约束的质点系，则有3n个未知的坐标（）和k个未知约束力，为求解这3n个未知的坐标，解方程的一般步骤如下：牛顿第二定律3n个运动微分方程+k个约束方程3n个微分方程（3n-k）个微分方程解出个未知的（3n-k）独立坐标解出全部3n个未知坐标和k个未知约束力。2. 实例：以图1.7的力学问题为例（从略）3.局限性：当n、k的个数较大时，求解方程将十分困难甚至无法完成。因此当n较大时如果我们能直接写出（3n+k）个不含未知约束力和非独立坐标的方程，求解方程的过程将大大简化，。这种方法正是拉格朗日方程所采取的方法，此外拉格朗日方程的物理意义还超出了力学的范畴而扩展到物理学别的领域。二：虚位移、约束和虚功 1.实位移和虚位移 实位移：质点按力学规律运动时，在时间内实际所发生的位移，用表示。以前我们所讨论的位移均为实位移。 虚位移：想象在某一时刻t，质点所发生的约束所允许的无限小的位移为虚位移，用表示。它不是质点实际运动所产生的位移，因而不需要时间，只要满足约束条件即可。 的运算法则：被称为变分符号，它作用在坐标和函数上时与微分符号d完全相同，如：，。但作用于时间时为零即，这一点与d不同。2.约束：力学体系在运动时所满足的某些规律，约束在物理上均可用约束方程的形式确切地表达出来。例：z=0，限制质点在xy平面上运动；z=0且x2+y2=0，限制质点在xy平面上做圆周运动。3.实位移和虚位移地关系 体系受稳定约束（约束条件不随时间而变化，约束方程中不含时间t）时，实位移是众多虚位移中的一个。 体系受不稳定约束（约束方程中含时间t）时，实位移与虚位移无直接关系。三：虚功：（想象的）力在质点的虚位移上所做的功为虚功， （1.1）四：理想约束：1.定义：所有约束力（内，外约束力）在体系的任意虚位移上所做的虚功之和为零，则这种约束为理想约束。可用下式表达该约束的特点： （1.2）表示第i个质点所受的内、外约束力之和。2.常见的理想约束：（1）质点沿光滑曲面（曲线）运动时所受的约束。因沿曲面法线方向而沿曲面切线方向即有，所以。（2）质量可忽略的刚性杆所连接的两质点。如图2.3所示，为作用在P1、P2上的约束力，其方向在P1P2的连线方向上，由牛顿第三定律可得，因此，。对于刚性杆因为常数，所以，最终可得（3）两个刚体以光滑表面相接触。用表示两个刚体相互之间的作用力和反作用力，则。由于两个刚体之间有相对滑动，因此但可以证明在接触点的公切面内，而垂直于公切面，因此。（4）两刚体以完全粗糙的表面相接触。因刚体在这种约束下只能做纯滚动，即，约束条件为，因此有（5）两个质点以柔软不可伸长的绳子相连接。可用类似于（2）的方法证明。实际的力学体系可看成由刚体和质点构成，只要相互之间的联结是刚性的，接触面是光滑或绝对粗糙的，那么该体系所受的约束都可看成理想约束。如果存在摩擦力Ff，可将其看成主动力，则力学体系所受的约束仍为理想约束。五：达朗贝尔方程： （1.4）证明：设体系由n个质点构成，为主动力，为约束力。 由牛顿第二定律： i=1，2，n 将n个方程分别乘以后相加、移项可得 。最后一步用到了理想约束的特点，在该方程中约束力不再出现。六：例：用达朗贝尔方程写出图1.7所示力学体系的运动方程（从略）七：本节重点：重点掌握虚位移、虚功、理想约束等物理概念，掌握用达朗贝尔方程求解简单力学体系的运动方程的方法。2.2 完整约束 广义坐标 达朗贝尔方程中虽然不含，但仍有非独立坐标，对于一种完整约束，可在达朗贝尔方程的基础上直接写出不含、非独立坐标的动力学方程。一：完整约束1.