中考压轴题--圆含答案.doc

中考压轴题（一）-与圆有关压轴题1.如图，在中，所对的圆心角为，已知圆的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系（1）求圆心的坐标；（2）求经过三点的抛物线的解析式；（3）点是弦所对的优弧上一动点，求四边形的最大面积；（4）在（2）中的抛物线上是否存在一点，使和相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）如图（1），连结则， ， 图1（2）由三点的特殊性与对称性，知经过三点的抛物线的解析式为 ， （3），又与均为定值， 当边上的高最大时，最大，此时点为与轴的交点，如图1 （4）方法1：如图2，为等腰三角形，图2等价于 设且，则， 又的坐标满足，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 方法2：如图（3），当时，又由（1）知，点在直线上设直线的解析式为，将代入，解得直线的解析式为 解方程组得 又，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 方法3：如图3，为等腰三角形，且，设则 图3等价于， 当时，得解得 又的坐标满足，在抛物线上，存在点，使由抛物线的对称性，知点也符合题意存在点，它的坐标为或 点评本题是一道综合性很强也是传统型的压轴题，涉及了函数、方程、相似、圆等大量初中数学的重点知识，解这类问题要求学生必须稳固的掌握各个领域的数学知识，须注意的是在第4小问中涉及了相似三角形的问题，很有可能会有多解的情况出现，此时就要求学生拥有较强的数形结合思想去探索结论的存在性。2.（06湖南湘潭卷）已知：如图，抛物线的图象与轴分别交于两点，与轴交于点，经过原点及点，点是劣弧上一动点（点与不重合）（1）求抛物线的顶点的坐标；（2）求的面积；（3）连交于点，延长至，使，试探究当点运动到何处时，直线与相切，并请说明理由解 （1）抛物线的坐标为（2）连；过为的直径而（3）当点运动到的中点时，直线与相切理由：在中，点是的中点，在中，为等边三角形又为直径，当为的中点时，为的切线点评本题将抛物线与圆放在同一坐标系中研究，因此数形结合的解题思想是不可缺少的，解第3小问时可以先自己作图来确定D点的位置。3（06湖南永州卷）如图，以为圆心的两个同心圆中，大圆的直径交小圆于两点，大圆的弦切小圆于点，过点作直线，垂足为，交大圆于两点（1）试判断线段与的大小关系，并说明理由（2）求证：（3）若是方程的两根（），求图中阴影部分图形的周长ABCDEONHMF解 （1）相等 连结，则，故 （2）由，得， 又由，得 （3）解方程得：， ，在中，在中，弧长， 阴影部分周长 点评本题是比较传统的几何型综合压轴题，涉及圆、相似、三角等几何重点知识。4. （06辽宁卷）如图，已知，以点为圆心，以长为半径的圆交轴于另一点，过点作交于点，直线交轴于点（1）求证：直线是的切线；（2）求点的坐标及直线的解析式；xyABCOFE（3）有一个半径与的半径相等，且圆心在轴上运动的若与直线相交于两点，是否存在这样的点，使是直角三角形若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）证明：连结 又又是的切线（2）方法由（1）知，又，由解得（舍去）或，直线经过，两点设的解析式：解得直线的解析式为 方法：切于点，又，即又，由解得（舍去）或 （求的解析式同上）方法，切于点， 由解得：， （求的解析式同上）（3）存在；当点在点左侧时，若，过点作于点， 当点在点右侧时，设，过点作于点，则xyABCOPFMEHNQ1234，可知与关于点中心对称，根据对称性得存在这样的点，使得为直角三角形，点坐标或点评本题是一道综合性很强的传统型压轴题，其难度比较恰当，选拔功能较强，解第3小题时要注意分类讨论，这是本题最容易失分的地方5. （06辽宁沈阳卷）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点，点（1）以为一边在第一象限内作等边及的外接圆（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；（2）若与轴的另一个交点为点，求，四点的坐标；（3）求经过，三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点，使的面积等于的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹（2）由直线，求得点的坐标为，点的坐标为在中，是等边三角形，点的坐标为，连结是等边三角形直线是的切线点的坐标为（3）设经过，三点的抛物线的解析式是把代入上式得抛物线的解析式是存在点，使的面积等于的面积点的坐标分别为，点评本题是一道综合性很强的压轴题，主要考查二次函数、一次函数、圆、几何作图等大量知识，第3小题是比较常规的结论存在性问题，运用方程思想和数形结合思想可解决。6.已知：抛物线与轴相交于两点，且（）若，且为正整数，求抛物线的解析式；（）若，求的取值范围；（）试判断是否存在，使经过点和点的圆与轴相切于点，若存在，求出的值；若不存在，试说明理由；（）若直线过点，与（）中的抛物线相交于两点，且使，求直线的解析式解 （）解法一：由题意得， 解得，为正整数， 解法二：由题意知，当时， 以下同解法一） 解法三：， 又 （以下同解法一） 解法四：令，即，（以下同解法三）xyO（）解法一：，即 解得 的取值范围是 解法二：由题意知，当时， 解得：的取值范围是 解法三：由（）的解法三、四知， ， 的取值范围是 （）存在 解法一：因为过两点的圆与轴相切于点，所以两点在轴的同侧， 由切割线定理知， 即， 解法二：连接圆心所在直线， 设直线与轴交于点，圆心为， 则 ， 在中， 即解得 （）设，则yx7 过分别向轴引垂线，垂足分别为 则 所以由平行线分线段成比例定理知， 因此，即 过分别向轴引垂线，垂足分别为， 则所以 ，或 当时，点直线过， 解得 当时，点直线过， 解得故所求直线的解析式为：，或 7. