流体动力学基本方程.doc

Chapter 3 流体动力学基本方程例如求解定常均匀来流绕流桥墩时的桥墩受力问题：流场和桥墩表面受力由（边界条件+控制方程组）决定。本章任务建立控制方程组，确定边界条件的近似描述和数学表达。 I质量连续性方程（质量守恒方程）I-1方程的导出物质体（或系统）的质量恒定不变质量守恒假设。质量守恒假设对于很多流动问题是良好近似，分子热运动引起的系统与外界的物质交换可忽略不计。在此假设下，对物质体有。根据输运定理，设时刻该系统所占控制体为，对应控制面，则有质量守恒方程积分形式。上式亦表明，内单位时间内的质量减少=上的质量通量。由奥高公式得 ，于是有。考虑到的任意性，故有 ，即 质量守恒方程微分形式I-2各项意义分析：1）流体微团密度随时间的变化率；定常流动；不可压缩流动；均质流体的不可压缩流动。2）由（为微团的质量）知（为该微团时刻体积），从而知=流体微团体积随时间的相对变化率，即体膨胀率。3）不可压缩流体，故有 。由奥高公式有，可见对于不可压缩流动，任意闭合曲面上有。不可压缩流动满足的或是对速度场的一个约束。例1、1）定常流场中取一段流管，则由易知：；如为均质不可压缩流动，则。2）对于不可压缩球对称流动（如三维空间中的点源产生的流动）则有， 即，其中代表点源强度（单位时间发出的流体体积）。例2、均质不可压缩流体（密度为）从圆管（半径为）入口端以速度流入管内，经过一定距离后，圆管内流体的速度发展为抛物型剖面，即。通常称这种流动为圆管的入口流。试求当管内流动发展为抛物型剖面时的最大速度。解：如图，将整个入口段取为控制体，对不可压缩流体有：， 由于管壁无渗透故上式可写为：，可得。II动量方程流体团所受合外力 = 该流体团的质量 其加速度II-1方程的导出1直角坐标系下推导微分形式的动量定理时刻，考虑一个正六面体形状的流体微团，如图所示，该流体微团时刻所占控制体，其边界。受力分析：体力合力=面力合力于是有，即。分量形式：或写成，或。意义：单位体积流体团所受面力的合力。2积分形式的动量定理的导出考虑体系，该流体团时刻所占控制体，其边界。由动量定理有利用输运定理可得。于是得到积分形式动量定理： 该定理的应用：经常应用于求流体与边界的相互作用力。例题1求流体作用于闸门上的力。（设渠宽）解：取控制体如图所示，根据假定只需讨论动量方程的方向分量方程。闸门受合力代入动量方程方程得故注：求时可直接设。注 微分形式的动量定理也可由积分形式的动量定理导出，推导过程如下：其中，因而得到。上式表明：流体团总动量的变化率=组成该流体团的流体质点的动量变化率之和。另外，综上可得，再考虑到系统大小形状的任意性可得。尽管得到了流动的动量方程，但是不像经典力学有了动量定理就可以求解质点运动一样，流体运动的动量方程中应力张量等于什么我们还不知道，并且速度的随体导数同时包含空间导数和时间导数，使得我们不仅需要初始条件，还需要边界条件才能确定一个具体流动。3兰姆葛罗米柯形式的动量方程II-2地转参照系下的动量方程就很多空间和时间尺度都较小的流动而言，地球参照系通常课近似看作惯性系。但是对于大尺度的流体运动问题，必须考虑地球自转的影响。在海洋和大气的大尺度运动问题中，通常把地心看成惯性参照系，地球相对于地心有自转运动。我们在此介绍地转参照系下的动量方程，为将来学习物理海洋学、地球流体动力学等打基础。地球上运动质点的绝对速度，其中代表质点相对于地球表面的运动速度，牵连速度（牵连速度=地球表面上该质点所在位置绕地心的自转速度），为地球自转角速度。绝对加速度：，其中代表相对加速度，牵连加速度，科氏加速度。动量方程：其中，。因为真实力与参照系无关，故一般情况下可以忽略地球自转角速度的变化，认为，于是有。III.能量方程III1能量方程的推导：时刻流体团所占控制体，其边界，能量平衡关系式：时刻其中，代表单位质量流体的内能（分子热运动动能+分子间相互作用势能），为热流强度，根据付利叶热传导定律对各向同性流体设单位时间内单位质量流体从外界吸收的辐射能为，则故能量方程积分形式为：因为所以得到能量方程微分形式：，其中。由于旋转运动张量是反对称张量，而应力张量是对称张量，故有（因是对称张量）记。另外，于是有如下形式的能量方程：。方程中各项意义分析：代表单位体积流体能量变化率；代表作用在单位体积流体微团上的体力的功率；代表作用在单位体积流体微团表面的面力的合力的功率；代表单位时间内单位体积流体微团通过热传导和辐射吸收从外界获得的能量。III2动能方程将动量方程 两边同时点积得： 。其中，故有动能定理。上式表明：单位体积流体微团动能变化率作用于该微团上的体力的功率作用于该微团上的合面力的功率。