矩阵的定义及其运算规则.doc

矩阵的定义及其运算规则1、矩阵的定义一般而言，所谓矩阵就是由一组数的全体，在括号（）内排列成m行n 列（横的称行，纵的称列）的一个数表，并称它为mn阵。矩阵通常是用大写字母A 、B 来表示。例如一个m 行n 列的矩阵可以简记为：，或。即： （2-3）我们称（2-3）式中的为矩阵A的元素，a的第一个注脚字母 ，表示矩阵的行数，第二个注脚字母j（j1，2，n）表示矩阵的列数。当mn时，则称为n阶方阵，并用表示。当矩阵（aij）的元素仅有一行或一列时，则称它为行矩阵或列矩阵 。设两个矩阵，有相同的行数和相同的列数，而且它们的对应元素一一相等，即，则称该两矩阵相等，记为AB。2、三角形矩阵由ij的元素组成的对角线为主对角线，构成这个主对角线的元素称为主对角线元素。如果在方阵中主对角线一侧的元素全为零，而另外一侧的元素不为零或不全为零，则该矩阵叫做三角形矩阵。例如，以下矩阵都是三角形矩阵：， ， 。3、单位矩阵与零矩阵在方阵中，如果只有的元素不等于零，而其他元素全为零，如：则称为对角矩阵，可记为。如果在对角矩阵中所有的彼此都相等且均为1，如： ，则称为单位矩阵。单位矩阵常用E来表示，即： 当矩阵中所有的元素都等于零时，叫做零矩阵，并用符号“0”来表示。4、矩阵的加法矩阵A（aij）mn和B（bij）mn相加时，必须要有相同的行数和列数。如以C（cij）m n表示矩阵A及B的和，则有： 式中：。即矩阵C的元素等于矩阵A和B的对应元素之和。 由上述定义可知，矩阵的加法具有下列性质（设A、B、C都是mn矩阵）： （1）交换律：ABBA （2）结合律：（AB）CA（BC）5、数与矩阵的乘法我们定义用k右乘矩阵A或左乘矩阵A，其积均等于矩阵中的所有元素都乘上k之后所得的矩阵。如： 由上述定义可知，数与矩阵相乘具有下列性质：设A、B都是mn矩阵，k、h为任意常数，则：（1） k（AB）kAkB（2）（kh）AkAhA（3） k（hA）khA6、矩阵的乘法若矩阵乘矩阵，则只有在前者的列数等于后者的行数时才有意义。矩阵的元素的计算方法定义为第一个矩阵第i行的元素与第二个矩阵第j列元素对应乘积的和。若： 则矩阵的元素由定义知其计算公式为： （2-4）【例2-1】 设有两矩阵为：， ，试求该两矩阵的积。【解】由于A矩阵的列数等于B矩阵的行数，故可乘，其结果设为C：其中： 【例2-2】 已知：A，B，求A、B两个矩阵的积。【解】计算结果如下： 矩阵的乘法具有下列性质：（1）通常矩阵的乘积是不可交换的。（2）矩阵的乘法是可结合的。（3）设A是mn矩阵， B、C是两个nt矩阵，则有：A（BC）ABAC。（4）设A是mn矩阵，B是nt矩阵。则对任意常数k有：k（AB）（kA）BA（kB）。【例2-3】 用矩阵表示的某一组方程为：（2-5）式中： （2-6）试将矩阵公式展开，列出方程组。【解】现将（2-6）式代入（2-5）式得： （2-7）将上式右边计算整理得：（2-8）可得方程组：可见，上述方程组可以写成（2-5）式的矩阵形式。上述方程组就是测量平差中的误差方程组，故知（2-5）式即为误差方程组的矩阵表达式。式中称为改正数阵，称为误差方程组的系数阵，称为未知数阵，称为误差方程组的常数项阵。【例2-4】 设由n个观测值列出r个条件式如下，试用矩