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，以为边在轴下方作正方形，点是线段与正方形的外接圆除点以外的另一个交点，连结与相交于点（1）求证：；（2）设直线是的边的垂直平分线，且与相交于点若是的外心，试求经过三点的抛物线的解析表达式；AEODCBGFxyl（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在点，使该点关于直线的对称点在轴上？若存在，求出所有这样的点的坐标；若不存在，请说明理由解 （1）在和中，四边形是正方形，又，（2）由（1），有，点是的外心，点在的垂直平分线上点也在的垂直平分线上为等腰三角形，而，设经过三点的抛物线的解析表达式为抛物线过点，把点，点的坐标代入中，得即解得抛物线的解析表达式为（3）假定在抛物线上存在一点，使点关于直线的对称点在轴上是的平分线，轴上的点关于直线的对称点必在直线上，即点是抛物线与直线的交点AEODCBGFxylQ设直线的解析表达式为，并设直线与轴交于点，则由是等腰直角三角形把点，点代入中，得直线的解析表达式为设点，则有把代入，得，即解得或当时，；当时，在抛物线上存在点，它们关于直线的对称点都在轴上8.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1经过点A(-2，0)和点B(0，)，直线l2的函数表达式为，l1与l2相交于点PC是一个动圆，圆心C在直线l1上运动，设圆心C的横坐标是a过点C作CMx轴，垂足是点M(1)填空：直线l1的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，FPB的度数是 ；(2)当C和直线l2相切时，请证明点P到直线CM的距离等于C的半径R，并写出R=时a的值.(3)当C和直线l2不相离时，已知C的半径R=，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM与l2的交点)S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由2134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C图2NM解 (1) P(1，) 602134123-1-2-3-1yxOABEFPl1l2C(第24题图甲)GDM (2)设C和直线l2相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CDPD过点P作CM的垂线PG，垂足为G，则RtCDPRtPGC (PCD=CPG=30，CP=PC)， 所以PG=CD=R 当点C在射线PA上，C和直线l2相切时，同理可证取R=时，a=1+R=，或a=-(R-1)(3) 当C和直线l2不相离时，由(2)知，分两种情况讨论： 如图乙，当0a时， 当时，（满足a），S有最大值此时（或） 当a0时，显然C和直线l2相切即时，S最大此时 综合以上和，当或时，存在S的最大值，其最大面积为 9. 如图1，已知中，过点作，且，连接交于点（1）求的长；（2）以点为圆心，为半径作，试判断与是否相切，并说明理由；（3）如图2，过点作，垂足为以点为圆心，为半径作；以点为圆心，为半径作若和的大小是可变化的，并且在变化过程中保持和相切，且使点在的内部，点在的外部，求和的变化范围ABCPEEABCP图1图2解 （1）在中， ， （2）与相切 在中， 又，与相切 （3）因为，所以的变化范围为 当与外切时，所以的变化范围为；当与内切时，所以的变化范围为点评本题是一道比较传统的几何综合题，第1题运用相似三角形知识即可得解，第2小题也较基础，第3小题注意要分类，试题中只说明了“和相切”，很多同学漏解往往是由于没有仔细读题和审题。8，（06江苏宿迁课改卷）设边长为2a的正方形的中心A在直线l上，它的一组对边垂直于直线l，半径为r的O的圆心O在直线l上运动，点A、O间距离为d（1）如图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系公共点的个数dar图darardardardar所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有个；（2）如图，当ra时，根据d与a、r之间关系，将O与正方形的公共点个数填入下表：d、a、r之间关系图公共点的个数dardaradarda所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有个；图（3）如图，当O与正方形有5个公共点时，试说明ra；（4）就ra的情形，请你仿照“当时，O与正方形的公共点个数可能有 个”的形式，至少给出一个关于“O与正方形的公共点个数”的正确结论解 （1）d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1ardar2dar1dar0图 所以，当ra时，O与正方形的公共点的个数可能有0、1、2个； 