《函数的简单函数表》PPT课件.ppt

第一部分 实验指导书 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*1 3.1 函数的简单函数表示 一、实验目的 1理解Taylor公式的意义； 2认识Taylor公式的地位和作用； 3了解较复杂函数的简单函数表示 。 二、实验使用的软件 Mathematica 5.0或以上版本. 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*2 三、实验的基本理论及方法 1Taylor公式 11带皮亚诺余项的Taylor公式 设函数在处阶可导, 则 . 特别地，即得Maclaurin公式 . 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*3 12带拉格朗日余项的Taylor公式 设函数且 , 则 其中介于与之间. 特别地，即得Maclaurin公式 其中介于与之间. 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*4 2幂级数展开 给定函数f(x)及任意一点x0是否能找到一个幂 级数 ，在其收敛区间内的和函数恰好 就是给定的函数f(x)呢？如果能找到这样的幂级 数，我们就说f(x)在x0能展开成幂级数，而该幂级 数就称为f(x)的在该点处的幂级数展开式。 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*5 3傅里叶级数展开 对波的研究在物理学和工程技术中显得非常重 要，它反映了物质作周期运动的运动规律，我们常 常用一个以T为周期的周期函数f(t)=f(t+T)来描述它 。而简谐振动是最简单的一种周期运动，其运动规 律为y=Asin(t+ )，其中y表示动点的位置，t表示 时间，A表示振幅， 是初相， 为角频率.那么其 它的波能否用无穷多个简谐波的叠加来表示是傅里 叶级数所要解决的问题。 若函数f(x)是以2 为周期的周期函数，且在区 间- ,上连续或只有有限个第一类间断点，而且 只有有限个极值点（上述条件称为狄里克雷充分条 件），则有 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*6 （1）当是的连续点时， (1 ) 其中的系数 由式（2）确定 (2 ) 其中，式(1)的右端称为函数f(x)的傅立叶级数；式 （2）称为傅立叶系数公式。 （2）当x是f(x)的间断点时，傅立叶级数收敛于 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*7 四、实验材料 1.编写Mathematica程序，从图象上观察多项式与 函数的接近或逼近 在同一坐标系里分别作出各次多项式函数与函 数y=sinx的图象。观察这些多项式函数的图象向 y=sinx的图象逼近的情况。 2.构造多项式与函数逼近 设多项式函数与函数 f(x)逼近，则 对f(x)分别构造各阶（例如一阶、二阶、 十五阶）Maclaurin或Taylor多项式，并从图象观 察逼近程度与范围。 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系*8 3.傅立叶级数 分别取n=20,30,画出函数 在区间-3,3上的图象，观察正弦波的叠加。 Mathematica没有专门的命令将一个周期函数 进行傅里叶级数展开，但我们可以通过下列的程序 将一个以2为周期的周期函数展开成有限阶不带 任何余项的傅里叶级数 n=Input“n=”; fx_= Inputfx= L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi; Fori=1,i RGBColor1,0,0, RGBColor0,1,0 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 13 12实验思路 例1.1 在同一坐标系里分别作出多项式函数 ， ， ， ， ， ， ，和函数 的图 象观察这些多项式函数的图象向 的图象 逼近的情况 思考：哪些多项式函数能与 逼近？在什 么范围内逼近？ 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 14 思考：哪些多项式函数能与 逼近？在 什么范围内逼近？ 一般地，观察一类多项式能与哪一个函数在 什么范围内逼近。 例1.2在同一坐标系里分别作出多项式函数 和函数 的图象观察这些多项式函数的图 象向 的图象逼近的情况 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 15 2、Maclaurin(Taylor)级级数的整体表示 21程序 函数 的 阶Maclaurin公式构造的 Mathematica计算程序如下 n=n0; fx_=expr ; ax,k_=Dfx,x,k/k!; Tablea0,k,k,0,n; px_,n=Suma0,k*xk,k,0,n 阶Maclaurin公式当 时的Mathematica程 序 gx_:=Suma0,k*xk,k,0,Infinity 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 16 阶Maclaurin公式当 时的近似函数(取 )与对应函数比较的Mathematica程序 hx_:=Suma0,k*xk,k,0,1001； Plotfx,hx，x，a，b,PlotStyle- RGBColor1,0,0, RGBColor0,1,0 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 17 函数 关于 的 阶Taylor公式构造的 Mathematica计算程序如下 n=n0; x0=x0; fx_=expr ; ax,k_=Dfx,x,k/k!; Tableax0,k,k,0,n; px_,n=Sumax0,k*(x-x0)k,k,0,n 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 18 22实验思路 例2.1 构造函数sinx的5、7、9、11、13、15阶 Maclaurin公式，观察函数sinx的各阶Maclaurin公式 与sinx的逼近程度；观察n阶Maclaurin公式当n 时的近似函数；此近似函数与函数sinx的比较。 取x0=1对sinx分别构造一阶、二阶、十五阶 Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围；观 察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近似函 数与函数sinx的比较。 再取x0=/3对sinx分别构造一阶、二阶、十 五阶Taylor多项式，并从图象观察逼近程度与范围 ；观察n阶Taylor公式当n时的近似函数；此近 似函数与函数sinx的比较。 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 19 例2.3 设 ，构造 Maclaurin公式；观察阶数；从图象观察逼近程度 与范围。 例2.4 设 ，构造Maclaurin公式；观察 阶数；从图象观察逼近程度与范围。 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 20 3、周期函数的傅里叶级数 31程序 下列的程序将一个以2 为周期的周期函数展开 成有限阶不带任何余项的傅里叶级数 n=Input“n=”; fx_=Inputfx= L=(1.0/Pi*NIntegratefx,x,-Pi,Pi; Fori=1,iRGBColor1,0,0, RGBColor0,1,0 运行结果为 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 28 在程序中把多项式x分别替换其它多项式运行 程序，有如下结果(结果省略). 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 29 实验观察： 由奇次幂构成的多项式函数才可能与函数 y=sinx逼近，其中 这类多项式与函数y=sinx逼近效果最好；随 着多项式次数升高，逼近范围渐进扩大。 科学出版社 南通大学理学院计算科学与统计学系 * 30 四、实验总结 1.如果函数在x=x0(x=0)处具有n阶导数，多 项式函数可能与函数局部逼近，其中某一函数 的Maclaurin（Taylor）多项式与此函数逼近效