[数学]第二章平面向量.doc

第九章 平面向量第1课 向量的概念及其表示【基础练习】1. 下面各量中，是向量的是（ ）A 温度 B 距离 C 加速度 D 质量2. 下列命题中，正确的是（ ）A. 若|a|=|b|，则a=bB. 若a=b,则a与b是平行向量C. 若|a|b|,则abD. 若a与b不相等，则向量a与b是不共线向量ABCDO3. 如图，四边形ABCD中，=，则相等的向量是（ ）A.与 B.与C.与 D.与4. 已知ABCD是菱形，|=1，DAB=,则|= , |= .【巩固练习】1 判定下列命题的正误：零向量是惟一没有方向的向量。 （ ）平面内的单位向量只有一个。 （ ）方向相反的向量是共线向量，共线向量不一定是方向相反的向量。（ ）向量a与b是共线向量，bC,则a与c是方向相同的向量。 ( ) 相等的向量一定是共线向量。 ( )OABCDEF2. 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，在向量， ，中与共线的向量有（ ）A. 1个 B. 2个C. 3个D. 4个3. 下列四个命题中，正确命题的个数是（ ） 共线向量是在同一条直线上的向量 若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点 与已知非零向量共线的单位向量是唯一的 若四边形ABCD是平行四边形，则与，与分别共线.A. 1 B. 2 C. 3 D. 44. 在直角坐标系xoy中，已知|=2,则A点构成的图形是 （ ）A.一个点出 B.一条直线 C. 一个圆 D. 不能确定BAFEDC5. 如图，D、E、F分别是ABC三边BC、CA、AB边 上的中点.在图中给出的线段上，能作为（1）与平行的向量有 （2）与相等的向量有 BOCDAE6. 如图，O是正三角形ABC的中心；四边形AOCD和AOBE 均为平行四边形，则与向量相等的向量有 ，与向量共线的向量有 .与向量的模相等的向量有 .7.在梯形ABCD中，若E,F分别为腰AB、DC的三等分点， CFDBEA且|=2,|=5,求|. 8在直角坐标系xoy中，已知|=5, 与x轴的正方向所成的角为，与y轴的正方向所成的角为，试作出。第2课 向量的线性运算（1）【基础练习】1. 若=，则四边形ABCD是（ ）A. 梯形 B. 等腰梯形 C. 平行四边形 D. 菱形2. 下列命题正确的是（ ）A.单位向量都相等B.长度相等且方向相反的两个向量不一定是共线向量C.若a，b满足|a|b|且a与b同向，则abD.对于任意向量a、b,必有|a+b|a|+|b|3. 把平面内所有单位向量的始点放在同一点，则它们的终点构成的图形是 .4. 化简 。5. 已知向量a、b ,求作a+b ba 【巩固练习】1. 以下四个命题中不正确的是 （ ）A. 若a为任意非零向量，则a0B. | a+b|=|a|+|b|C. a=b，则|a|=|b|，反之不成立D. 任一非零向量的方向都是惟一的2已知，则的取值范围为（ ）A. B. C. D. 3. 设（+）+（+）= ,则在下列结论中，正确的有（ ）; +=; +=; +ABCD4 设a表示“向东走3 km”,b表示“向北走4 km”,则a+b表示_.5. 一架飞机向北飞行200 km后，改变航向向东飞行200 km，则飞行的路程为 ,abcdefABCD两次位移的和的方向为 ,大小为 .6.在四边形ABCD中，根据图示用一个向量填空：a+b= ， b+c= ，c+d = ， a+b +c+d = .7.已知在矩形ABCD中，宽为2，长为,a, b,c,试作出向量a+b+c，并求出其模的大小。OBA8如图，一物体受到水平方向和与水平方向成角的两个力的作用，已知两个力的大小均为2 N，求它的合力的大小及方向。CAB9. 如图，已知在RtABC中，试用几何法作出向量：。第3课 向量的线性运算（2）【基础练习】1. 当|a|=|b|0且a、b不共线时，a+b与ab的关系是（ ）A. 平行B. 垂直C. 相交但不垂直D. 相等2. 在下列各题中,正确的命题个数为 ( )(1)若向量a与b方向相反,且|a|b|,则a + b与a方向相同(2)若向量a与b方向相反,且|a|b|,则方向a - b与a + b相同(3)若向量a与b方向相同,且|a|b|,则a - b与a方向相反(4)若向量a与b方向相同,且|a|b|,则a - b与a + b方向相反A. 1个 B. 2 个 C. 3个 D. 4个3. 