初三数学总复习——与圆有关的性质.ppt

考点复习 第十二单元 圆 第一讲 与圆有关的性质 动态：在一个平面内，线段OA绕它固定的一 个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图 形叫做圆 静态：圆心为O、半径为r的圆可以看成是所有 到定点O的距离等于定长r 的点组成的图形 垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧 CDAB CD是直径， AE=BE, AC =BC, AD =BD. O AB C D E 几何语言 垂径定理的几个基本图形： CD过圆心 CDAB于E AE=BE AC=BC AD=BD 垂径定理推论 平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦,并且平分弦所对的两条弧。 CDAB, CD是直径， AE=BE AC =BC, AD =BD. O AB C D E 垂径定理的本质是 满足其中任两条，必 定同时满足另三条 （1）一条直线过圆心 （2）这条直线垂直于弦 （3）这条直线平分弦 （4）这条直线平分弦所对的优弧 （5）这条直线平分弦所对的劣弧 运用垂径定理可以解决许多生产、生活实际问 题，其中弓形是最常见的图形（如图），则弦a，弦 心距d，弓形高h，半径r之间有以下关系： A B C D O d+h=r 垂径定理的应用垂径定理的应用 h r d 1、两条辅助线： 半径、圆心到弦的垂线段 2、一个Rt： 半径、圆心到弦的垂线段、半弦 O AB C 3、两个定理： 垂径定理、勾股定理 圆周角定理 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角 都相等，都等于它所对的圆心角的一半。 A BC O A BC O A B C O 即BAC= BOC O A B A1 B1 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的 弧相等，所对的弦相等. AOB=A1OB1 AB=A1B1 ，AB=A1B1 . 圆心角定理 O A B A1 B1 同圆或等圆中，两 个圆心角、两条圆心角 所对的弧、两条圆心角 所对的弦中如果有一组 量相等，它们所对应的 其余各组量也相等。 等对等定理 (1) 圆心角 (2) 弧 (3) 弦 知一得二 等对等定理整体理解： O A B A1 B1 O C A B D 如图，四边形ABCD为 O的内接四边形； O为四边形ABCD的外 接圆。 圆的内接四边形的对角互补 。 1（2013徐州）如图，点A、B、C在O上，若 C=30，则AOB的度数为 考点： 圆周角定理 分析： 根据圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对 的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半得： AOB=2C，进而可得答案 解：O是ABC的外接圆，C=30， AOB=2C=230=60 故答案为：60 点评： 此题考查了圆周角定理，注意掌握在同圆或等圆中，同 弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半 O A B C 60 2（13内江）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为圆心的圆 过点A（13，0），直线y=kx3k+4与O交于B、C两点，则弦 BC的长的最小值为 _ 分析： 根据直线y=kx3k+4=K(X-3)+4必过点D（3，4），求出最短的弦CD 是过点D且与该圆直径垂直的弦，再求出OD的长，再根据以原点O为圆心的圆 过点A（13，0），求出OB的长，再利用勾股定理求出BD，即可得出答案 解：直线y=kx3k+4必过点D（3，4）， 最短的弦BC是过点D且与该圆直径垂直的弦， 点D的坐标是（3，4）， OD=5， 以原点O为圆心的圆过点A（13，0）， 圆的半径为13， OB=13， BD=12， BC的长的最小值为24； 故答案为：24 点评： 此题考查了一次函数的综合，用到的知识点是垂径定理、勾股定理、 圆的有关性质，关键是求出BC最短时的位置 考点： 一次函数综合题 24 3（13宁夏）如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后， 圆弧恰好经过圆 心O，则折痕AB的长为 4.(13.宁波) 如图，AE是半圆O的直径，弦AB=BC= ,弦 CD=DE=4,连接OB,OD,图中两个阴影部分的面积和为 解：弦AB=BC，弦CD=DE， 点B是弧AC的中点，点D是弧CE的中点， BOD=90， 过点O作OFBC于点F，OGCD于点G， 则BF=FG=2 ，CG=GD=2，FOG=45， 在四边形OFCG中，FCD=135， 过点C作CNOF，交OG于点N， 则FCN=90，NCG=13590=45， CNG为等腰三角形， CG=NG=2， 过点N作NMOF于点M，则MN=FC=2 ， 在等腰三角形MNO中，NO= MN=4， OG=ON+NG=6， 在RtOGD中，OD= = =2 即圆O的半径为2 故S阴影=S扇形OBD= =10 5（13常州）如图，ABC内接于O， BAC=120，AB=AC，BD为O的直径， AD=6，则DC= D A B C O 6（12.