III3热流量方程：面力的功率包含两项，其中合面力的功率转化为系统的宏观运动动能，另一部分转化为系统的内能。尽管系统内部的应力是内力，但是粘性应力必然导致机械能的耗散。如果系统要维持定常状态，必须有外力对系统做功，补充其机械能损耗。参考本章后面的例题。IV.本构方程数学预备：记，根据二阶张量定义，将坐标系旋转，从原坐标系到旋转后的坐标系，二阶张量的张量元满足变换：，其中变换矩阵。逆变换：。本构方程的导出1应力张量分解：偏应力张量，代表运动流体的应力张量与各向同性应力张量（记为）的差异。记作；是对称二阶张量。2线性假设（Newton粘性定律的推广，对于剪切流动，）偏应力产生于速度场的不均匀性。线性假设：假设偏应力张量各分量与速度梯度张量的各分量成线性关系：。是四阶张量，满足变换关系。是由81个系数组成的一组系数，这组系数确定了偏应力张量各张量元与速度梯度张量各张量元之间的关系，由于偏应力张量和速度梯度张量都满足二阶张量定义，于是有可知。数学上定义，由81个元素组成的量，若其元素满足该变换的则称之为四阶张量。3各向同性流体及其四阶张量的表达式31各向同性流体：若在原坐标系和旋转后的坐标系中偏应力张量分别表示为和，若则应当有，于是要求。*考虑一个特例来理解流体粘性的各向同性：水池中插入并移动平板引起的两个纯剪切流动的粘性应力大小与平板放置方向无关。只要加上一个速度梯度，就对应一个粘性应力，粘性系数与速度梯度的方向无关。 *32对于各向同性流体，可以证明（参见吴书p75）四阶张量可表示为，其中是标量，即。33偏应力张量是对称张量，于是，于是。另外，由上式还可知。4分解，于是如果流体只有旋转运动而没有变形运动，那么偏应力张量0。偏应力与变形运动相关联。5将的表达式带入上式，得最后得到：其中代表无体积变化的纯剪切运动，代表各向同性膨胀运动。6Stokes假设对于不可压缩流体，0。对于可压缩流体表示流体发生膨胀或收缩时引起的法向应力，被称为第二粘性系数或膨胀粘性系数。Stokes假设：系统处于准热力学平衡状态时，可近似认为。7的意义考虑纯剪切运动，粘性应力，可知为动力学粘性系数。8的意义设流体满足Stokes假设，可以证明作用于球形微团上的法应力的平均值。So, its a measure of the local intensity of the “squeezing” of the fluid.证明：The average value of the normal component of the stress on a surface element at position over all directions of the normal to the element is 证明：.Since ,或者在球坐标系下，Hence， characterizing the fluid pressure in a moving fluid which is analogous to the static fluid pressure in the sense that its a measure of the local intensity of the squeezing of the fluid.（关于与热力学压强的关系，建议学生查庄礼贤流体力学对应章节。）9关于偏应力张量A general relative motion near any point may be represented as the superposition of two simple shearing motion, each of which gives rise to a tangential stress determined by and the corresponding velocity gradient, together with a rigid rotation and an isotropic expansion, neither of which has an effect ( in a fluid of isotropic structure ) on the non-isotropic part of the stress tensor and may of cause be regarded as the only possible linear tensorial relation, involving one scalar parameter, between and a symmetrical tensor whose diagonal elements have zero sum . (以上8和9)引自Batchlor,1994) 本构方程（广义牛顿公式）的适用范围：1）大多数液体；2）非高温、非高频振动的气体；非牛顿流体：油漆、橡胶、蜂蜜、血液、沥青等。