在四边形ABCD中，则ABCD是 ( ) A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形4. 已知向量a、b ,求作a b ab 【巩固练习】1. 任给向量a,b,则恒有（ ）A. |a+b|=|a|+|b|B. |ab|=|a|b|C .|ab|a|+|b|D. |ab|a|b|2. 已知正方形ABCD的边长为1，=a，=b，=c,则|a+b+c|等于（ ）A. 0 B. 3 C. D. 23. 已知A、B、C三点不共线，O是ABC内的一点，若+=0，则O是ABC的（ ）A. 重心B. 垂心C. 内心D. 外心4. 若向量a，b满足关系a+b=b,则a = ,|a+b| = 。5. 化简：（1）（）()= . （2） .6. 当非零向量、满足 ，+平分向量、的夹角.7. 设M是线段AB的中点，O是平面上任意一点，求证：8. 已知任意四边形ABCD的边AD和BC的中点分别为E、F，求证：9. 已知任意四边形ABCD，求证：第4课 向量的线性运算（3）【基础练习】1. 化简-+的结果等于 ( )A. B. C. D. 2已知=a，=b,=c,=d,且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）ABCDEFA. a+b+c+d=0B. ab+cd=0C. a+bcd=0D. abc+d=03. 如图已知ABCDEF为正六边形，且=a，=b，则用a，b表示为_.4. 在水流速度为4km/h的河流中，有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度航行，则船实际航行的速度的大小为 km/h.【巩固练习】1. 下列说法正确的是（ ）A.若ma =0，则必有m=0B.若m 0, a0，则m a的方向与a同向C.若m 0,则|m a |=m| a |ABCEFDMD.若m 0, a0，则m a与a共线2、如图.点M是的重心,则为（ ）A B 4 C4 D 4 3. 若|=8，|=5，则|的取值范围是（ ）A.3，8B.（3，8）C.3，13D.（3，13）4. 已知a、b是非零向量,则|a-b|=|a|+|b|时,应满足条件 .5. 已知M、N是ABC的一边BC上的两个三等分点， 若=a,=b,则=_.6. （1） . （2）若 . 7. 已知平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD交于E，O是任意一点，AOBCD求证8.如图已知：试说明的关系.9. 如图，ABCD是一个梯形，ABCD，且AB=2CD，M、 N分别是DC和AB的中点，BACMDN已知=a,=b, 试用a，b表示和. 第5课 向量的线性运算（4）【基础练习】1. 已知正方形的边长为1，=a，=b，=c,则|a+b+c|等于（ ）A.0 B.3 C. D.22. 若=3e1,=5e1,且|=|，则四边形ABCD是（ ）A. 平行四边形B. 菱形C. 等腰梯形 D. 不等腰梯形3. 梯形ABCD，ABCD，AB=2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若=a,=b,试用a、b表示和，则=_，=_.4. 如图，M、N分别是四边形ABCD对边AB、CD的中点，BACDMN求证：【巩固练习】1. 已知AM是ABC的BC边上的中线，若=a,= b，则等于（ ）A （a - b） B （b - a）C （ a + b）D- （ a + b）2.在ABC中，AD、BE、CF分别是BC、CA、AB边上的中线，G是它的交点，则下列等式中不正确的是（ ）A. B. =C. =2 D. +3. 已知，R，下列结论中，错误的是（ ）A（a + b）=a +b B（+）a =a +aC（a）=（）a Da +b =（+）（ a + b）4. 已知：D为ABC的边BC上的中点，ABCEDE是AD上的一点，且=3，若=a，则+=_.（用a表示）5. 若|a+b|=|a|+|b|，则a与b必须满足的条件是 6.设两个非零向量和不共线，如果=2+3，=6+23, =4-8，求证：A、B、D三点共线 7. 已知P、Q分别是四边形ABCD的对角线AC、BD的中点，试用a、b表示.8. 试用向量法证明三角形中位线定理9. 已知a、b满足.求证：a、b共线.第6课 单元复习（1）【基础练习】1. 下列说法中正确的是（ ）A. 具有方向的量就是向量B. 零向量没有方向C. 长度相等的向量是相等向量D. 相反向量是平行向量2. 