2016届高三数学人教A版一轮复习基础巩固强化：第9章 第3节空间点、直线、平面之间的位置关系.doc

第九章第三节一、选择题1(文)已知E、F、G、H是空间内四个点，条件甲：E、F、G、H四点不共面，条件乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件答案A解析点E、F、G、H四点不共面可以推出直线EF和GH不相交；但由直线EF和GH不相交不一定能推出E、F、G、H四点不共面，例如：EF和GH平行，这也是直线EF和GH不相交的一种情况，但E、F、G、H四点共面故甲是乙成立的充分不必要条件(理)如图是正方体或四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的一个图是()答案D解析A中，PSQR；B中如图可知此四点共面；C中PSQR；D中RS在经过平面PQS内一点和平面PQS外一点的直线上，故选D2(文)(2014山西康杰中学期中)下列四个命题中错误的是()A若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面B若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线C若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线D两条异面直线不可能垂直于同一个平面答案C解析过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确(理)(2014陕西咸阳范公中学摸底)下列命题中正确的个数是()若直线l上有无数个点不在平面内，则l；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行；如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行；若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A0B1C2D3答案B解析“若直线l上有无数个点不在平面内，则l”是错误的，因为直线l可与平面相交“若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行”是错误的，因为直线l可与平面内的直线成异面直线“如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行”是错误的，因为另一条直线可能在平面内“若直线l与平面平行，则l与平面内的任一条直线都没有公共点”是正确的，因为直线l与平面平行，则直线l与平面没有公共点综上可知应选B3(文)若直线l不平行于平面，且l，则()A内的所有直线与l异面B内不存在与l平行的直线C内存在唯一的直线与l平行D内的直线与l都相交答案B解析由题意知直线l与平面相交，不妨设直线lM，对A，在内过M点的直线与l不异面，A错误；对B，假设存在与l平行的直线m，则由ml得l，这与lM矛盾，故B正确，C错误；对D，内存在与l异面的直线，故D错误综上知选B(理)(2014汉沽一中检测)已知平面和不重合的两条直线m、n，下列选项正确的是()A如果m，n，m、n是异面直线，那么nB如果m，n与相交，那么m、n是异面直线C如果m，n，m、n共面，那么mnD如果m，nm，那么n答案C解析如图(1)可知A错；如图(2)可知B错；如图(3)，m，n是内的任意直线，都有nm，故D错n，n与无公共点，m，n与m无公共点，又m、n共面，mn，故选C4(2013广东)设l为直线，是两个不同的平面下列命题中正确的是()A若l，l，则B若l，l，则C若l，l，则D若，l，则l答案B解析画出一个长方体ABCDA1B1C1D1.对于A，C1D1平面ABB1A1，C1D1平面ABCD，但平面ABB1A1与平面ABCD相交；对于C，BB1平面ABCD，BB1平面ADD1A1，但平面ABCD与平面ADD1A1相交；对于D，平面ABB1A1平面ABCD，CD平面ABB1A1，但CD平面ABCD5(文)(2015衡水调研)如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是()AMN与CC1垂直BMN与AC垂直CMN与BD平行DMN与A1B1平行答案D解析由于C1D1与A1B1平行，MN与C1D1是异面直线，所以MN与A1B1是异面直线，故选项D错误(理)(2013南昌第一次模拟)设a，b是夹角为30的异面直线，则满足条件“a，b，且”的平面，()A不存在B有且只有一对C有且只有两对D有无数对答案D解析过直线a的平面有无数个当平面与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面；当平面与b相交时，过交点作平面的的垂线与b确定的平面，平面有无数个，满足条件的平面、有无数对，故选D6(2014广东执信中学期中)如图所示，正方体ABCDA1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持APBD1，则动点P的轨迹是()A线段B1CB线段BC1CBB1的中点与CC1中点连成的线段DBC中点与B1C1中点连成的线段答案A解析如图所示，连接AB1，B1C，AC，由于四边形ABCD为正方形，所以ACBD因为DD1平面ABCD，AC平面ABCD，所以ACDD1.因为BDDD1D，所以AC平面BDD1.因为BD1平面BDD1，所以BD1AC，同理可证BD1AB1.