泰州）如图，ABC内接于O，OD BC于D， A=50，则OCD的度数是【 】 A40 B45 C50 D60 【考点】圆周角定理，垂径定理，三角形内角和定理。 【分析】 连接OB， A和BOC是 所对的圆周角和圆 心角，且A=50， BOC=2A=100。 又ODBC， 根据垂径定理，DOC= BOC=50 OCD=1800900500=400。 故选A。 A 7（13.德阳）如图，O的直径CD过弦EF的中点G， DCF=20，则EOD等于（ ） (A)10 (B)20 (C)40 (D)80 C 8（13台湾）如图， 是半圆，O为AB中点，C、D两点在 上，且ADOC，连接BC、BD若CBD=31，则DBA= (A)62 (B)31 (C)30 (D)28 D 9.（13.临沂）如图，在O中，CBO=45，CAO=15， 则AOB的度数是( ) (A)75. (B)60. (C)45. (D)30 B 10（13嘉兴）如图，O的半径OD弦AB于点C， 连结AO并延长交O于点E，连结EC若AB=8，CD=2， 则EC的长为（ ） A 2 B 8C 2 D 2 考点 ： 垂径定理；勾股定理；圆周角定理 在RtBCE中，BE=6，BC=4， CE= = =2故选D 解： O的半径OD弦AB于点C，AB=8，AC=AB=4， 设O的半径为r，则OC=r2， 在RtAOC中，AC=4，OC=r2， OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r2）2，解得r=5AE=2r=10， 连接BE， AE是O的直径，ABE=90， 在RtABE中，AE=10，AB=8， BE= = =6 本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答 此题的关键 D 11.（13.潍坊）如图，O的直径AB=12,CD是O的弦， CD AB,垂足为P，且BP ：AP=1 ：5,则CD的长为（ ） AB C D P O D 12.(13.河南) 如图，CD是O的直径，弦AB CD于点G，直线 EF与O相切于点D，则下列结论中不一定正确的是（ ） A. AG=BC B.AB EF C.AD BC D. ABC= ADC 第12题 D 13.(13.黔西南州) 如图，AB是O的直径，弦CD AB于点E, 点P在O上， 1= C， （1）求证： CBPD ； （2）若BC=3,sin P= ，求O的直径。 （1）证明： C=P 又1=C 1=P CBPD； （2）解：连接AC AB为O的直径， ACB=90 又CDAB BC=BD P=CAB， sinCAB= O的直径为5 14（13资阳）在O中，AB为直径，点C为圆上一点， 将劣弧沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD （1）如图1，若点D与圆心O重合，AC=2，求O的半径r； （2）如图2，若点D与圆心O不重合，BAC=25， 请直接写出DCA的度数 考点 ： 垂径定理；含30度角的直角三角形；圆圆周角定理；翻折变换变换 （折叠问问题题） 分析 ： （1）过点O作OEAC于E，根据垂径定理可得AE= AC，再根据翻折的 性质可得OE= r，然后在RtAOE中，利用勾股定理列式计算即可得解 ； （2）连接BC，根据直径所对的圆周角是直角求出ACB，根据直角三 角形两锐角互余求出B，再根据翻折的性质得到 所对的圆周角， 然后根据ACD等于 所对的圆周角减去 所对的圆周角，计算即可 得解 解：（1）如图图，过过点O作OEAC于E， 则则AE= AC= 2=1， 翻折后点D与圆圆心O重合， OE= r， 在RtAOE中，AO2=AE2+OE2， 即r2=12+（ r）2， 解得r= ； （2）DCA=40 （2）连接BC， AB是直径， ACB=90， BAC=25， B=90BAC =9025 =65 根据翻折的性质， 所对的圆周角等于 所对的圆周角， DCA=BA=6525=40 15.（13.济宁）如图，AD为ABC外接圆的直径，AD BC， 垂足为F， ABC的平分线交AD于E，连接BD,CD (1)求证：BD=CD (2)请判断B,E,C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？ 并说明理由。 A BC D E F （1）证明：AD为ABC外接圆的直径，AD BC BD=CD BD=CD 1 6 5 4 3 2 (2)解： B,E,C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由如下 ： 由（1）可知， BD=CD ，BD=CD ， 1=2 AD平分ABC 3=4 又5=1+3，DBE=4+6, 2=6 5=DBE BD=DE BD=DE=CD B,E,C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上 16（13温州）如图，AB为O的直径，点C在O上，延长 BC至点