定义：约束条件只和体系中各质点的坐标有关，即约束方程中只含和t，不含，约束方程为 （2.1） 例：绕O点转动的细管中的质点，双单摆2.性质：理论上可证明，凡是完整约束都可以通过约束方程用代数的方法将非独立坐标消去，每一个约束方程可以消去一个独立坐标。 如果n个质点构成的力学体系受到k个完整约束，约束方程为 j=1，2，k， （2.2）独立坐标的个数为s=3n-k （2.3）3.自由度：力学体系中独立坐标的个数s被称为体系的自由度。二：非完整约束1.定义：如果体系所受的约束不能由约束方程直接消去非独立坐标，该约束为非完整约束。2.分类：非完整约束包括运动约束（微分约束）和可解约束两类。（1）运动约束：约束方程中除了含有和t外还含有关于时间t的一次或高次导数、等，约束方程为。在动力学方程未解出之前，无法通过约束方程将非独立坐标消去。如图2.7轮子在xy平面上做曲线纯滚动，确定轮子在空间的位置需要x、y、和自转角，但由于受到纯滚动的约束轮心的速度和自转角速度之间存在约束。另由图2.8可得，将约束方程代入以上两式可得 （2.4）上式表明4个坐标中独立的坐标只有两个，但在动力学方程未解出之前，我们无法通过积分的方法利用（2.4）式将不独立的坐标消去。但可证明如果轮子做直线滚动即为常数则可以将不独立坐标消去。（2）可解约束（单面约束）：约束方程中虽不含的微分项，但方程中含有不等式。显然由于方程中存在不等式，所以也无法用代数法通过约束方程消去非独立坐标， 例：用长为L的绳子将质点悬挂于固定点，x2+y2+z2L2。 这种约束通常将其分为两种约束，增加一个独立坐标，这样可解约束将变为不可解约束，也就是成为了完整约束。 综上所述，非完整约束一般专指微分约束。 此外，约束还可根据约束方程中是否含有时间t将约束分为稳定、不稳定约束。三：广义坐标：1.定义：建立一个力学体系的动力学方程所需要的独立坐标被称为广义坐标。一个力学体系的广义坐标一旦确定了，其在空间的位形也就确定下来。广义坐标与自由度的关系：完整约束其广义坐标的个数与自由度个数相等。非完整约束其广义坐标的个数可大于自由度个数。可简单地认为自由度比广义坐标的独立性更强，独立的也更彻底。在本书以后的讨论中均限于完整约束，所以可认为广义坐标的个数等于自由度个数。2.选取：从理论上讲，可选取任意能反映力学体系位形的相互独立的s个变量作为广义坐标，不仅仅局限于传统意义上的反映位置的长度坐标和角度等，如能量E，动量P等。3.位形空间：由s个广义坐标所构成的一个抽象的s维空间，此空间的任一点代表力学体系的一种可能的位形。四：总结：掌握完整约束和自由度、广义坐标的物理意义。2.3 理想、完整约束体系的拉格朗日方程 对于理想、完整约束体系，在选取合适的广义坐标后可直接由广义坐标写出体系的动力学方程拉格朗日方程，该方程中是不含、非独立坐标的动力学方程。一：理想、完整约束拉格朗日方程： 1.推导过程：设有n个质点构成的受k个约束的力学体系，如所受约束为理想、完整约束，则广义坐标的个数为s=3n-k。取q1，q2qs为广义坐标，则有，将其代入达朗贝尔方程消去化简后可得：，因上式中的相互独立，要使该式恒成立必有：， 或者写成， （3.3）其中， （3.4），被称为广义力，与广义坐标相对应。方程（3.3）左边可变成： （3.5）另由可得：，又因 可得 （3.8）另有 （3.9）将（3.8）、（3.9）代回（3.5）式消去可得：，再将结果代入（3.3）可得理想、完整约束拉格朗日方程。2.结论：， （3.10） 该方程是由s个二阶微分方程构成的微分方程组。二 保守体系的拉格朗日方程：1.