已知D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且=a，=b，=c,则下列各式： =cb =a+b =a+b +=0其中正确的等式的个数为 （ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 43. 、是给定的不共线的向量，且,则向量x=_,y=_.4. 平行四边形ABCD中，M、N分别为DC、BC的中点，已知=c，=d，试用c，d表示和.【巩固练习】1. 在四边形ABCD中，=a+2b，=4ab，=5a3b，其中a、b不共线，则四边形ABCD为（ ）A. 平行四边形 B. 矩形 C. 梯形 D. 菱形2. 已知=a+5b，=2a+8b，=3（ab），则（ ）A. A、B、D三点共线B .A、B、C三点共线C. B、C、D三点共线D. A、C、D三点共线3. 设|a|=8，|b|=12，则|a+b|的最大值是 ，最小值是 . 4. 正六边形ABCDEF中，已知a, b, 则 （用a，b表示）5. 在直角坐标系xoy中，满足的点P构成的图形是 .6. 已知e1，e2是两个不共线的向量，=e1+e2，=e18e2,=3e13e2,若A、B、D三点在同一条直线上，求实数的值.7. 已知非零向量a 、b 不共线，= a +2b ，=2 a b ，= a +7b . 求证：A、B、D三点共线.8. 在ABC中，点M是BC的中点，点N在边AC上，且AN=2NC，AM与BN相交于点P，利用向量法求APPM的值.9. 如图，在中，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN=BD，AMBCDN求证：M、N、C三点共线.第7课 向量的坐标表示（1）【基础练习】1已知向量，其中不共线，则与的关系为 （ ）A不共线 B共线 C不平行 D无法确定2已知平行四边形中，与交于点，记，则 3已知梯形ABCD中，ABCD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，如图，若=,=，试用，表示和，则= , =_。【巩固练习】1.ABC中，已知=3,则等于( )A. (+2) B. (+2)C. (+3)D. (+2)2.如图ABC中，AD，BE，CF分别是BC，CA，AB边上的中线，G是它们的交点，则下列等式中不正确的是( )A. = B. =C. =- D. +=3.下面三种说法：一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；零向量不可为基底中的向量.其中正确的说法是( )A.B.C.D.4.设O是ABCD两对角线的交点，下列向量组：与；与；与；与，其中可作为这个平行四边形所在平面表示它的所有向量的基底是( )A.B.C.D.5.已知AM是ABC的BC边上的中线，若=,=，则等于( )A. (-)B. (-) C. ( +)D.- ( +)6.已知在平行四边形ABCD中，=,=,则= .7.ABC中, =,EFBC交AC于F点，设=,=,则，表示向量是 .8.设两个非零向量和不共线，如果=2+3，=6+23, =4-8，求证：A、B、D三点共线.9.已知矩形ABCD，且AD=2AB,又ADE为等腰直角三角形，F为ED的中点，=, =,以,为基底，试表示向量，及.10证明三角形的三条中线交于一点.第8课 向量的坐标表示（2）【基础练习】1.已知=(3,-1), =(-1,2)，则-3-2的坐标是( )A.(7，1)B.(-7，-1)C.(-7，1)D.(7，-1)2若向量=(x+3,x2-3x-4)与相等，其中A(1，2)，B(3，2)，则x= 3已知=(3x+4y,-2x-y), =(2x-3y+1,-3x+y+3)，若2=3,试求x与y的值.【巩固练习】1.已知平行四边形ABCD中，=(3,7), =(-2,3),对角线AC、BD交于O，则的坐标是( )A.(- ，5)B.(- ， -5)C.( )，-5)D.( ，5)2.若向量=(x-2,3)与向量=(1,y+2)相等，则：( )A.x=1,y=3 B.x=3,y=1 C.x=1,y=-5 D.x=5,y=-13.