高中数学第二章平面向量2.4平面向量的坐标教案北师大版.docx

2.4.1 平面向量的坐标表示2.4.2 平面向量线性运算的坐示表示2.4.3 向量平行的坐标表示整体设计教学分析1.前面学习了平面向量的坐标表示,实际是平面向量的代数表示.在引入了平面向量的坐标表示后可使向量完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.2.本小节主要是运用向量线性运算的交换律、结合律、分配律,推导两个向量的和的坐标、差的坐标以及数乘的坐标运算.推导的关键是灵活运用向量线性运算的交换律、结合律和分配律.3.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,一个自然的想法是向量的某些关系,特别是向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢?前面已经找出两个向量共线的条件(如果存在实数,使得a.=b,那么a.与b共线),本节则进一步地把向量共线的条件转化为坐标表示.这种转化是比较容易的,只要将向量用坐标表示出来,再运用向量相等的条件就可以得出平面向量共线的坐标表示.要注意的是,向量的共线与向量的平行是一致的.三维目标1.通过经历探究活动,使学生掌握平面向量的和、差、实数与向量的积的坐标表示方法.理解并掌握平面向量的坐标运算以及向量共线的坐标表示.2.引入平面向量的坐标可使向量运算完全代数化,平面向量的坐标成了数与形结合的载体.3.在解决问题过程中要形成“见数思形、以形助数”的思维习惯,以加深理解知识要点,增强应用意识.重点难点 教学重点:平面向量的坐标运算. 教学难点:对平面向量共线的坐标表示的理解.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.向量具有代数特征,与平面直角坐标系紧密相联.那么我们在学习直线和圆的方程以及点、直线、平面之间的位置关系时,直线与直线的平行是一种重要的关系.关于x、y的二元一次方程A.x+By+C=0(A.、B不同时为零)何时所体现的两条直线平行？向量的共线用代数运算如何体现？思路2.对于平面内的任意向量A.,过定点O作向量=a.,则点A.的位置被向量a.的大小和方向所唯一确定.如果以定点O为原点建立平面直角坐标系,那么点A.的位置可通过其坐标来反映,从而向量a.也可以用坐标来表示,这样我就可以通过坐标来研究向量问题了.事实上,向量的坐标表示,实际是向量的代数表示.引入向量的坐标表示可使向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来,这就可以使很多几何问题的解答转化为学生熟知的数量运算.引进向量的坐标表示后,向量的线性运算可以通过坐标运算来实现,那么向量的平行、垂直,是否也能通过坐标来研究呢？推进新课新知探究提出问题如何用坐标表示平面内的每一个向量?在平面直角坐标系中,一个向量和坐标是否是一一对应的?我们研究了平面向量的坐标表示,现在已知a.=(x1,y1),b=(x2,y2),你能得出a.+b,a.-b,a.的坐标表示吗?如图2,已知A.(x1,y1),B(x2,y2),怎样表示的坐标？你能在图中标出坐标为(x2-x1,y2-y1)的P点吗?标出点P后,你能总结出什么结论? 图1 图2活动:在平面直角坐标系中,如图1,我们分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,a为坐标平面内的任意向量,以坐标原点O为起点作=a.,由平面向量基本定理，可知有且只有一对实数x,y,使得=xi+yj. 因此a=xi+yj.我们把实数对(x,y)叫作向量a.的坐标,记作a=(x,y). *式是向量a.的坐标表示. 显然,其中(x,y)就是点P的坐标. 由此可见,在全体有序实数对与坐标平面内的所有向量之间可以建立一一对应关系.因此在直角坐标系中,点或向量都可以看作有序实数对的直观形象.向量的正交分解十分重要,它有广泛的应用. 教师让学生通过向量的坐标表示来进行两个向量的加、减运算,教师可以让学生到黑板去板书步骤.可得:a+b=(x1+y1j)+(x2+y2j)=(x1+x2)+(y1+y2)j,即a+b=(x1+x2,y1+y2).同理a-b=(x1-x2,y1-y2).又a=(x1+y1j)=x1+y1j.a=(x1,y1). 