方程：对于保守体系，可进一步化简如下： ， （3.11）将上式代入理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可得：，令（3.13）L称为拉格朗日函数，则上式可进一步化简为：， （3.12） （3.12）为保守体系的拉格朗日方程，有些教材将其称为第二类拉格朗日方程，它在力学中的应用非常广泛，在分析力学中占有重要的地位。2.讨论：（1）方程中的L、T、V为广义坐标和广义速度的函数，在应用方程时，首先需将L、T、V化成、的函数。（2）该方程只适用于理想、完整约束的保守体系。（3）保守体系：传统定义所有内力与外力均为保守力，或内力虽不是保守力，但所有内力所做的功的和为零。分析力学的定义理想、完整约束下，只要主动力为保守力，这样的体系均为保守体系。从两种定义的比较可知，后者是对传统定义的扩展。对于理想、完整体系而言其约束力可能是非保守力，在受不稳定约束时虽然约束力的实功之和不为零，但约束力的虚功之和仍为零，保守体系的拉格朗日方程仍成立，所以这样的力学体系在分析力学中也被成为保守体系。 （4）非保守体系：将非保守力部分用表示，而将保守力部分仍用表示，理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可表达为： ， （3.14）三：拉格朗日方程与牛顿方程的区别与联系1. 拉格朗日方程用广义坐标列出s=3n-k个动力学方程，较牛顿方程列出的3n+k个方程更为简捷。2. 拉格朗日方程从能量的角度分析力学问题，而牛顿方程从受力的角度分析问题，显然能量的数学处理比力F的处理简单，更重要的是能量的概念贯穿与物理学的所有领域，因此拉格朗日方程的应用也得以推广。3.对简单的力学问题而言，用牛顿方程比用拉格朗日方程更简单、直接。四：解题步骤：1.解题之前要正确划分体系与外界，进而判定所研究的体系是否为理想、完整保守体系。2.根据体系所含质点数n和所受约束的个数k来判定自由度的个数s=3n-k，也可由经验直接判定自由度的个数，然后选取合适的广义坐标。3.将动能T、势能V或拉格朗日函数L表示成广义坐标的函数后代入拉格朗日方程，可得s个动力学方程。4.求解这s个动力学方程可确定所有的广义坐标。五：例题（从略）六：本节重点：掌握理想、完整约束保守体系拉格朗日方程及其适用条件，会用该方程求解一般的力学问题。2.4拉格朗日方程对平衡问题的应用一：静力学问题：当力学体系相对于惯性系静止时，我们就说该体系处于力学平衡，这类问题为静力学问题，主要分为两类。1.已知主动力，求体系平衡时的位置。2.已知体系的平衡位置，求体系各部分之间的约束力FN。上述第一类问题用拉格朗日方程求解很方便，第二类问题可结合拉格朗日方程、牛顿方程求解。二：拉格朗日平衡方程： 当体系平衡时其动能T恒为零，则，均为零。根据理想、完整约束拉格朗日方程（3.10）式可得：， （4.1） 对于保守体系则有：， （4.2）三：例题（从略）四：重点掌握：掌握用拉格朗日平衡方程求解力学平衡问题的一般方法。2.7对称性和守恒定律一：力学中的守恒定律：1.牛顿力学：利用动量、角动量、能量守恒定律来取代牛顿动力学方程的全部或其中的一部分，可直接得到一阶的微分方程，而牛顿动力学方程为二阶微分方程。例：质点在有心力、万有引力作用下的力学问题。2.分析力学中的守恒量运动积分运动积分：具有s个自由度的力学体系，如果，的某个函数在力学体系的运动过程中保持不变，则该函数被称为运动积分。