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怎样学好高等数学 西安交通大学城市学院 数学教研室主任 寿 纪 麟 为什么要学习高等数学 高等数学是高等学校许多专业学生必修 的重要基础理论课程。数学主要是研究现 实世界中数量关系与空间形式。 在现实世界中，一切事物都发生变化， 并遵循量变到质变的规律，凡是研究量的 大小，量的变化，量与量之间关系以及这 些关系的变化，就少不了高等数学。 数学不但研究数量关系与空间形式，还 研究现实世界的任何关系和形式。因此， 数学的研究对象是抽象的关系与形式，数 学研究的是各种抽象的“数”和“形”的模式 结构。 恩格斯说：“要辩证而又唯物地了解自然， 就必须掌握数学”。英国著名哲学家培根说： “数学是打开科学大门的钥匙”。 数学如今已经越来越被人们认为是在科学 发展中具有高度重视课程。它不仅是各专业 的后继课程所必需。而且它本身就是科学思维 ，逻辑分析的素质*训练。通俗地说数学是 思维方法的体操。 自然科学各学科数学化的趋势，社会科学 各部门定量化的要求，使许多学科都在直接 间接地，或先或后地经历着一场数学化的进 程。 联合国教科文组织在一份调查报告中强调 指出：“目前科学研究工作的特点之一是各 门学科的数学化”。“反过来科学技术的发展， 又成为数学产生和发展的源泉与动力。” 数学有一个特殊的位置，它是一个专门 的领域，但又为其他科学领域提供思维的 工具。 在常量数学时期,即“初等数学”时期，在 这个时期里，数学已由具体的阶段过渡到抽 象的阶段，并逐渐形成一门独立的、演绎的 科学。 数学的发展的几个主要阶段 算术、初等几何、初等代数、三角学等 都已成为独立的分支这个时期的基本成 果就构成现在中学课程的主要内容。 在变量数学时期,即“高等数学”时期。这个 时期以17世纪中叶笛卡儿的解析几何的诞生 为起点,在这一时期用运动和变化的观点来 探究事物变化和发展的规律。 变量与函数的概念进入了数学，随后产生 了微积分。这个时期基本成果是解析儿何、 微积分、线性代数、微分方程等，就是现今 高等院校中的基础课程。 在现代数学时期，这个时期始于19世纪中叶 直到现在。在这个阶段，数学研究的对象被推 广，这相应地引起了量的关系和空间形式在概念 本身的重大突破。 现代数学不仅研究各种变化着的量的关系， 而且研究各种量之间的可能关系和形式。 数学基础学科之间、数学和物理等其他学 科之间相互交叉和渗透，形成了许多边缘学 科和综合性学科。 集合论、计算数学、电子计算机等的出现 和发展构成了现在丰富多彩、渗透到各个科 学技术部门的现代数学。 高等数学课教学的特点 (1) 课堂大。高等数学一般都是一个系同 年级的几个小班合班上课。教师授课的基点， 只能照顾大多数，不可能给跟不上、听不全 懂的少数同学细讲、重复讲。 (2) 时间长,连贯性强。高等数学每上一次课， 一般都是连续讲授两节。而且各章的内容有很 强的连贯性。 (3) 概念多，进度快。由于高等数学的内容 极为丰富,而学时又有限，因此平均每一大节 课要讲授教材的8至10页（有时还更多）,老师 的讲课主要是讲重点、难点、疑点，讲思路。 讲概念多，推理多，举例也较少。 高等数学的主要学习内容 高等数学的内容为两部分，即微积分学 和线性代数、空间解析几何。但主要是微 积分学和线性代数。 微积分学研究的对象是函数，而极限则 是微积分学的基础，也是最主要的推理方法。 与微积分创立密切相关的科学技术问题， 从数学角度归纳起来有四类： 第一类是，在已知变速运动的路程为时间 的函数时，求瞬时速度和加速度； 第二类是，求已知曲线的切线； 第三类是，求给定函数的最大值与最小值； 第四类是，求给定曲线长；求已知平面曲 线围成的面积；求已知曲面围成的体积；求 物体的重心；已知变速运动物体的速度、加 速度，求物体运动的路程与时间的关系等。 第一类、第二类问题为微分学的基本内容， 属于求函数的导数问题。第三类问题为导数 的应用，也是微分学的主要内容。第四类问 题属于积分学的中心问题。 怎样才能学好高等数学 要学好高等数学，首先要了解高等数学的 特点，高等数学具有三个显著的特点： 高度的抽象性，严谨的逻辑性，广泛的应用性。 (1) 高度的抽象性。数学的抽象性在高等 数学中非常突出。我们运用抽象的数字，概 念来表达客观变化的事物和规律，却并不打 算每次都把它同具体的对象联系起来。 (2) 严谨的逻辑性。数学的每一个定义， 定理，只有当它已经从逻辑的推论上严格地 被证明了的时候，才能在数学中成立。而且 每门课的各章节之间又有很强的连贯性。 (3) 广泛的应用性。高等数学广泛的应用性 是很明显的。 