教师和学生一起总结,把上述结论用文字叙述分别为: 两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差);实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.教师再引导学生找出点与向量的关系:将向量平移,使得点A与坐标原点O重合,则平移后的B点位置就是P点.向量的坐标与以原点为始点,点P为终点的向量坐标是相同的,这样就建立了向量的坐标与点的坐标之间的联系. 学生通过平移也可以发现:向量的模与向量的模是相等的. 由此,我们可以得出平面内两点间的距离公式:|=|=. 教师对总结完全的同学进行表扬,并鼓励学生,只要善于开动脑筋,勇于创新,展开思维的翅膀,就一定能获得意想不到的收获.讨论结果:略.能.=-=(x2,y2)-(x1,y1)=(x2-x1,y2-y1).(图2)结论:一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.提出问题如何用坐标表示两个共线向量?若a=(x1,y1),b=(x2,y2),那么=是向量a.、b共线的什么条件?活动:教师引导学生类比直线平行的特点来推导向量共线时的关系.此处教师要对探究困难的学生给以必要的点拨:设a.=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b0.我们知道,a.、b共线,当且仅当存在实数,使a=b.如果用坐标表示,可写为(x1,y1)=(x2,y2),即消去后,得x1y2-x2y1=0.这就是说,当且仅当x1y2-x2y1=0时向量a.、b(b0)共线. 又我们知道x1y2-x2y1=0与x1y2=x2y1是等价的,但这与=是不等价的.因为当x1=x2=0时,x1y2-x2y1=0成立,但=均无意义.因此=是向量a、b共线的充分不必要条件.由此也看出向量的应用更具一般性,更简捷、实用,让学生仔细体会这点.讨论结果:x1y2-x2y1=0时,向量a.、b(b0)共线.充分不必要条件.提出问题a与非零向量b为共线向量的充要条件是有且只有一个实数使得a.=b,那么这个充要条件如何用坐标来表示呢？活动:教师引导推证:设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中ba,由a=b,(x1,y1)=(x2,y2),消去,得x1y2-x2y1=0.讨论结果:a.b(b0)的充要条件是x1y2-x2y1=0.教师应向学生特别提醒感悟:1消去时不能两式相除,y1、y2有可能为0,而b0,x2、y2中至少有一个不为0.2充要条件不能写成=(x1、x2有可能为0).3从而向量共线的充要条件有两种形式:a.b(b0)应用示例思路1例1 已知a=(2,1),b=(-3,4),求a+b,a-b,3a+4b的坐标.活动:本例是向量代数运算的简单应用,让学生根据向量的线性运算进行向量的和、差及数乘的坐标运算,再根据向量的线性运算律和向量的坐标概念得出的结论.若已知表示向量的有向线段的始点和终点坐标,那么终点的坐标减去始点的坐标就是此向量的坐标,从而使得向量的坐标与点的坐标可以相互转化.可由学生自己完成.解:a+b=(2,1)+(-3,4)=(-1,5);a-b=(2,1)-(-3,4)=(5,-3);3a+4b=3(2,1)+4(-3,4)=(6,3)+(-12,16)=(-6,19).点评:本例是平面向量坐标运算的常规题,目的是熟悉平面向量的坐标运算公式.变式训练(2007海南高考,4)已知平面向量A.=(1,1),b=(1,-1),则向量a-b等于( )A.(-2,-1) B.(-2,1) C.(-1,0) D.(-1,2)答案:D例2 如图3,已知A.BCD的三个顶点A.、B、C的坐标分别是(-2,1)、(-1,3)、(3,4),试求顶点D的坐标.图3活动:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.这里给出了两种解法:解法一利用“两个向量相等,则它们的坐标相等”,解题过程中应用了方程思想;解法二利用向量加法的平行四边形法则求得向量的坐标,进而得到点D的坐标.解题过程中,关键是充分利用图形中各线段的位置关系(主要是平行关系),数形结合地思考,将顶点D的坐标表示为已知点的坐标.解:方法一:如图3,设顶点D的坐标为(x,y).