《三点确定曲率》word版.doc

单片机C语言求平方根函数2009年07月12日 星期日 11:01转自：/article/304.html在单片机中要开平方.可以用到下面算法: 算法1: 本算法只采用移位、加减法、判断和循环实现，因为它不需要浮点运算，也不需要乘除运算，因此可以很方便地运用到各种芯片上去。 我们先来看看10进制下是如何手工计算开方的。 先看下面两个算式， x = 10*p + q (1) 公式(1)左右平方之后得： x2 = 100*p2 + 20pq + q2 (2) 现在假设我们知道x2和p，希望求出q来，求出了q也就求出了x2的开方x了。 我们把公式(2)改写为如下格式： q = (x2 - 100*p2)/(20*p+q) (3) 这个算式左右都有q，因此无法直接计算出q来，因此手工的开方算法和手工除法算法一样有一步需要猜值。 我们来一个手工计算的例子：计算1234567890的开方 首先我们把这个数两位两位一组分开，计算出最高位为3。也就是(3)中的p，最下面一行的334为余数，也就是公式(3)中的(x2 - 100*p2)近似值 3 - | 12 34 56 78 90 9 - | 3 34 下面我们要找到一个0-9的数q使它最接近满足公式(3)。我们先把p乘以20写在334左边： 3 q - | 12 34 56 78 90 9 - 6q| 3 34 我们看到q为5时(60+q*q)的值最接近334，而且不超过334。于是我们得到： 3 5 - | 12 34 56 78 90 9 - 65| 3 34 | 3 25 - 9 56 接下来就是重复上面的步骤了，这里就不再啰嗦了。 这个手工算法其实和10进制关系不大，因此我们可以很容易的把它改为二进制，改为二进制之后，公式(3)就变成了： q = (x2 - 4*p2)/(4*p+q) (4) 我们来看一个例子，计算100(二进制1100100)的开方： 1 0 1 0 - | 1 10 01 00 1 - 100| 0 10 | 0 00 - | 10 011001| 10 01 - 0 00 这里每一步不再是把p乘以20了，而是把p乘以4，也就是把p右移两位，而由于q的值只能为0或者1，所以我们只需要判断余数(x2 - 4*p2)和(4*p+1)的大小关系，如果余数大于等于(4*p+q)那么该上一个1，否则该上一个0。 下面给出完成的C语言程序，其中root表示p，rem表示每步计算之后的余数，divisor表示(4*p+1)，通过a30取a的最高 2位，通过a=2将计算后的最高2位剔除。其中root的两次1相当于4*p。程序完全是按照手工计算改写的，应该不难理解。 unsigned short sqrt(unsigned long a) unsigned long rem = 0; unsigned long root = 0; unsigned long divisor = 0; for(int i=0; i16; i+) root = 1; rem = (rem 30); a = 2; divisor = (root1) + 1; if(divisor = rem) rem -= divisor; root+; return (unsigned short)(root); 算法2 :单片机开平方的快速算法 因为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿 迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。不敢独享，介 绍给大家，希望会有些帮助。 1.原理 因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B0，B1，.，Bm-1表示一个序列， 其中x为下标。 假设： Bx,bx都是二进制序列,取值0或1。 M = Bm-1*pow(2,m-1) + Bm-2*pow(2,m-2) + . + B1*pow(2,1) + B0*pow (2,0) N = bn-1*pow(2,n-1) + bn-2*pow(2,n-2) + . + b1*pow(2,1) + n0*pow (2,0) pow(N,2) = M (1) N的最高位bn-1可以根据M的最高位Bm-1直接求得。 设 m 已知,因为 pow(2, m-1) = M = pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) = N = pow(2, m/2) 如果 m 是奇数，设m=2*k+1, 那么 pow(2,k) = N pow(2, 1/2+k) N = pow(2, k-1/2) pow(2, k-1), n-1=k-1,n=k=m/2 所以bn-1完全由Bm-1决定。 余数 M1 = M - bn-1*pow(2, 2*n-2) (2) N的次高位bn-2可以采用试探法来确定。 因为bn-1=1，假设bn-2=1，则 pow(bn-1*pow(2,n-1) + bn-1*pow(2,n-2), 2) = bn-1*pow(2,2*n-2) + (bn-1*pow(2,2*n-2) + bn-2*pow(2,2*n-4), 然后比较余数M1是否大于等于 (pow(2,2)*bn-1 + bn-2) * pow(2,2*n-4)。这种 比较只须根据Bm-1、Bm-2、.、B2*n-4便可做出判断，其余低位不做比较。 若 M1 = (pow(2,2)*bn-1 + bn-2) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，bn-2 = 1； 余数 M2 = M1 - pow(pow(2,n-1)*bn-1 + pow(2,n-2)*bn-2, 2) = M1 - (pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)； 若 M1 30); / 获取最高位：Bm-1 M 1) / 最高位为1 N +; / 结果当前位为1，否则为默认的0 tmp -=