《不定积分典型例题》PPT课件.ppt

一、不定积分的基本公式 不定积分 二、不定积分的基本运算法则 三、直接积分法 四、经典例题 不定积分基本公式表 当 x 0 时，所以 综合以上两种情况，当 x 0 时，得 例 1 求不定积分 解 例 2 求不定积分. 解 先把被积函数化为幂函数的形式，再利用基 本积分公式， (1) (2) 得 例 3 求不定积分 解 法则 1 两个函数的代数和的不定积分等于这 两个函数不定积分的代数和，即 二、不定积分的基本运算法则 法则1 可推广到有限多个函数代数和的情况，即 根据不定积分定义，只须验证上式右端的 导数等于左端的被积函数. 证 法则 2 被积函数中的不为零的常数因子可以 提到积分号前面， (k 为不等于零的常数) 证 类似性质 1 的证法，有 即 例 4 求不定积分 但是由于 任意常数之和还是任意常数， 其中每一项虽然都应有一个积分常数， 解 所以只需在最后 写出一个积分常数 C 即可. 求积分时，如果直接用求积分的两个运算法 则和基本公式就能求出结果， 三、直接积分法 或对被积函数进行 简单的恒等变形 (包括代数和三角的恒等变形) ， 在用求不定积分的两个运算法则及基本公式就能 求出结果， 这种求不定积分的方法成为直接积分 法 例 5 求 解 例 6 求 解 例 求 解 例 9 求 解 例 10 求 解 例 11 已知物体以速度 v = 2t2+1 (m/s)作直线运动， 当 t=1 s 时, 物体经过的路程为3m, 求物体的运动规律. 解 设所求的运动规律 s = s(t) ， 按题意有 积分得 将条件 s|t=1 = 3，代入上式中，得 于是物体的运动规律为 常用微分公式 例 1 求 解 例2. 求 解: 例3. 求 解: 例4. 求f (x)= x2+1, x0. 解: F(x)= 而要使F(x)成为f (x)在R上的原函数，必须 F(x)连续，从而C10，C21，因此满足 条件的函数为 F(x)= 故 例5 例6 例7 例8 解：因为总成本是总成本变化率y的原函数，所以 已知当 x=0 时，y=1000， 例9某厂生产某种产品，每日生产的产品的总成 成本为1000元，求总成本与日产量的函数关系。 因此有 C =1000， 作业： P137：5 (2)（5) (10) (15). 例2. 解：观察 中间变量u=x2+1 但 u=x2+1的导数为 u = 2x 在被积函数中添加2个因子 u 因此 例3. 解: uu du u=(x) 例4. 解：能想出原函数的形式吗？ 记得这个公式吗？如何用这个公式？ 例5. 求 解： 例6 解： 例7 求 解 例8 求 解 熟练以后就不需要进行转化了 例9 求 解 例11 求 解 正弦余弦三角函数积分偶次幂降幂,齐次幂拆开 放在微分号 解 例12 求 例13 求 例14 求 解 例15 求 解 说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分. 例16 求 解 利用积化和差公式，得 解 类似地可推出 例17 求 解 +xx dx 1 例18 解 dx x x - 4 cos4 2sin 19 例 解 dx xx x + ln 1 2ln 21 例 解 dx xex x x + + )1( )1( 22 例 例1 解 例2 求 解 例3 求 解 令 注 三角代换的目的是化掉根式. 例4 解 例1 求 解 令 考虑到被积函数中的根号是困难所在，故 例2 解 例3 解 例4 解 例5 解 配方 3.倒数代换 例1 求 令解 例2 求 解令 分母的次幂太高 例3 解 例4 解 例1 求积分 解由万能公式 例3 求积分 解（一） 解（二）变形万能公式,令 解（三） 不用万能公式. 结论 万能代换不一定是最佳方法, 故三角有理 式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用 万能置换. 例4 求积分 解 例5 解 例6 解 例7 解 利用恒等变换 5 双曲代换 积分中为了化掉根式还可用双曲代换. 令 例3 求积分 解 例4 求积分 解 若被积函数是幂函数和对数函数的乘 积，就考虑设对数函数为 . 例5 求积分 解令 若被积函数是幂函数和反三角函数的乘 积，就考虑设反三角函数为u. 例6 求积分 解 例7 求积分 解 复原法(回归法,循环法)! 例 7 解 消去(超越函数)法 ! 例8 解 递推关系可以由 低次幂函数的积 分计算出高次幂 函数的积分. 例9 解 例10 求积分 解用分部积分法，当 积分过程常要兼用换元法与分部积分法。 例11 求积分 解 解 解 两边同时对 求导, 得 连用分部积分法 解： 同理可求不定积分 例14. 解 例16 解 例17 解 则 记 把真分式化为部分分式之和，再把上面的待定的 常数确定，这种方法叫待定系数法 例1 通分比较分子： 代入特殊值来确定系数 取取 取并将 值代入 例2 例4 求积分 解 例6 求积分 解令 例10 求积分 解 令 例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例1 例2 三、其他典型例题 解： 解： （分子是分母的导数） 凑导数法! 例3 解：方法1 例4 例5 u x = sin令 被积函数为余弦的 奇函数,采用正弦换 元 方法2 本例也可以直接采用凑微分的方法 例7