已知向量=(6,1), =(x,y), =(-2,3),则=( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)4若点A(-1，2)，B(2，3)，C(3，-1)，且=2-3，则点D的坐标为 .5若A、B、C三点的坐标分别为(2，-4)，(0，6)，(-8，10)，则+2，-的坐标分别为 、 .6已知平行四边形三个顶点是(3，-2)，(5，2)，(-1，4)，求第四个顶点的坐标.7已知=10, =(3,-4),且,求.8 已知=(3,2), =(-2,1), =(7,-4),用，表示.9如图，已知凸四边形ABCD中，E、F分别是AB与CD的中点，试证：2=+10 已知：点A(2，3)、B(5，4)，C(7，10)若=+ (R),试求为何值时，点P在一、三象限角平分线上?点P在第三象限内?第9课 向量的坐标表示（3）【基础练习】1下列各组向量中，共线的是 （ ）A B CD2若向量，且，则 .3已知=10, =(3,-4),且,求.【巩固练习】1.已知=(-1,3), =(x,-1)，且，则x等于( )A.3B. C.-3D.-2.设=(,sin), =(cos,)且，则锐角为( )A.30B.60C.45D.753.已知向量=(6,1), =(x,y), =(-2,3),则=( )A.(x+4,2-y)B.(x-4,2-y)C.(x-4,y-2)D.(-4-x,-y+2)4.已知=(1,2), =(x,1)，当+2与2-共线时，x值为( )A.1B.2C. D. 5若向量=(1,2), =(x,1), =+2,=2-,且，则x = .6.已知=(1,2), =(2,1), =(3,-2),且=+，则实数= ,= .7.若向量=(1，-2)的终点在原点，那么这个向量的始点坐标是 .8若三点共线，求实数的值.10已知点及，试问：（1）为何值时，在轴上？在轴上？在第二象限？（2）四边形能否成为平行四边形？若能，求出相应的值；若不能，请说明理由.第10课 向量的数量积（1）【基础练习】1已知，则与的夹角为（ ）A B C D2已知，那么实数的值为 .3已知当（1）；（2）；（3）与的夹角为时，分别求与的数量积.【巩固练习】1已知、是三个非零向量，则下列命题中真命题的个数是（ ）(1)；(2) ，反向=-；(3) +=-；(4).A.1 B.2 C.3 D.42.已知1，+1，则-等于( )A.1 B. C. D.23.有四个式子：(1) =;(2) =0;(3) -=;(4)其中正确的个数为( )A.4个B.3个C.2个D.1个4.设向量和的长分别为6和5，夹角为120，则+等于 .5.在四边形ABCD中，=0，且=,则四边形ABCD是 .6已知向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.7已知+=,=3,1,4，试计算+.8求证：直径上的圆周角为直角.9.已知=5,=4,且与的夹角为60，问当且仅当k为何值时，向量k-与+2垂直?10求证ABC的三条高交于一点.第11课 向量的数量积（2）【基础练习】1已知=(-,-1), =(1, )，那么，的夹角=( )A.30 B.60 C.120 D.1502已知+ =2-8, -=-8+16，那么= .3若(+)(2-),( -2)(2+)，试求，的夹角的余弦值.【巩固练习】1.下列各向量中，与=(3,2)垂直的向量是( )A. =(3,-2) B. =(2,3) C. =(-4,6) D. =(-3,2)2.已知向量=(3,-2), =(m+1,1-m)，若，则m的值为( )A. B.- C.-1 D.13.已知向量=5,且=(3,x-1),xN,与向量垂直的单位向量是( )A.(，-) B.(-，) C.(- ，)或(，-) D.( ，-)或(-，)4.若=(cos,sin), =(cos,sin)，则( )A. B. C.( +)(-) D.( +)(-)5.以A(2，5)，B(5，2)，C(10，7)为顶点的三角形的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形6.已知=(-2,-1), =(,1).若与的夹角为钝角，则的取值范围是 .A. B.(2，+)C.(- ，+) D.(-,- )7已知=(2,1), =(-1,3),若存在向量使得：=4, =-9，试求向量的坐标.8 已知ABC的顶点分别为A(2，1)，B(3，2)，C(-3，-1)，BC边上的高AD，求及点D的坐标.9若将向量=(2,1)围绕原点按逆时针方向旋转.得到向量,求向量的坐标.10已知A(0，a),B(0,b),(0ab)，在x轴的正半轴上求点C，使ACB最大，并求出最大值.第12课 向量的数量积（3）【基础练习】1在ABC中，已知,则等于A2B2C2D42已知向量，若与垂直，则实数=A1B1C0D2 3设e1、e2是两个互相垂直的单位向量，且a=3e1+2e2,b=3e1+4e2,求ab.