图（2）d、a、r之间关系公共点的个数dar0dar1adar2da4所以，当ra时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4个； （3）方法一：如图所示，连结OC则OEOCr ，OFEFOE2ar BCDFE 在RtOCF中，由勾股定理得： OF2FC2OC2即（2ar）2a2r2 4a24arr2a2r2 5a24ar5a4r r a BNE方法二：如图，连结BD、OE、BE、DE 四边形BCMN为正方形CMN90BD为O的直径，BED90MDBENDEM 90CBENEBN90DEMEBNBNEEMD DMa 由OE是梯形BDMN的中位线得OE（BNMD）a（4）当ar时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、4、6、7、8个；当ra时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、5、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4、6、8个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个；当时，O与正方形的公共点个数可能有0、1、2、3、4个点评本题是一道较为新颖的几何压轴题，考查圆、相似、正方形等几何知识，综合性较强，有一定的难度，试题的区分度把握非常得当，是一道很不错的压轴题。9. （06山东枣庄课改卷）半径为2.5的O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P已知BC ：CA4 : 3，点P在上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点O（1）当点P与点C关于AB对称时，求CQ的长；（2）当点P运动到的中点时，求CQ的长； （3）当点P运动到什么位置时，CQ取到最大值？求此时CQ的长解 （1）当点P与点C关于AB对称时，CPAB，设垂足为D. AB为O的直径，ACB=900. AB=5,AC:CA=4:3,BC=4, AC=3. 又ACBC=ABCD 在RtACB和RtPCQ中， ACBPCQ=900, CABCPQ， RtACBRtPCQ （2）当点P运动到弧AB的中点时，过点B作BEPC于点E（如图）.P是弧AB的中点， 又CPB=CABCPB= tanCAB= 而从 由（l）得， （3）点P在弧AB上运动时，恒有 故PC最大时，CQ取到最大值 当PC过圆心O，即PC取最大值5时，CQ 最大值为 点评本题属于常规的几何综合题，解第3小问时要有动态的思想（在草稿上画画图）不难猜想出结论。10.如图，点在轴上，交轴于两点，连结并延长交于，过点的直线交轴于，且的半径为，（1）求点的坐标；（2）求证：是的切线；（3）若二次函数的图象经过点，求这个二次函数的解析式，并写出使二次函数值小于一次函数值的的取值范围解 （1）如图，连结 ， 是的直径（也可用勾股定理求得下面的结论）， ，（2）过点 当时， ，（也可用勾股定理逆定理证明）是的切线（3）过点 因为函数与的图象交点是和点（画图可得此结论）所以满足条件的的取值范围是或 11. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画O，P是O上一动点，且P在第一象限内，过点P作O的切线与轴相交于点A，与轴相交于点B。（1）点P在运动时，线段AB的长度在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形时平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由。解 （1）线段AB长度的最小值为4 理由如下：连接OP 因为AB切O于P，所以OPAB 取AB的中点C，则 当时，OC最短， 即AB最短，此时 （2）设存在符合条件的点Q，如图，设四边形APOQ为平行四边形，因为四边形APOQ为矩形又因为所以四边形APOQ为正方形所以，在RtOQA中，根据，得Q点坐标为（）。 如图，设四边形APQO为平行四边形因为OQPA，所以，又因为所以，因为 PQOA，所以 轴。设轴于点H，在RtOHQ中，根据，得Q点坐标为（）所以符合条件的点Q的坐标为（）或（）。12. 如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心的O的半径为，直线l：与坐标轴分别交于A、C两点，点B的坐标为(4，1)，B与x轴相切于点M。（1）求点A的坐标及CAO的度数；（2）B以每秒1各单位长度的速度沿x轴负方向平移，同时，直线l绕点A顺时针匀速旋转。当B第一次与O相切时，直线l也恰好与B第一次相切。问：直线AC绕点A每秒旋转多少度？ABOMCyx第25题图AEOCyx第25题图O1（3）如图，过A、O、C三点作O1，点E为劣弧AO上一点，连接EC、EA、EO，当点E在劣弧AO上运动时(不与A、O两点重合)，的值是否发生变化？如果不变，求其值；如果变化，说明理由。13. （06广东深圳课改卷）(10分)如图10-1，在平面直角坐标系中，点在轴的正半轴上， 交轴于 两点，交轴于两点，且为的中点，交轴于点，若点的坐标为（2，0），(1)(3分)求点的坐标. (2)(3分)连结，求证：(3)(分) 如图10-2，过点作的切线，交轴于点.动点在的圆周上运动时，的比值是否发生变化，若不变，求出比值；若变化，说明变化规律. 14.