集合间的基本关系.doc

集合间的基本关系教学分析课本从学生熟悉的集合出发,通过类比实数间的大小关系引入集合间的关系,在集合间的关系教学中,使用Venn图有助于学生通过体会直观图示来理解抽象概念;随着学习的深入,集合符号越来越多,建议教学时引导学生区分一些容易混淆的关系和符号.三维目标1.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集,能判断给定集合间的关系,提高利用类比发现新结论的能力.2.在具体情境中,了解空集的含义,掌握并能使用Venn图表达集合的关系,加强学生从具体到抽象的思维能力,树立数形结合的思想.重点难点教学重点:理解集合间包含与相等的含义.教学难点:理解空集的含义. w W w . X k b 1.c O m课时安排X k b 1 . c o m1课时教学过程导入新课思路.实数有相等、大小关系,如5=5,53等等,类比实数之间的关系,你会想到集合之间有什么关系呢？(让学生自由发言,教师不要急于作出判断,而是继续引导学生)欲知谁正确,让我们一起来观察、研探.推进新课提出问题(1)观察下面几个例子:A=1,2,3,B=1,2,3,4,5;来源:学&科&网Z&X&X&K设A为*中学高一(3)班男生的全体组成的集合,B为这个班学生的全体组成的集合;设C=x|x是两条边相等的三角形,D=x|x是等腰三角形;E=2,4,6,F=6,4,2.你能发现两个集合间有什么关系吗？(2)例子中集合A是集合B的子集,例子中集合E是集合F的子集,同样是子集,有什么区别？(3)结合例子,类比实数中的结论:“若ab,且ba,则a=b”,在集合中,你发现了什么结论?(4)按升国旗时,每个班的同学都聚集在一起站在旗杆附近指定的区域内,从楼顶向下看,每位同学是哪个班的,一目了然.试想一下,根据从楼顶向下看的,要想直观表示集合,联想集合还能用什么表示？(5)试用Venn图表示例子中集合A和集合B.(6)已知AB,试用Venn图表示集合A和B的关系.(7)任何方程的解都能组成集合,那么x2+1=0的实数根也能组成集合,你能用Venn图表示这个集合吗？(8)一座房子内没有任何东西,我们称为这座房子是空房子,那么一个集合没有任何元素,应该如何命名呢？(9)与实数中的结论“若ab,且bc,则ac”相类比,在集合中,你能得出什么结论?活动：教师从以下方面引导学生:(1)观察两个集合间元素的特点.(2)从它们含有的元素间的关系来考虑.规定:如果AB,但存在xB,且xA,我们称集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA).(3)实数中的“”类比集合中的.(4)把指定位置看成是由封闭曲线围成的,学生看成集合中的元素,从楼顶看到的就是把集合中的元素放在封闭曲线内.教师指出:为了直观地表示集合间的关系,我们常用平面上封闭曲线的内部代表集合,这种图称为Venn图.(5)封闭曲线可以是矩形也可以是椭圆等等,没有限制.(6)分类讨论:当AB时,AB或A=B.(7)方程x2+1=0没有实数解.(8)空集记为,并规定:空集是任何集合的子集,即A;空集是任何非空集合的真子集,即A(A).(9)类比子集.讨论结果：(1)集合A中的元素都在集合B中;集合A中的元素都在集合B中;集合C中的元素都在集合D中;集合E中的元素都在集合F中.可以发现:对于任意两个集合A,B有下列关系:集合A中的元素都在集合B中;或集合B中的元素都在集合A中.(2)例子中AB,但有一个元素4B,且4A;而例子中集合E和集合F中的元素完全相同.(3)若AB,且BA,则A=B.(4)可以把集合中元素写在一个封闭曲线的内部来表示集合.(5)如图1-1-2-1所示表示集合A,如图1-1-2-2所示表示集合B.x k b 1 . c o m图1-1-2-1图1-1-2-2(6)如图1-1-2-3和图1-1-2-4所示.图1-1-2-3图1-1-2-4(7)不能.因为方程x2+1=0没有实数解.(8)空集.(9)若AB,BC,则AC;若AB,BC,则AC.应用示例1某工厂生产的产品在重量和长度上都合格时,该产品才合格.若用A表示合格产品的集合,B表示重量合格的产品的集合,C表示长度合格的产品的集合.已知集合A、B、C均不是空集.(1)则下列包含关系哪些成立？AB,BA,AC,CA.(2)试用Venn图表示集合A、B、C间的关系.活动：学生思考集合间的关系以及Venn图的表示形式.当集合A中的元素都属于集合B时,则AB成立,否则AB不成立.用相同的方法判断其他包含关系是否成立.教师提示学生以下两点:(1)重量合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定重量合格;长度合格的产品不一定是合格产品,但合格的产品一定长度合格.(2)根据集合A、B、C间的关系来画出Venn图.解：(1)包含关系成立的有:BA,CA.(2)集合A、B、C间的关系用Venn图表示,如图1-1-2-5所示.图1-1-2-5练习1写出集合a,b的所有子集,并指出哪些是它的真子集.活动：学生思考子集和真子集的定义,教师提示学生空集是任何集合的子集,一个集合不是其本身的真子集.按集合a,b的子集所含元素的个数分类讨论.解：集合a,b的所有子集为,a,b,a,b.真子集为,a,b.练习2已知集合P=1,2,那么满足QP的集合Q的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.1分析:集合P=1,2含有2个元素,其子集有22=4个,又集合QP,所以集合Q有4个.答案：A点评：本题主要考查子集和真子集的概念,以及分类讨论的思想.通常按子集中所含元素的个数来写出一个集合的所有子集,这样可以避免重复和遗漏.思考:集合A中含有n个元素,那么集合A有多少个子集？多少个真子集？解：当n=0时,即空集的子集为,即子集的个数是1=20;当n=1时,即含有一个元素的集合如a的子集为,a,即子集的个数是2=21;当n=2时,即含有一个元素的集合如a,b的子集为,a,b,a,b,即子集的个数是4=22.集合A中含有n个元素,那么集合A有2n个子集,由于一个集合不是其本身的真子集,所以集合A有(2n-1)个真子集.应用示例2已知集合A=-1,3,2m-1,集合B=3,m2.若BA,则实数m=_.活动：先让学生思考BA的含义,根据BA,知集合B中的元素都属于集合A,集合元素的互异性,列出方程求实数m的值.因为BA,所以3A,m2A.对m2的值分类讨论.解：BA,3A,m2A.m2=-1(舍去)或m2=2m-1.解得m=1.m=1.答案：1点评：本题主要考查集合和子集的概念,以及集合元素的互异性.本题容易出现m2=3,其原因是忽视了集合元素的互异性.避免此类错误的方法是解得m的值后,再代入验证.讨论两集合之间关系时,通常依据相关的定义,观察这两个集合元素的关系,转化为解方程或解不等式.x k b 1 . c o m练习3已知集合M=x|2-x2,由于NM,则N=或N,要对集合N是否为空集分类讨论.解：由题意得M=x|x2,则N=或N.当N=时,关于x的方程ax=1中无解,则有a=0;当N时,关于x的方程ax=1中有解,则a0,此时x=,又NM,M.2.0a.综上所得,实数a的取值范围是a=0或0a,即实数a的取值范围是a|0a课堂小结本节课学习了:子集、真子集、空集、Venn图等概念;能判断存在子集关系的两个集合谁是谁的子集,进一步确定其是否是真子集;清楚两个集合包含关系的确定,主要靠其元素与集合关系来说明.作业课本 习题 A组设计感想