【巩固练习】1设、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则( )（）-( ) =； |-|1（kR），求k的取值范围.19已知f（A,B）=。（）设A、B、C为ABC内角，当f（A, B）取得最小值是，求C；（）当A+B=且A、BR时，y=f（A, B）的图象通过向量p的平移得到函数y=2cos2A的图象，求向量p。20平面直角坐标系内有点P（1，cosx），Q（cosx，1），。（）求向量和的夹角的余弦用x表示的函数f（x）；（）求的最值。21已知a =（cos，sin），b=（cos，sin），a与b之间有关系式|ka+b |=|a-ka|，其中k0。（）用k表示ab；（）求ab的最小值，并求此时a与b的夹角的大小。22已知： 、是同一平面内的三个向量，其中 =（1，2）（）若|，且，求的坐标；（）若|=且与垂直，求与的夹角.本章复习题B组一、选择题1、给出以下命题:(1)“零向量与任一向量都平行”(2)在ABC中,若=,=,则A=arccos(3)对于任意向量,必有()=,且()=()(4)=4,不共线,当且仅当K=时,+K与-K互相垂直。其中正确的命题个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.42、下列向量组中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（ ）A.=（0，0）， =（1，2）B. =（1，2），=（5，7）C. =（3，5），=（6，10） D. =（2，3），=（，）3、已知的是（ ） A B C D4、在四边形ABCD中，= +2，=4，=53，其中、不共线，则四边形ABCD为（ ）A.平行四边形 B.矩形C.梯形D.菱形5、已知函数，按向量平移所得图象的解析式为，当为奇函数时，向量可以是（ ）AB。C。 D。6、把函数的图象适当平移可得到函数的图象，这种平移是（ ）A 按向量平移 B 按向量平移C 按向量平移 D 按向量平移7、在ABC中，已知|=4，|=1，SABC=，则等于（ ）A.2B.2C.2D.48、设平面上四个互异的点A、B、C、D，已知（2）（）=0则ABC的形状是（ ）A直角三角形 B等腰三角形 C等腰直角三角形 D等边三角形9、在ABC中，=（2，3），=（1，k）,若ABC为直角三角形，则k的值为（ ）A. B. C.或 D.、或10、若=，=，与不共线，则AOB平分线上的向量为（ ）A.B. C. D. ,由确定11、已知D、E、F分别是ABC的边BC、CA、AB的中点，且=，=，=,则下列各式：= = + = + +=其中正确的等式的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.412、已知四边形ABCD是菱形，点P在对角线AC上（不包括端点A、C），则等于（ ）A.(+),(0,1) B.(+),(0,)C.(),(0,1) D.(),(0,)二、填空题：13. 已知M、N是ABC的一边BC上的两个三等分点，若=,=,则=_.14. 已知的夹角为，则使向量与的夹角是锐角的实数 的取值范围是_.15.已知+=0，|+|+|=1，则，的夹角为_.16若对 为“线性相关”，依此规定，“线性相关”的实数 .（只写出一组数值，不必考虑所有情况）三、解答题：17、已知三点A（0，8），B（4，0），C（5，3），D点内分的比为13，E在BC上，且使BDE的面积是ABC面积的一半，求E点的坐标.18、已知ABC的外接圆半径R为6，面积为S，a、b、c分别是角A、B、C的对边设.（1）求sinA的值; （2）求ABC面积的最大值.19、已知，与垂直， 与的夹角，且，求实数m，n的值及与的夹角 20、已知向量，向量与向量夹角为，且（1）求向量；（2）若向量与向量的夹角为，向量，其中A、C为的内角，且A、B、C依次成等差数列，求的取值范围21、已知函数（为常数，且）的图象过点，且函数的最大值为2。（1）、求函数的解析式，并写出其单调递增区间。（2）、若函数的图象按向量作移动距离最小的平移后，使所的图象关于y轴对称，求出向量的坐标及平移后的图象对应的函数解析式。22. 已知平面向量 （1）证明：；（2）若存在不同时为零的实数k和t，使，且，试求函数关系式；（3）根据（2）的结论，讨论关于t的方程的解的情况。本章测试一、选择题：(每小题5分