毕业论文--平面自治系统的平衡点及其稳定性分析.doc

A 基础理论 B 应用研究 C 调查报告 D 其他本科生毕业设计（论文）平面自治系统的平衡点及其稳定性分析二级学院：专 业：年 级：学 号：作者姓名：指导教师：完成日期：2013年5月5日平面自治系统的平衡点及其稳定性分析论文答辩小组组 长： 成 员： 论文成绩： 目录1 引言12 预备知识22.1基本概念及基本定理22.1.1基本概念22.1.2 基本定理33 平面自治系统的平衡点及其稳定性分析43.1线性系统的平衡点及其稳定性43.1.1 有同号相异实根43.1.2 有异号实根53.1.3 有重实根63.1.4 有一对共轭复根73.2 非线性系统的平衡点及其稳定性94 结束语10参考文献11平面自治系统的平衡点及其稳定性分析 摘 要：本文主要探讨了平面自治系统的平衡点及其稳定性，并将其用数学软Maple形象地描绘出来. 关键词：平面自治系统；平衡点；稳定性The equilibrium point and its stability of the plane autonomous systemAbstract: This article mainly discusses the equilibrium point and its stability of the plane autonomous system, and applies mathematical software by Maple to describe vividly.Keywords: the plane autonomous system; equilibrium point; stability 1 引言 20世纪以来,随着大量的边缘科学诸如电磁流体力学、化学流体力学、动力气象学、海洋动力学、地下水动力学等等的产生和发展,在自然科学（如物理、 化学、生物、天文）和社会科学（如工程、经济、军事）中的大量问题都可以用微分方程来描述,尤其当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程,分析它的变化规律,预测它的未来形态时,要建立对象的动态模型,通常要用到微分方程模型,而稳定性模型的对象仍是动态过程,而建模的目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势、平衡状态是否稳定.因此,用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性,对稳定性模型的研究起着很重要的作用.微分方程的稳定性理论将平衡点（奇点）分为结点（临界结点或星形结点、两向结点或正常结点、单向结点）、鞍点、焦点、中心等类型.奇点是平面自治系统的一类特殊的轨线，一般来说,奇点及其附近的轨线的性态是比较复杂的,熟练掌握平面自治系统奇点类型对于研究系统的相图有重要的意义.本文将探讨平面自治系统的平衡点及其稳定性,并结合Maple软件分析其相图.2 预备知识2.1基本概念及基本定理2.1.1基本概念定义1右端不显含自变量的微分方程组 (1)是二阶自治方程(系统).定义2 代数方程组 的实根组成的点称为二阶自治方程(1)的平衡点或奇点.注 二维常系数线性自治系统的一般形式为 (2)它的系数矩阵的特征方程是 (3)将特征方程改写为，其中.当非奇异时,系统(2)有惟一奇点,称为初等奇点.方程(3)的根即为矩阵的特征根.关于非线性系统 (4) 的奇点与线性系统(2)的奇点有很大关系.2.1.2 基本定理定理1 (Perron第一定理) 设系统(4)中的满足条件：,则如果是对应线性系统(2)的焦点、结点或鞍点,那么也是非线性系统(4)的同类型奇点,且具有相同的稳定性.定理2 (Perron第二定理) 如果定理1中的条件保持不变,而将条件且具有相同的稳定性.对于一般的非线性系统(1),可以用近似线性方法判断其平衡点的稳定性,而对于任意高阶的方程都可以化为一阶方程组来处理.系统(1)的线性近似系统为(2),即 假设,即奇点为初等奇点(又称为一次奇点).先讨论线性系统(2)的平衡点的定性性质.由线性方程组理论知系统(2)的通解完全由它的系数矩阵A的若尔当标准形确定.设A的实若尔当标准形为J,则存在非奇异实矩阵P,使.从而可利用非奇异线性坐标变换,将系统(2)化为线性系统(5) 注意到系统(2)与系统(5)可以相互转化，因此只要把(5)式的轨线性质搞清楚了系统(2)的轨线性质也就清楚了.是下面三种形式之一： ，其中这里第一、二种形式对应于矩阵A仅有实特征根的情形,第三种形式相应于矩阵A具有一对共轭复根的情形.用表示(2)式右端的系数矩阵.首先考虑矩阵A非退化的情形，即,这时在复数域有两个非零特征根（）.