数字信号处理(丁玉美版)教案第三章.ppt

第三章 离散傅立叶变换 Discrete Fourier Transform 1 本章学习内容 n了解四种信号的傅立叶变换的数学概念及特点 n深刻理解有限长序列DFT的定义及概念 n掌握序列DFT与序列DTFT和Z变换的相互关系 n掌握利用DFT分析任意信号频谱的原理和方法 n掌握利用DFT实现序列线性卷积的原理和方法 n掌握改善DFT分析信号频谱中误差的方法 2 有限长序列的傅立叶分析 n四种信号傅立叶表示 n有限长序列离散傅立叶变换 nDFT矩阵表示 n利用MATLAB计算DFT 3 1、连续时间非周期信号傅氏变换 时域：连续、非周期 频域：非周期、 连续 0 t 0 4 2、连续时间、离散频率傅里叶级数 时域： 连续、 周期 频域：非周期、离散 0 t - - 0 T0为时域周期，0为频域相邻谱线之间的角频率间隔，k为谐波序号 5 3. 序列的傅氏变换DTFT 离散时间、连续频率序列傅里叶变换 时域：离散、非周期 频域：周期、连续 x(nT) T -T0T2T t - T为时域取样间隔，s为频域的周期 6 4.周期为N的离散信号（序列）-傅立叶级数 7 0 0 1 2 3k x(nT)=x(n) t 0 T 2T 1 2 N n NT 频谱特点：周期为N的离散谱 8 有限长序列离散傅立叶变换 长度为M的信号 的N点DFT ，k=0, 1, ,N-1 N称为DFT变换区间长度，NM 其中 ，n=0, 1, ,N-1 9 有限长序列DFT与DTFT关系 ，k=0, 1, ,N-1 ，k=0, 1, ,N-1 1 2 3 4 5 6 7 (N-1) k=0 结论：有限长序列x(n) n=0N-1的DFT X(k)是序 列傅立叶变换X(ej)在一个周 期0，2 上的等间隔取样 10 11 DFT与DFS关系 DFT可以看成是截取DFS的主值区间构成的变换对 12 解 13 解 14 解 如果在序列后补零，其DFT有什么变化？ 15 16 DFT矩阵表示 17 18 19 N=16; k=0:N-1; L=0:511; x=cos(2*pi*k*4./16); X=fft(x); subplot(2,1,1) plot(k/16,abs(X),x); ylabel(Magnitute); xlabel(Normalized frequency) % hold on; XE=fft(x,512); subplot(2,1,2) plot(L/512,abs(XE),xr); ylabel(Magnitute); xlabel(Normalized frequency); 20 1、线性性质 0kN-1 离散傅立叶变换的性质 ， 21 2、循环移位性质 （1）序列的循环移位 设 为有限长序列，长度为N 称为 的循环移位序列。 22 23 （2）时域循环移位定理 如x(n)长度为N，其循环移位为 0kN-1 则 时域循环移位对应频域相移 24 证明： 令n+m=n，则有 由于上式中求和项x(n)N和 WNkn以N为周期 25 （3）频域循环移位定理 如果 则 频域循环移位对应时域相移 26 3.2.3循环卷积定理 1、循环卷积定义 设 和 是两个具有相同长度N的 有限长序列，定义循环卷积： n=0,N-1 记为 同线性卷积一样，满足交换率 27 循环卷积的直接计算步骤为 沿拓 翻转 取主值 循环移位 乘积 累加 例3-2-2：已知 做N=8的循环卷积y(n)。 解：1.先进行变量代换，将 变成 2.接着将 周期延拓为 反褶后得到 3.从n=0开始，对每一个n=0,N-1 ,对进行 循环移位并取主值形成 4.再分别将 与 对应的m点从 m=0到m=N-1逐点相乘，并将乘积累加就得到了各个点 的y(n).计算过程如下： 28 演示文件（循环卷积flash） 29 循环卷积矩阵表示 30 2、循环卷积定理 n有限长序列 和 ，长度分别为N1和N2， 31 证明： 按照定义，有 令n-m=n，则有 32 同理可以证明频域卷积定理： 33 4、复共轭序列的DFT 设 则 ，0 k N-1 且 X（N）=X（0） 另有 证明： 34 5、DFT的共轭对称性 （1）有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 a、有限长共轭对称序列 b、有限长共轭反对称序列 35 任意有限长序列，可分解为： 将上式 ，并取共轭，得 36 * * * * * * Page75:图形有误，需更正 37 （2）DFT的共轭对称 （a）如果 其中 则 38 （b）如果 其中 则有 则 其中 39 （3）有限长实序列的共轭对称性 （a）X（k）的共轭对称性为 （b）如果 实偶对称 则X（k）实偶对称，即 （c）如果实奇对称 则 利用以上性质，可在DFT的计算中提高运算效 率，减少运算量。 40 （a）X（k）的共轭对称性为 证明： 41 （b）如果 实偶对称 则X（k）实偶对称，即 证明： 42 43 例： n利用共轭对称性，可以使用一次DFT运算 来计算两个实数序列的DFT，因而可以减 少