高中数学第一章导数及其应用1.1.1变化率问题1.1.2导数的概念学案含解析.docx

11.11.1.2变化率问题导数的概念平均变化率假设下图是一座山的剖面示意图，建立如图所示的平面直角坐标系A是出发点，H是山顶爬山路线用函数yf(x)表示自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值yf(x)表示此时旅游者所在的高度设点A的坐标为(x1，y1)，点B的坐标为(x2，y2)问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量x，y分别是多少？提示：自变量x的改变量为xx2x1，函数值的改变量为yy2y1.问题2：能否根据y的大小判断山路的陡峭程度？提示：不能问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，可以近似地刻画问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山路越陡这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山路越陡；反之，山路越缓问题5：从A到B与从A到C，两者相同吗？提示：不相同1函数的平均变化率对于函数yf(x)，给定自变量的两个值x1和x2，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，我们把式子称为函数yf(x)从x1到x2的平均变化率习惯上用x表示x2x1，即xx2x1，可把x看作是相对于x1 的一个“增量”，可用x1x代替x2；类似地，yf(x2)f(x1)于是，平均变化率可表示为.2平均变化率的几何意义设A(x1，f(x1)，B(x2，f(x2)是曲线yf(x)上任意不同的两点，函数yf(x)的平均变化率为割线AB的斜率，如右图所示对x，y的理解(1)x，y是一个整体符号，而不是与x，y相乘(2)x1，x2是定义域内不同的两点，因此x0，但x可正也可负；yf(x2)f(x1)是xx2x1相应的改变量，y的值可正、可负，也可为零，因此平均变化率可正、可负，也可为零.导数的概念一质点的运动方程为s83t2，其中s表示位移，t表示时间问题1：试求质点在这段时间内的平均速度提示：63t.问题2：当t趋近于0时，问题1中的平均速度趋近于何值？如何理解这一速度？提示：当t趋近于0时，趋近于6.这时的平均速度即为t1时的瞬时速度1瞬时速度(1)物体在某一时刻的速度称为瞬时速度：若物体运动的路程与时间的关系式是sf(t)，当t趋近于0时，函数f(t)在t0到t0t之间的平均变化率趋近于常数，我们就把这个常数叫做物体在t0时刻的瞬时速度2导数的定义一般地，函数yf(x)在xx0处的瞬时变化率是li li ，我们称它为函数yf(x)在xx0处的导数，记作f(x0)或y|xx0，即f(x0)li li .导数概念的解读(1)导数是一个局部概念，它只与函数yf(x)在xx0处及其附近的函数值有关，与x无关(2)f(x0)是一个常数，即当x0时，存在一个常数与无限接近如果当x0时，li 不存在，则称函数f(x)在xx0处不可导求函数的平均变化率(1)已知函数yf(x)x21，则在x2，x0.1时，y的值为()A0.40B0.41C0.43 D0.44(2)已知函数f(x)x，分别计算f(x)在自变量x从1变到2和从3变到5时的平均变化率，并判断在哪个区间上函数值变化得较快(1)选Byf(2x)f(2)f(2.1)f(2)2.12220.41.(2)自变量x从1变到2时，函数f(x)的平均变化率为；自变量x从3变到5时，函数f(x)的平均变化率为.因为，所以函数f(x)x在自变量x从3变到5时函数值变化得较快求函数平均变化率的步骤(1)求自变量的改变量xx2x1；(2)求函数值的改变量yf(x2)f(x1)；(3)求平均变化率.分别计算下面三个图象表示的函数h(t)在区间上的平均变化率解：对于图，hh(3)h(0)10010，即平均变化率为.同理可以算得图、图中函数h(t)在区间上的平均变化率均为.求函数在某点处的导数(1)设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0x)f(x0)axb(x)2(a，b为常数)，则()Af(x)a Bf(x)bCf(x0)a Df(x0)b(2)求函数f(x)在x1处的导数(1)选Cf(x0)li li (abx)a.