例1写出纯剪切流动偏应力张量各分量例2吴书p203，23 1） 平板上的切应力，平板所受总阻力。2） 处流体内摩擦力为0。例3 吴书p203，22柱坐标系下应力张量的表达式见p190。除外，应力张量其他非对角元均为零。管壁处的切应力，单位长圆管对流体的阻力。与圆管共轴的半径为的单位长流体柱表面的总摩擦力。V流体力学基本方程组V-1 完备的微分形式流体力学基本方程组内能，具体函数形式由热力学理论给出。对于完全气体。V-2 N-S方程将代入动量方程即得：，其中。当流场温度变化不大时，近似为常数，故有，其中。最后得到。又，若流体不可压缩，方程化为NS方程：。又，若流体粘性可略，方程化为理想流体Euler方程：。V-3耗散函数耗散函数单位时间内粘性导致的单位体积流体机械能转化成的内能。其中为压缩功，而为粘性力的功，它将导致机械能转化成内能。定义耗散函数，它等于单位时间内由于粘性应力做功导致的机械能转化成的内能。它可以化成如下形式：。可见，恒大于或等于零。这说明粘性力做功总是使机械能转化成内能，这个过程不可逆。例题：拖动上板引起的剪切运动，。设平板面积间距，忽略边缘效应，写出该流动的耗散函数。，证明=外力拉动上板的功率上板受外力上板受流体摩擦力，力功率，得证。例题 NS 方程应用于静止流体NS 方程：1）若流体静止，NS 方程化成什么形式？2）推导阿基米德定律（Archimeder）答：1）。若仅受重力这唯一体力，则，即（均质流体）。2）如图物体浸没在静止流体中，求作用于物体上的合面力。合面力。注：其中利用了吴书公式18 on page20，该公式的导出如下所示。, 将分割成无数个正六面体微元，如图所示：下面计算 对任一个正六面体微元上，将上式在给定和的情况下对积分，即对给定和的一串流体微团积分上式，得到其中和分别代表该流体微团串左、右两端的值，即流体团表面上给定和的两点的值。在图中，对于流体团右侧表面上的面元有；同样对于流体团左侧表面上的面元有。于是VI边界条件流体力学方程组是支配流体运动的普适的方程组。要确定某个具体的流动，就要找出流体力学方程组的一种确定的解。为此，就必须给出决定这个解的定解条件。这通常包括边界条件和初始条件。本节讨论几种常用的边界条件。1无穷远边界条件e.g.飞机在天空飞行，天空边界无穷远，在无穷远处流体的运动状态不受飞机的影响，并且通常是已知的，因此有边界条件：。如果无穷远处空气静止，在固定在地球上的参照系中，其中代表大气压强。如果把参照系固定在飞机上（设飞行速度），则在绕流问题中，一般情况下，当流体的空间尺度远大于明显受物体扰动的流动区域的尺度时，即可将扰动可略的区域视为无穷远。2两种流体分界面上的边界条件21液体的表面张力表面张力的概念：液体表面上任一面元边界上的线元都要受到与该线元垂直的，沿界面切向的作用力，称为表面张力。单位长度边界线元上的表面张力设为，被称为表面张力系数。作用于单位面积界面上的表面张力的合力为，其中，是任意两个包含的正交平面和界面交线的曲率半径（若指向曲率中心，曲率半径为正，否则为负）。22应力边界条件：(吴书图3.7.2，以下公式与吴书图3.7.2相协调)在界面两侧对称的取微元小柱体，柱高两底面的尺度，对此微元应用动量定理，由于体力和柱体侧面受力两底上的面力，故有两底上的面力作用在柱体侧面与边界面的交线上的表面张力0即 由此可见，界面两侧切应力连续，法应力在界面平均曲率不为零时有一个突变。特别地23速度边界条件假设1）两介质的界面是物质面，即假设界面上不发生蒸发、渗透、凝结和相互融解等的现象，那么，在运动过程中，分界面始终由同一批质点所组成；2）两介质的界面不发生分离。在以上两个假设下，界面的两侧质点速度必满足连续性条件：。在流体的分界面上同样有分子的输运效应，它的效果就是减小界面上物理量的法向梯度。如果界面两侧流体切向速度不连续，那么就会出现动量输运（粘性应力），直至切向速度达到一致。由此我们假设切向速度连续，。此条件称为无滑移条件，对粘性流体的界面成立。对于理想流体，没有切向速度边界条件。24热力学边界条件同样，考虑到在流体分界面上的分子输运效应，假设边界两侧温度连续，。再考虑前面提到的界面上的小柱体内的由于热传导引起的能量的变化，有平衡方程：柱体内内能的增加率=其表面的热通量的负值由于柱体内的能量和侧面上的热通量的量阶低于两底面上的热通量，因此有上底面的热通量下底面的热通量即，即。3固壁边界条件和自由表面边界条件（两介质界面边界条件的两个重要特例）与分界面两边都是求解