理论上可用这些运动积分取代拉格朗日方程的全部或其中的一部分，类似于牛顿力学中用动量、角动量、能量守恒定律来取代牛顿动力学方程。 s个自由度的力学体系最多具有（2s-1）个运动积分。证明：任一时刻体系的拉格朗日函数为，所以体系的状态可由2s个变量决定，一般情况下有 （7.1），为积分常数共2s个。在上式中消去时间t后可得到（2s-1）个方程构成的方程组，因此最多可解出（2s-1）个相互独立的 （7.2）它们在运动中均为常数，也就是说它们为体系运动过程中的守恒量，被称为运动积分。下面就介绍常见的两种运动积分：广义动量、广义能量。二：广义动量与广义能量1.广义动量：（1）循环坐标（可遗坐标）：拉格朗日函数L中不显含某个广义坐标，则该坐标被称为循环坐标。（2）广义动量：定义为与相对应广义动量。（3）广义动量守恒：当为循环坐标时，则与其对应的广义动量守恒。 证明：当为循环坐标时由于L中不显含，所以，则由 （7.3） 即广义动量守恒。（4）意义：从量纲上来看，具有动量的量纲，所以被称为广义动量，同理被称为广义速度。当代表不同的坐标时，就代表不同的动量。如取x，y，z，时， x，y为循环坐标，对应的、为x，y方向上的动量。又如取r，时，为循环坐标，对应的为角动量。可直接有L的表达式中是否含有循环坐标拉判定相应的是否守恒。2.广义能量H（1）定义：具有s个自由度的力学体系，定义为广义动量。（2）广义能量H守恒：如果L中不显含时间t，即，可证明H守恒即H=C。证明：设，由拉格朗日方程可得，所以 （7.5） 即广义动量受恒。3.H的物理意义广义能量由及可得 （7.6）其中，为的零次齐次式；，为的二次齐次式；，为的一次齐次式。 由m次齐次函数的欧拉公式，可得，代入 （7.7），即H与能量的量纲相同，所以H被成为广义能量。4.特例：当体系受稳定约束时，可得T1=T0=0， （7.8），此时广义能量与能量相同，广义能量守恒即为能量守恒。三：守恒定律与时空特性的关系。1.运动积分的分类：（1）守恒量：如果体系总的运动积分为各部分运动积分之和，即具有可加性，这样的运动积分为守恒量，如动量、角动量、能量。（2）非可加性运动积分：如（7.1）中积分常数等。 较有意义的运动积分是守恒量，力学体系的守恒量是由体系所处的时空的特性决定的。2.空间的均匀性、各向同性的数学表述。 空间的均匀性和各向同性意味着坐标轴的原点和方向可任意选取而不会改变力学体系的性质，或者说当空间平移或转动时，力学体系的 （7.11）由及，另由（见3.8式），代回可得， （7.13）上式为空间的均匀性、各向同性的数学表达式。3.空间的均匀性导致动量守恒 空间的均匀性要求当时，将代入（7.13）式可得，由的任意性可得，即动量守恒。4.空间的各向同性导致角动量守恒 各向同性要求当坐标轴转动时，将代入（7.13）式可得：，由的任意性可得，即角动量守恒。5.外场对空间性质的影响总结3、4的结果可知，如果质点处在外力场中，空间的均匀性和各向同性会被破坏。当坐标轴由位移或时，一般外场对质点的作用会有所改变，因而和不会守恒。但如果外场的作用与某坐标无关，当坐标轴沿该方向移动时，外场的作用不会改变，因而在该方向上动量守恒。6.时间的均匀性导致能量守恒. 时间的均匀性要求当时间平移变化时，体系的拉格朗日函数L不改变，显然只有L中不显含时间t即时才能满足上述条件。在介绍广义能量守恒时我们已证明，当且约束为稳定约束时时，广义能量保持不变。即当L、约束与时间无关，或者说时间是均匀的时，时间的变化不会引起能量的变化，即能量守恒。7.