一、数列的极限 若数列及常数 a ，当n 趋向于无穷大时, 趋向于a 时，则称 xn 以a为极限，记作 让我们来看一些实例： 怎样来严格地刻画这个概念呢？ 若数列及常数 a 有下列关系 : 此时也称数列收敛 , 否则称为 数列发散。 几何解释 : 即 当 n N 时, 总有 记作 或 则称该数列的极限为 a , 二、 无穷小量 时的无穷小量 。 定义1 . 若 时 , 函数 则称函数为当 无穷小量的运算和比较* 设 , 对同一自变量的变化过程为无穷小, 且 是 的高阶无穷小 是 的低阶无穷 小 是 的同阶无穷小 是 的等价无穷小 实际上，整个微、积分可以说就是无穷小量的分析。 若则就是无穷小量 。 三、 函数连续性的定义 定义:在的某邻域内有定义 , 则称函数 设函数且 对自变量的增量 有函数的增量： 当为无穷小量时， 也为无穷小量时， 则称函数 左连续右连续 函数在点连续有下列等价命题: 当 时, 有 曲线的切线斜率 曲线在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 四、导数 两个问题的共性: 瞬时速度 切线斜率 所求量为函数增量与自变量增量之比的极限 . 变化率问题 类似问题还有: 加速度 角速度 线密度 电流强度 是速度增量与时间增量之比的极限 是转角增量与时间增量之比的极限 是质量增量与长度增量之比的极限 是电量增量与时间增量之比的极限 曲线的切线方程 由直线的点斜式方程知 函数的极大值与极小值 (1) “左正右负” , (2) “左负右正” , 所以函数取得极值的必要条件是 内有导数,且在空心邻域 经济学的厂商理论里有一个称为“边际”的概念。 设某厂商在组织生产时追求利润极大。令他达到 利润极大时的生产量为q，产品的市场价格为p,故他 的收入为p q。设他生产q 的成本为c (q),则他的利润 为 q0 当他生产q0使其达到利润极大 时，他的边际利润必为零，即 五、定积分问题举例 1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A . 矩形面积 梯形面积 解决步骤 : 用微元法（分，粗，合，精） 1) 化整为另. 在区间 a , b 中任意插入 n 1 个分点 用直线将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; 2) 以常代变. 在第i 个窄曲边梯形上任取 并以此小 作以为底 , 为高的小矩形, 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积得 3) 近似和. 4) 取极限. 令则曲边梯形面积 2. 变速直线运动的路程 解决步骤: 1) 化整为另. 2) 以常代变 . 得 设某物体作直线运动, 且求在运动时间内物体所经过的路程 s. 已知速度 将它 在每个小段上n 个小段 物体经过的路程为 分成 3) 近似和. 4) 取极限 . 上述两个问题的共性: 解决问题的方法步骤相同，即（分，粗，合，精）（分，粗，合，精） : “化整为另 , 以常代变 , 近似和 , 取极限 ” 所求量极限结构式相同: 特殊乘积和式的极限。 线性代数 线性方程组的基本问题： 解线性方程组的基本方法是消去法， 何时有无穷多解？ 如何求出通解（全部解）？ 何时无解？ 何时有解 何时有唯一解？ 将线性方程组简化和抽象为一个数组， 称为系数的增广矩阵。 例如 求解线性方程组的解： 解： 注意抓好六个环节的学习 (1) 预习。为了提高听课效果，在每次上高等 数学课前一天，对第二天教师要讲的内容先作 预习，即用少量的时间（例如，用讲课时间的 10一20左右）自学教材。 (2) 听课。课堂上听教师讲授是同学们进大学 学习获得知识的一个主要环节因此，应带着 充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣。 带着预习中的疑点和难点，专心致志聆听教师 是如何提出问题的？是如何分析问题的？是如 何解决问题的？要紧跟教师的思路，听问题， 听方法，听思路，听关键。 (3) 记笔记。由于高等数学教师讲课不是 “照本宣科”教师主要是讲重点、讲难点、讲 疑点、讲思路，还要结合有关问题讲一些治 学方法，和提出一些同学应注意的问题。 而且有些内容、例子是教材上没有的因此记 好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学 习环节。 (4) 复习。学习包括“学”与习”两个方面“ 学” 是为了获取知识，“习是为了消化、掌握知 识， 学而不习，知识不易消化