=(-1-(-2),3-1)=(1,2),=(3-x,4-y).由=,得(1,2)=(3-x,4-y).顶点D的坐标为(2,2).方法二:如图3,由向量加法的平行四边形法则,可知=+=+=(-2-(-1),1-3)+(3-(-1),4-3)=(3,-1),而=+=(-1,3)+(3,-1)=(2,2),顶点D的坐标为(2,2).点评:本例的目的仍然是让学生熟悉平面向量的坐标运算.变式训练如图4,已知平面上三点的坐标分别为A.(-2,1),B(-1,3),C(3,4),求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.图4解:当平行四边形为A.BCD时,仿例2得:D1=(2,2);当平行四边形为A.CDB时,仿例2得:D2=(4,6);当平行四边形为DA.CB时,仿上得:D3=(-6,0).例3 已知A.(-1,-1),B(1,3),C(2,5),试判断A.、B、C三点之间的位置关系.活动:教师引导学生利用向量的共线来判断.首先要探究三个点组合成两个向量,然后根据两个向量共线的充要条件来判断这两个向量是否共线从而来判断这三点是否共线.教师引导学生进一步理解并熟练地运用向量共线的坐标形式来判断向量之间的关系.让学生通过观察图像领悟先猜后证的思维方式.解:在平面直角坐标系中作出A.、B、C三点,观察图形,我们猜想A.、B、C三点共线.下面给出证明.=(1-(-1),3-(-1)=(2,4),=(2-(-1),5-(-1)=(3,6),又26-34=0,且直线A.B、直线A.C有公共点A.,A.、B、C三点共线.点评:本例的解答给出了判断三点共线的一种常用方法,其实质是从同一点出发的两个向量共线,则这两个向量的三个顶点共线.这是从平面几何中判断三点共线的方法移植过来的.变式训练已知a.=(4,2),b=(6,y),且a.b,求y.解:ab,4y-26=0.y=3.例4 是坐标原点,=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A.、B、C三点共线?解:依题意,得=(4,5)-(k,12)=(4-k,-7),=(10,k)-(4,5)=(6,k-5).A.、B、C三点共线的充要条件是,共线,依向量共线的充要条件可得(4-k)(k-5)-6(-7)=0,解得k=-2或k=11,所以,当k=-2或k=11时,A.、B、C三点共线.思路2例1 A.BC中,已知点A.(3,7)、B(-2,5).若线段A.C、BC的中点都在坐标轴上,求点C的坐标.解:(1)若A.C的中点在y轴上,则BC的中点在x轴上,设点C的坐标为(x,y),由中点坐标公式,得=0,x=-3,y=-5,即C点坐标为(-3,-5).(2)若A.C的中点在x轴上,则BC的中点在y轴上,则同理可得C点坐标为(2,-7).综合(1)(2),知C点坐标为(-3,-5)或(2,-7).例2 点A.(1,2),B(4,5),O为坐标原点,=+t.若点P在第二象限,求实数t的取值范围.活动:教师引导学生利用向量的坐标运算以及向量的相等,把已知条件转化为含参数的方程(组)或不等式(组)再进行求解.教师以提问的方式来了解学生组织步骤的能力,或者让学生到黑板上去板书解题过程,并对思路清晰过程正确的同学进行表扬,同时也要对组织步骤不完全的同学给与提示和鼓励.教师要让学生明白“化归”思想的利用.不等式求变量取值范围的基本观点是,将已知条件转化为关于变量的不等式(组),那么变量的取值范围就是这个不等式(组)的解集.解:由已知=(4,5)-(1,2)=(3,3).=(1,2)+t(3,3)=(3t+1,3t+2).若点P在第二象限,则故t的取值范围是(-,-).点评:此题通过向量的坐标运算,将点P的坐标用t表示,由点P在第二象限可得到一个关于t的不等式组,这个不等式组的解集就是t的取值范围.变式训练已知=(cos,sin),=(1+sin,1+cos),其中0,求|的取值范围.解:=-=(1+sin,1+cos)-(cos,sin)=(1+sin-cos,1+cos-sin),|2=(1+sin-cos)2+(1+cos-sin)2=1+(sin-cos)2+1-(sin-cos)2=2+2(sin-cos)2=2+2(1-2sincos)=4-4sincos=4-2sin2.0,022.从而-1sin21.4-2sin22,6.故|的取值范围是,.