(06 安徽芜湖市课改卷）一位小朋友在粗糙不打滑的“Z”字形平面轨道上滚动一个半径为10cm的圆盘，如图所示，AB与C D是水平的，BC与水平面的夹角为600，其中AB=60cm，CD=40cm，BC=40cm，请你作出该小朋友将园盘从A点滚动到D点其圆心所经过的路线的示意图，并求出此路线的长度。15. (07芜湖市)24. 已知圆P的圆心在反比例函数图象上，并与x轴相交于A、B两点 且始终与y轴相切于定点C(0，1)(1) 求经过A、B、C三点的二次函数图象的解析式;(2) 若二次函数图象的顶点为D，问当k为何值时，四边形ADBP为菱形解: (1)连结PC、PA、PB，过P点作PHx轴，垂足为H P与轴相切于点C (0，1)，PC轴P点在反比例函数的图象上，P点坐标为（k，1） PA=PC=k在RtAPH中，AH=，OA=OHAH=k A（k，0） 由P交x轴于A、B两点，且PHAB，由垂径定理可知， PH垂直平分ABOB=OA+2AH= k+2=k+，B(k+，0) 故过A、B两点的抛物线的对称轴为PH所在的直线解析式为x=k可设该抛物线解析式为y=a+h 又抛物线过C(0，1)， B(k+，0)， 得： 解得a=1，h=1 抛物线解析式为y=+1（2）由(1)知抛物线顶点D坐标为（k， 1）DH=1 若四边形ADBP为菱形则必有PH=DH PH=1，1=1 又k1，k= 当k取时，PD与AB互相垂直平分，则四边形ADBP为菱形16. 26. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为(4，0)，以点为圆心，4为半径的圆与轴交于，两点，为弦，是轴上的一动点，连结（1）求的度数；（2分）（2）如图，当与相切时，求的长；（3分）（3）如图，当点在直径上时，的延长线与相交于点，问为何值时，是等腰三角形？）解：（1），是等边三角形 （2）CP与相切， 又（4，0）， （3）过点作，垂足为，延长交于，是半径， ，是等腰三角形又是等边三角形，=2 解法一：过作，垂足为，延长交于，与轴交于，是圆心， 是的垂直平分线 是等腰三角形， 过点作轴于，在中，点的坐标（4+，）在中，点坐标（2，）设直线的关系式为：，则有 解得：当时，解法二： 过A作，垂足为，延长交于，与轴交于，是圆心， 是的垂直平分线 是等腰三角形，平分，是等边三角形， 是等腰直角三角形17. 26. 如图12-1所示，在中，为的中点，动点在边上自由移动，动点在边上自由移动（1）点的移动过程中，是否能成为的等腰三角形？若能，请指出为等腰三角形时动点的位置若不能，请说明理由（2）当时，设，求与之间的函数解析式，写出的取值范围（3）在满足（2）中的条件时，若以为圆心的圆与相切（如图12-2），试探究直线与的位置关系，并证明你的结论图12-1图12-2AEFOCBAEFOCB（图121）（图122）解：如图，（1）点移动的过程中，能成为的等腰三角形此时点的位置分别是：是的中点，与重合与重合，是的中点（2）在和中，又，（3）与相切，即又，点到和的距离相等与相切，点到的距离等于的半径与相切18. (06武汉市) 如图，在平面直角坐标系中，RtAOBRtCDA，且A(1，0)、B(0，2)，抛物线yax2ax2经过点C。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线(对称轴的右侧)上是否存在两点P、Q，使四边形ABPQ是正方形？若存在，求点P、Q的坐标，若不存在，请说明理由；(3)如图，E为BC延长线上一动点，过A、B、E三点作O，连结AE，在O上另有一点F，且AFAE，AF交BC于点G，连结BF。下列结论：BEBF的值不变；，其中有且只有一个成立，请你判断哪一个结论成立，并证明成立的结论。OxyBFAECOG(第25题图)O(第25题图)ABCDxy解：由RtAOBRtCDA得OD=2+1=3,CD=1C点坐标为(3,1),抛物线经过点C,1= (3)2 a(3)2，。抛物线的解析式为.在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PEOB于E，QGx轴于G，可证PBEAQGBAO，PEAGBO2，BEQGAO1，P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,1）。由（1）抛物线。当x2时，y1，当x,1时，y1。P、Q在抛物线上。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。延长CA交抛物线于Q，过B作BPCA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1, y=k2x+b2,A（1,0），C（3,1），CA的解析式，同理BP的解析式为，解方程组得Q点坐标为（1,1），同理得P点坐标为（2,1）。由勾股定理得AQBPAB，而BAQ90，四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,1），使四边形ABPQ是正方形。另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，C（3,1）的对应点是A（1,0），A（1,0）的对应点是Q（1,1），再将线段AQ沿AB方向平移至BP，同理可得P（2,1）BAC90，ABAC四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,1）两点均在抛物线上。结论成立，证明如下：连EF，过F作FMBG交A