总结：在求解力学问题时可通过判定L中是否含有循环坐标或时间t来直接判定动量或能量是否守恒，进而可直接写出守恒方程从而简化了动力学方程的求解。四：本节重点：掌握在求解力学问题时可通过判定L中是否含有循环坐标或t来直接判定动量、能量是否守恒，进而可直接写出守恒方程，从而简化动力学方程。五：例题（从略）本章习题：2.1，2.6，2.8，2.10，2.14，2.18。 29第三章 两体问题第三章 两体问题教学目的和基本要求：正确理解两体问题的物理意义，掌握将两体问题化为单粒子问题的方法；能够运用有效势分析并熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律，了解中心势场中粒子运动轨道的稳定性、弹性碰撞、散射截面等物理规律和概念。 教学重点：在理解两体问题意义的基础上，熟练掌握单粒子在中心势场中的运动规律。教学难点：在中心势场中单粒子的运动规律的分析讨论。3.1 两体问题化为单粒子问题一：两体问题： 1.定义：两个相互作用着的粒子所组成的力学体系的力学问题为两体问题，可分为三类。2.分类：两体问题可分为三类。（1）束缚态问题：两体之间保持有限的距离。入电子绕原子核运动，行星绕太阳运动。（2）散射或碰撞问题：两粒子从无穷远处逐渐接近，经过短暂的相互作用后各自改变运动状态后相互分离至无穷远处。（3）俘获或衰变问题：作用前后粒子数从2变为1或从1变为2。二：两体问题的处理方法1.一般过程：两体问题中粒子的运动可分为随质心的运动和两粒子相对于质心的运动。每个粒子的绝对运动可看成是两种运动的合成。相对于质心的运动随质心的运动由质心运动定理决定先将两粒子间相对运动约化为一个单粒子的运动由单粒子的运动求出两粒子相对于质心的运动两体问题2.将两体问题分解为质心的运动和单粒子的运动：分解过程：首先约定用表示两粒子间相对位置矢量，用表示粒子在惯性系中位置，如图3.1所示。代表两粒子在惯性系中的位矢和相对位矢。则有： （1.1）， （1.4），是两粒子处在外场中的势能，仅与有关；是两粒子相互作用的势能，仅与 （1.3）有关。因两粒子的自由度为6，可取、为广义坐标，则有：， （1.5）。将两式代入动能T的表达式后再代入拉格朗日函数L=T-V，化简后可得： （1.6） 其中，称为折合质量；， （1.7） （1.8）结论：从可看出，两体问题中两粒子的运动可分解为反映质心运动的及反映两粒子间相对运动的两个相互独立的部分。这样两体问题实际上分解为质心的运动和质量为mr的单粒子的运动，后者就间接反映了粒子间的相对运动。当确定、后，可简单地由、确定每一个粒子的运动。3：主要问题 在上述关于势能及的假设中，后者一般情况下都成立，而前者未必。所以在求时会很复杂。但我们所遇到的主要力学问题为：（1），外场很弱（相比与内场），质心做惯性运动。（2），即中心势场。 以后如果不特殊说明，则讨论的问题均指同时满足以上两条件的力学问题。4：相对运动单粒子的运动转化为两粒子相对于质心的运动 将相对运动转变为单粒子的运动后，除可用来描述两粒子之间的运动外，还可用两粒子相对于质心的运动来描述。因质心的运动可由质心运动定理确定，所以这种描述更可行。 取实验室系和质心系，用表示粒子间的位矢，表示在质心系中两粒子的位矢，则有， （1.12），即与之间只差一个比例常数。并且可进一步证明相对运动的动能，即相对运动的动能可看成是两粒子相对于质心运动动能的和。所以以后说到相对运动，不再区分是粒子间的相对运动还是两粒子相对于质心的运动。三：本节重点：掌握两体问题处理的一般方法和结论。3.2 在中心势场中单粒子运动的有效势能一：中心势场中的守恒量