(2)由导数的定义知，函数在x1处的导数f(1)li ，而，又li ，所以f(1).利用定义求导数的三步曲由导数的定义知，求一个函数yf(x)在xx0处的导数的步骤如下：(1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0)li .简认为：一差，二比，三趋近求函数y 在x2处的导数解：y1，.f(2)li li 1.瞬时速度的应用若一物体的运动方程为s(路程单位：m，时间单位：s)求：(1)物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度；(2)物体在t1 s时的瞬时速度(1)因为s3522(3322)48，t2，所以物体在t3 s到t5 s这段时间内的平均速度为24(m/s)(2)因为s2932293(13)23(t)212t，所以3t12，则物体在t1 s时的瞬时速度为s(1)li li (3t12)12(m/s)求瞬时速度的步骤(1)求位移增量，ss(t0t)s(t0)；(2)求平均速度，；(3)取极限，li li ；(4)若极限存在，则t0时刻的瞬时速度为v .一质点按规律s(t)at21做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，若该质点在t2 s时的瞬时速度为8 m/s，求常数a的值解：因为ss(2t)s(2)a(2t)21a2214ata(t)2，所以4aat，故在t2 s时，瞬时速度为s(2)li 4a(m/s)由题意知，4a8，所以a2.已知f(x)在xx0处的导数为4，则li _.li li 2li 2f(x0)248.81本题分子中x的增量是2x，即(x02x)x02x，而分母为x，两者不是等量的，如果忽视该点，则易得出结论为4的错误答案2在导数的概念中，增量的形式是多种多样的，但无论是哪种形式，分子中自变量的增量与分母中的增量必须保持一致，常见的形式还有：li li f(x0)已知f(1)2，则li _.解析：li (2)li (2)(2)4.答案：41如果函数yaxb在区间上的平均变化率为3，则a的值为()A3B2C3 D2解析：选C根据平均变化率的定义，可知a3.2若f(x)在xx0处存在导数，则li ()A与x0，h都有关B仅与x0有关，而与h无关C仅与h有关，而与x0无关D以上答案都不对解析：选B由导数的定义知，函数在xx0处的导数只与x0有关3已知函数y2x21的图象上一点(1,1)及其邻近一点(1x,1y)，则等于_解析：42x.答案：42x4一个物体的运动方程为s1tt2(t0)，其中s的单位是米，t的单位是秒，那么该物体在3秒末的瞬时速度是_解析：t5，(t5)5，该物体在3秒末的瞬时速度是5米/秒答案：5米/秒5求yx25在x2处的导数解：y(2x)254x(x)2，4x，f(2)li li 40.一、选择题1在平均变化率的定义中，自变量的增量x满足()Ax0Bx0Cx0 Dx0解析：选D根据定义知x可正、可负，但不能为0.2设f(x)，则f(a)等于()A B.C D.解析：选C，f(a)li .3函数yx2在x0到x0x之间的平均变化率为k1，在x0x到x0之间的平均变化率为k2，则k1与k2的大小关系为()Ak1k2 Bk1k2Ck1k2 D不确定解析：选Dk12x0x；k22x0x.因为x可正也可负，所以k1与k2的大小关系不确定4一质点运动的方程为s53t2，若该质点在时间段内相应的平均速度为3t6，则该质点在t1时的瞬时速度是()A3 B3C6 D6解析：选D当t趋于0时，式子3t6趋于6.5设函数在x1处存在导数，则li 等于()Af(1) B3f(1)C.f(1) Df(3)解析：选Cli li f(1)二、填空题6在雨季潮汛期间，某水文观测员观察千岛湖水位的变化，在24 h内发现水位从102.7 m上涨到105.1 m，则水位涨幅的平均变化率是_m/h.解析：水位涨幅的平均变化率为0.1(m/h)答案：0.17已知曲线y1上两点A，B，当x1时，割线AB的斜率为_解析：x1,2x3，y，kAB.答案：8将半径为R的球加热，若半径从R1到Rm时球的体积膨胀率(体积的变化量与半径的变化量之比)为，则m的值为_解析：Vm313(m31)，即m2m17，解得m2或m3(舍去)答案：2三、解答题9已知函数f(x)138xx2，且f(x0)4，求x0的值解：f(x0)li li li li (82x0x)82x0，82x04，x03.10一做直线运动的物体，其位移s与时间t的关