例3 已知a=(3,4),b=(-1,4),求a+b,a-b，2a-3b的坐标.解:a+b=(3,4)+(-1,4)=(2,8),a-b=(3,4)-(-1,4)=(4,0),2a-3b=2(3,4)-3(-1,4)=(6,8)-(-3,12)=(9,-4)例4 已知点A.(1,0),B(0,2),C(-1,-2),求A.BCD的顶点D的坐标(如图5).图5解:设D点的坐标为(x,y),由右图所示,=,得(0,2)-(1,0)=(-1,-2)-(x,y),即(-1,2)=(-1-x,-2-y),所以即D点的坐标为(0,-4).变式训练(2007宁夏银川)已知A.(7,1),B(1,4),直线y=ax与线段A.B交于点C,且=2,则a等于( )A.2 B. C.1 D.解析:由=2,A.(7,1),B(1,4),设C(m,n),则由向量的坐标运算求得C(3,3),代入直线方程y=ax,求得A.=2.答案:A.知能训练课本本节练习16.课堂小结1.先由学生回顾本节都学习了哪些数学知识:平面向量的和、差、数乘的坐标运算,两个向量共线的坐标表示.2.教师与学生一起总结本节学习的数学方法,定义法、归纳、整理、概括的思想,强调在今后的学习中,要善于培养自己不断探索、善于发现、勇于创新的科学态度和求实开拓的精神,为将来的发展打下良好基础.作业课本习题24A.组5、6、7.设计感想1.本节课中向量的坐标表示及运算实际上是向量的代数运算.这对学生来说学习并不困难,可大胆让学生自己探究.本教案设计流程符合新课改精神.教师在引导学生探究时,始终抓住向量具有几何与代数的双重属性这一特征和向量具有数与形紧密结合的特点.让学生在了解向量知识网络结构基础上,进一步熟悉向量的坐标表示以及运算法则、运算律,能熟练向量代数化的重要作用和实际生活中的应用,并加强数学应用意识,提高分析问题、解决问题的能力.2.平面向量的坐标运算包括向量的代数运算与几何运算.相比较而言,学生对向量的代数运算要容易接受一些,但对向量的几何运算往往感到比较困难,无从下手.向量的几何运算主要包括向量加减法的几何运算,向量平行与垂直的充要条件及定比分点的向量式等.3.通过平面向量坐标的加、减代数运算,结合图形,不但可以建立向量的坐标与点的坐标之间的联系,而且教师可在这两题的基础上稍作推广,就可通过求向量的模而得到直角坐标系内的两点间的距离公式甚至可以推出中点坐标公式.它们在处理平面几何的有关问题时,往往有其独到之处,教师可让学有余力的学生课下继续探讨,以提高学生的思维发散能力.备课资料一、求点P分有向线段所成的比的几种求法(1)定义法:根据已知条件直接找到使=的实数的值.例1 已知点A.(-2,-3),点B(4,1),延长A.B到P,使|=3|,求点P的坐标.解：因为点在A.B的延长线上,P为的外分点,所以=,0,又根据|=3|,可知=-3,由分点坐标公式易得P点的坐标为(7,3).(2)公式法:依据定比分点坐标公式.x=,y=,结合已知条件求解.2.已知两点P1(3,2),P2 (-8,3),求点P(,y)分所成的比及y的值.解：由线段的定比分点坐标公式,得解得二、备用习题1.已知a=(3,-1),b=(-1,2),则-3a.-2b等于( )A.(7,1) B.(-7,-1) C.(-7,1) D.(7,-1)2.已知A.(1,1),B(-1,0),C(0,1),D(x,y),若和是相反向量,则D点的坐标是( )A.(-2,0) B.(2,2) C.(2,0) D.(-2,-2)3.若点A.(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使=的实数的值为( )A.1 B.-2 C.0 D.24.设a=(,sin),b=(cos,),且a.b,则的值是( )A.=2k+(kZ) B.=2k-(kZ)C.=k+(kZ) D.=k-(kZ)5.已知A.、B、C三点共线,且A.(3,-6),B(-5,2),若C点的横坐标为6,则C点的纵坐标为( )A.-2 B.9 C.-9 D.136.若A.(2,3),B(x,4),C(3,y),且=2,则x=_,y=_.7.已知ABCD中,=(3,7),=(-2,1),则的坐标(O为对角线的交点)为_.8.向量=(k,12),=(4,5),=(10,k),当k为何值时,A.、B、C三点共线?9.已知点A.(2,3),B(5,4),C(7,10),若=+(R),试问:当为何值时,点P在第一与第