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文档简介

5：二次曲线的位置的确定 前面我们已经学过了，从二次曲线的 一般方程，确定二次曲线的标准方程，从 而确定二次曲线的类型和形状. 今天，我 们将要学习， 如何从二次曲线的一般方 程，确定二次曲线的位置. 标准坐标系是通过先转轴消掉混乘项 ，再移轴，把坐标原点移到对称中心或 者是顶点的办法来得到的. 型别类别判别标志标准方程 中心型曲线位置的确定（ ）： 确定中心型曲线的对称轴和对称中心 满足这样条件的 有两个，二者可以相差 非退化的情形 确定坐标轴的方向，只需要 确定 轴到 轴的角度 就 可以了. 中心型曲线的标准方程（在坐标系 ） 规定椭圆的长轴在 轴，即 ； 而双曲线的实轴在 轴，即 同号； 从而就可以确定 退化的情形 5 二次曲线与直线的相关位置 讨论二次曲线 与直线 的交点，可以采用把直线方程（2）代入曲线方 程（1）然后讨论关于t的方程 对（3）或（4）可分以下几种情况来讨论： 二次曲线的渐近方向 定义 满足条件(X,Y)=0的方向X:Y叫做二 次曲线的渐近方向，否则叫做非渐近方向. 定义 没有实渐近方向的二次曲线叫做椭圆 型的， 有一个实渐近方向的二次曲线叫做抛物 线型的， 有两个实渐近方向的二次曲线叫做双 曲型的. 即1)椭圆型：I20 2)抛物型： I20 3)双曲型： I20 2. 二次曲线的中心与渐近线 定义5.2.3 如果点C是二次曲线的通过它的所有 弦的中点(C是二次曲线的对称中心)，那么点C叫 做二次曲线的中心. 定理5.2.1 点C(x0 ,y0)是二次曲线(1)的中心，其 充要条件是： 推论 坐标原点是二次曲线的中心，其充要条 件是曲线方程里不含x与y的一次项. 二次曲线(1)的的中心坐标由下方程组决定： 如果I20，则(5.22)有唯一解，即为唯一中心坐 标 如果I20，分两种情况： 定义5.2.4 有唯一中心的二次曲线叫中心二次 曲线，没有中心的二次曲线叫无心二次曲线，有 一条中心直线的二次曲线叫线心二次曲线，无心 二次曲线和线心二次曲线统称为非中心二次曲线. 定义5.2.5 通过二次曲线的中心，而且以渐近 方向为方向的直线叫做二次曲线的渐近线. 定理5.2.2 二次曲线的渐近线与这二次曲线 或者没有交点，或者整条直线在这二次曲线上 成为二次曲线的组成部分. 6：不变量的概念 二次曲线的形状，取决于方程的标准形式，它由 完全确定. 坐标系 中的多项式 任意做一个坐标变换，把 变成 变成下面的 问题是 是否成立? 要证明： 只要证明： （1） （2） （3） (4) 定理：经过任意的直角坐标变换 不变， 当 时， 也不变. 由 的系数确定的函数，如果在任意的直角 坐标变换下不变，就叫做 的不变量. 在转轴下不变，但在移轴下会改变，所以，不
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