《不定积分的定义》PPT课件.ppt

课题八、不定积分的计算 不定积分：若F(x)=f(x),则称F(x)+C为f(x)的不定积分. 记为： ，即 说明：由定义知，求f(x)的不定积分，只需求出f(x) 的一个原函数，然后加上任意常数C即可。 不定积分的性质： （1） （2） （3） 主页下页 微分与积分的互逆性 积分的运算性质 课题八、不定积分的计算 基本积分公式 由不定积分的定义及导数公式得如下基本积分表 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 直接积分法 利用基本积分表和积分运算法则,最多对被积函数作 适当变形就可以积分的方法,称为直接积分法 利用积分表和运算法则 例1.求下列不定积分 (1) (2) (4) (5) (6) 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 解答如下（基本公式和法则） (1) (2) (4) (5) (6) 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 利用代数变形 例2.求下列不定积分 (2) (3) (4) (5) (6) 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 解答如下（代数变形） (1) (2) (3) (4) (5) (6) 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 利用三角变形 例3.求下列不定积分 (1) (2) (4) (5) (6) 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 解答如下（三角变形） (1) (2) (4) (5) (6) 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 课堂练习 一.求下列不定积分 (1) (2) (3) (4) 二.已知物体的速度 ，当t=1时，物体经过的路 程为3，求物体运动规律？ 上页下页 课题八、不定积分的计算(直接积分法) 课堂练习 答案 一.求下列不定积分 (1) (2) (3) (4) 二.已知物体的速度 ，当t=1时，物体经过的路 程为3，求物体运动规律？ 解: ,由s(1)=3得 所以运动规律 -完- 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 前言 利用基本积分表和运算法则可以积分的函数非常有 限.下面介绍换元积分法-将要计算的积分通过变量替 换化成基本积分表中已有的形式,算出原函数后,再换 回原来的变量. 换元积分法包括:第一类换元积分(凑微分)和第二类换元积分 提出问题 如何求积分: 解决方法 像复合函数求导一样,我们引入中间变量u,将被积函 数变成基本积分表中的函数,积分后再回代变量. 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 例1.求积分: 解：令u=2x, du=2dx, 则 例2.求积分: 解:令u=2x+1, du=2dx, 则 例3.求积分: 解:令u=x+1, du=dx, 则 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 其实,在上面的例子中可以这样求解. 例4.求积分: (1) (2) (注:回忆前面所讲的微分式子) 解(1)因为 , 所以 (2)因为 , 所以 上面这种求积分的方法称为“凑微分法”. 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 复习微分式: 例5.求下列不定积分 (1) (2) (3) (4) 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 解:(1) (2) (3) (4) 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 例6.求下列积分 (1) (2) (3) (4) 解(1) (2) (3) (4) 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 小 结(第一类换元积分,即凑微分) 使用环境 如果被积函数可以整理为如下形式,则可使用凑微分. 注意事项 (1)熟悉基本积分公式; (2)熟悉常用凑微分式; (3)明确将哪部分放进微分里(即凑微分). 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 课堂练习 求下列不定积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) - 上页下页 课题八、不定积分的计算(凑微分法) 课堂练习 解 答 求下列不定积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) -完- 上页下页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 如何求如下积分呢? 通过观察,上面积分很显然不能使用“凑微分法”,所以 必须另寻新的积分方法第二类换元积分(即先作变量 替换,积分后再回代变量) 第二类换元积分通常包括:根式换元和三角换元 根式换元 例7.求积分: 解: 上页下页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 例8.求积分: 解: 上页下页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 例9.求积分: 解: 上页下页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 三角换元 例10.求积分: 解: 上页下页 1 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 例11.求积分: 解: 上页下页 1 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 例12.求积分: 解: 上页下页 2 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 小 结(第二类换元积分法) 使用环境 当求积分 较困难,但作变量替换 后,而新 的积分 容易积分时使用. 若 的反函数存在时,有 换元方式 (1)根式换元 (2)三角换元 上页下页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 课堂练习 求下列不定积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) 上页下页 课题八、不定积分的计算(第二类换元法) 课堂练习 答 案 求下列不定积分: (1) (2) (3) (4) (5) (6) -完- 上页下页 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 分部积分公式(由乘积的微分公式得到) 说明:(1)当积分 不易计算,而积分 容易积分时, 考虑使用本公式; (2)使用的关键是正确选择u和dv. 下面,我们通过例子来分析和总结公式的使用技巧. 例13.求积分: 分析:对照公式 我们要将xexdx变形为udv的形式,即形成公式的左 边,就必须将被积函数中的某一项“拿进”微分里去,形成 某一函数的微分,即dv. 那么,将哪项“拿进”微分里去呢? 上页下页 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 事实上,哪项都可以拿进微分里“凑微分”.下面我们就来 分别试一试! 方法一. 将x拿进微分里“凑微分” 观察:后项积分比前项积分(所求)更复杂,更难于积分. 方法二. 将ex拿进微分里“凑微分” 说明方法二的选择是正确的. 上页下页 容易积分 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 练一练:如何求积分: 例14.求积分： 分析:现在我们换个角度来分析,由公式 知 在第二个积分中要对u求微分(即导数),幂函数求导后 次数会降低;而余弦函数求导后仅变成正弦,对积分的难 度没有影响.由此可见,应把幂函数x作为u,而将cosx拿 进微分里“凑微分”. 解： 上页下页 凑微分 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 同理可求积分: 总结规律: (1)若被积函数为幂函数与指数函数或正(余)弦函数相 乘时,可使用分部积分法,此时选择幂函数作为u. 例4.求积分: 分析:由于对数函数求导后,会将“对数符号”去掉,所 以应选择对数函数作为u. 解： 上页下页 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 例15.求积分： 分析：选择反正切函数作为u. 解： 上页下页 拆项 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 总结规律: (2)若被积函数为幂函数与对数函数或反三角函数相乘 时,可使用分部积分法,此时选择对数函数或反三角函数 作为u. 特别地,求积分: 分析:由于被积函数仅一项,由上述规律(2),此时应将dx 中的x看成v,即已经满足分部积分公式,直接使用公式. 解： 上页下页 凑微分 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 例16.求积分： 分析：由于指数函数与余弦函数求导后具有循环性,故 选择哪项作为u都可以.为了方便,选cosx作为u. 解： 上页下页 再分部积分 课题八、不定积分的计算(分部积分法) 同理:可求