下面根据特征根的不同情形来研究系统(5)的平衡点.3 平面自治系统的平衡点及其稳定性分析3.1线性系统的平衡点及其稳定性 3.1.1 有同号相异实根此时，都是实数且. 为稳定的两向结点. 为不稳定的两向结点.图1例1 考虑如下的平面线性系统 (6)解 首先计算系数矩阵的特征根.系统(6)的系数矩阵为.从而特征根为,是一对同号相异的正实根.因此,原点作为系统(6)的平衡点是一个不稳定的两向结点.为了画出相图,我们需要找出平衡点的两个特殊方向.为此先求出的特征向量.这样,我们相应绘出两条直线,它们上面的轨道都是继续沿着它们且背离原点.因为,因此除了上的轨道外,所有轨道的曲线都与相切于点,从而直线分别给出了平衡点的两个特殊方向.由此可以画出系统(6)的相图,见图1. 图13.1.2 有异号实根此时，都是实数且.或,为鞍点.或,为鞍点.例2 作出系统(7) 在点附近的相图.解 系统(7)的系数矩阵为. 由,解得特征根,是一对异号实根.因此原点作为系统(7)的平衡点是鞍点.其相图见图2. 图23.1.3 有重实根 此时,. 或,为稳定临界结点或退化结点. 或,为不稳定临界结点或退化结点.图7图（g）例3 考虑如下的平面线性系统 (8)解 系统(8)的系数矩阵为. 由,解得特征根,相同的实根.因此平衡点或者是稳定的星形结点或者是稳定的单向结点.它们之间的区别在于平衡点有多少个特殊方向,无穷个对应于前者,唯一一个对应于后者.进一步判断,我们同样先求出的特征向量,由解得特征向量.显然，总共能解出的线性无关的特征向量组有且只有一个向量组成.因此是稳定的单向结点.沿特征向量绘出一条直线,它上面的轨道继续沿着它指向原点,其余所有轨道的曲线都与相切于点,见图3. 图3例4 研究下面系统(9) 解 系统(9)的系数矩阵为. 由,解得特征根,是相同的实根.因此原点作为系统(9)的平衡点是星形结点(或临界结点).其相图见图4. 图43.1.4 有一对共轭复根此时,而且. 图11例5 研究下面系统的奇点,并在奇点邻域内画出积分曲线族图像： (10) . 解 系统(10)的系数矩阵为. 由,解得特征根,是一对共轭复根且.因此原点作为系统(10)的平衡点是稳定的焦点,见图5.为了确定积分曲线(螺线)的方向,在点作出速度向量. 图5例6 研究下面系统的奇点，并在奇点邻域内画出积分曲线族图像： (11) 解 系统(11)的系数矩阵为.由,解得特征根.因此,奇点是中心.沿轨线运动的方向由向量确定,见图6. 图63.2 非线性系统的平衡点及其稳定性对于非线性系统,先将其线性化,得到该非线性系统的线性近似系统,再根据线性系统的平衡点及其稳定性的判断方法, 并结合Perron第一定理和Perron第二定理就可以判断出其线性近似系统的平衡点及其稳定性与该非线性系统的平衡点及其稳定性一致.例7 讨论非线性系统的奇点O(0,0)的类型. (12) 解 将系统(12)写成 其中. (12)的线性近似系统为： (13) 满足定理1,所以奇点也是原非线性系统(12)的稳定焦点. 例8 讨论非线性系统的奇点的类型. (14) 解 系统(14)的线性近似系统为 (15) 易知,奇点是系统(15)的中心,但根据已知定理1和定理2无法判断其是否为系统(2)的中心.作极坐标变换,令，代入 系统(14)可得到从而解得，可见容易得出奇点是原系统(14)的稳定焦点.4 结束语对于一般形式的线性方程组(2),可先由系数矩阵的特征根迅速判断出平衡点的类型和稳定性,然后利用平面线性系统平衡点的下面两个性质作出相图.首先注意到当,某些轨道将沿某一确定的方向称为(平衡点的特殊方向)趋向于平衡点,特别地,两向结点和鞍点有两个特殊方向,单向结点有一个特殊方向,星形结点有无穷个特殊方向,焦点和中心没有特殊方向;并且当某条直线给出平衡点的特殊方向时,它被平衡点分割的两条射线都是系统的轨道,这些性质在放射变换下保持不变.其次平面线性系统(2)在相平面上给出的方向场关于平衡点对称，即若为系统在点给出的方向,则为系统在点给出的方向.通过探讨平面自治系统的平衡点及其稳定性,并结合图像对其进行分析,对平衡状态的稳定性及稳定性模型的研究起着非常重要的作用.参考文献1张伟年,杜正东,徐冰编.常微分方程M.北京：高等教育出版社，2006:179-190.2赵爱民，李美丽，韩茂安著.微分方程基本理论M.北京：科学出版社， 2011:127-135.3（俄)博亚尔丘克，（俄）戈洛瓦奇编著；郑元禄译.高等数学例题与习题集（四） 常微分方程M.北京：清华大学出版社，2005:89-95.4钟益林，彭乐群，刘炳文编著.常微分方程及其Maple，MATLAB求解M.北京： 清华大学出版社，2007:8-10.5傅希林，范进军编著.非线性微分方程M.北京：科学