因为AB1ACA，所以BD1平面AB1C因为B1C平面AB1C，所以BD1B1C过点A有且只有一个平面与BD1垂直，且过点A与BD1垂直的直线都在此平面内，故AP平面AB1C，而平面AB1C平面BCC1B1B1C，故点P在侧面BCC1B1内的轨迹为线段B1C，故选A二、填空题7在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则使直线GH、MN是异面直线的图形有_(填上所有正确答案的序号)答案解析图中，直线GHMN；图中，G、H、N三点在三棱柱的侧面上，MG与这个侧面相交于G，M平面GHN，因此直线GH与MN异面；图中，连接MG，GMHN，因此GH与MN共面；图中，G、M、N共面，但H平面GMN，因此GH与MN异面所以图、中GH与MN异面8如图，直三棱柱ABCA1B1C1中，AB1，BC2，AC，AA13，M为线段BB1上的一动点，则当AMMC1最小时，AMC1的面积为_答案解析将三棱柱的侧面A1ABB1和B1BCC1以BB1为折痕展平到一个平面上，在平面内AC1与BB1相交，则交点即为M点，易求BM1，AM，MC12，又在棱柱中，AC1，cosAMC1，AMC1120，SAMC1AMMC1sinAMC12.9(文)如图所示，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是_答案90解析取BC的中点N，连接AN，则AN平面BCC1B1，BM平面BCC1B1，ANBM，又在正方形BCC1B1中，M、N分别为CC1与BC的中点，B1NBM，又B1NANN，BM平面AB1N，BMAB1，AB1与BM所成的角是90.(理)在三棱锥PABC中，PA底面ABC，ACBC，PAACBC，则直线PC与AB所成角的大小是_答案60解析分别取PA、AC、CB的中点F、D、E连接FD、DE、EF、AE，则FDE是直线PC与AB所成角或其补角设PAACBC2a，在FDE中，易求得FDa，DEa，FEa，根据余弦定理，得cosFDE，所以FDE120.所以PC与AB所成角的大小是60.点评化异为共的思想在立体几何解题过程中，经常运用化异为共的思想解决问题(1)与异面直线有关的命题真假判断(2014浙江温州八校联考)已知m，n为异面直线，m平面，n平面，直线l满足lm，ln，l，l，则()A且lB且lC与相交，且交线垂直于lD与相交，且交线平行于l答案D解析解法1：平移直线m使之与n相交于O，这两条直线确定的平面为，m平面，n平面，则平面与平面相交设交线为a，则a，又lm，ln，则l，la.解法2：若，m，n，mn，这与m、n异面矛盾，故与相交，设a，则am，an，在m上取点O，过O作nn，设m与n确定的平面为，am，an，a，ln，ln，又lm，l，al.(2)异面直线的判定方法异面直线的判定主要用定理法、反证法1定理法：过平面内一点与平面外一点的直线与平面内不经过该点的直线为异面直线(此结论可作为定理使用)2反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两直线平行或相交，由假设的条件出发，经过严密的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面一个正方体纸盒展开后如图，在原正方体纸盒中有下列结论：ABEF；AB与CM成60的角；EF与MN是异面直线；MNCD其中正确的是()ABCD答案D解析如图，画出折叠后的正方体后，由正方体的性质知正确，故选D如图是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2()A互相平行B异面且互相垂直C异面且夹角为D相交且夹角为答案D解析将侧面展开图还原成正方体如图所示，则B，C两点重合故l1与l2相交，连接AD，ABD为正三角形，所以l1与l2的夹角为.故选D求异面直线所成角的方法求异面直线所成的角主要用平移法，其一般步骤为(1)平移：选取适当的点，平移异面直线的一条(或两条)成相交直线(2)证明：证明所作的角是异面直线所成的角(3)求解：找出含有此角的三角形，并解之(4)取舍：根据异面直线所成角的范围确定大小(一)在已知平面内平移直线构造可解的三角形，或根据实际情况构造辅助平面，在辅助平面内平移直线构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之一；这种方法常常是取两条异面直线中的一条和另一条上一点确定一个平面，在这个平面内过这个点作这条直线的平行线，或在两条异面直线上各选一点连线，构造两个辅助面过渡如图所示，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，求异面直线AM和CN所成角的余弦值解析在平面ABB1A1内作ENAM交AB于E，则EN与CN所成的锐角(或直角)即为AM和CN所成的角设正方体棱长为a.在CNE中，可求得CNa，NEa，CEa，由余弦定理得，cosCNE.即异面直角AM与CN所成角的余弦值为.(二)利用平行平面平移直线构成可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之二；这种方法常见于两条异面直线分别在两个互相平行的平面内，可利用面面平行的性质，将一条直线平移到另一条所在的平面内如图所示，正方体AC1中，B1E1D1F1，求BE1与DF1所成角的余弦值解析平面ABB1A1平面DCC1D1，在A1B1上取H，使A1H，即可得：AHDF1.引NHBE1，则锐角AHN就是DF1与BE1所成的角设正方体棱长为a，在AHN中，易求得：AN，AHNHBE1a.由余弦定理得，cosAHN.即BE1与DF1所成的角的余弦值为.(三)整体平移几何体，构造可解的三角形，是求异面直线所成角的途径之三这种方法常常是将原有几何体上再拼接上同样的一个几何体(相当于将原几何体作了一个平移)创造平移直线的条件如下图长方体AC1中，AB12，BC3，AA14，N在A1B1上，且B1N4.求BD1与C1N所成角的余弦值解析如图所示，将长方体AC1平移到BCFEB1C1F1E1的位置，则C1EBD1，C1E与C1N所成的锐角(或直角)就是BD1与C1N所成的角在NC1E中，根据已知条件可求B1N4，C1N5，C1E13，EN4.由余弦定理，得cosNC1E.BD1与C1N所成角的余弦值为.三、解答题10(文)已知在正方体ABCDABCD中，M、N分别是AD、AB的中点，在该正方体中是否存在过顶点且与平面AMN平行的平面？若存在，试作出该平面，并证明你的结论；若不存在，请说明理由分析假设存在经过B点与平面AMN平行的平面，则平面ABCD与这两平行平面的交线应平行，由于M、N分别为AD、AB的中点，取CD的中点F，BC的中点E，则MNEF，可证明平面BDFE平面AMN，过其他点的截面同理可分析找出解析存在与平面AMN平行的平面有以下三种情况(E、F分别为所在棱的中点)：下面以图(1)为例进行证明四边形ABEM是平行四边形，BEAM，又BE平面BDE，AM平面BDE，AM平面BDFE.MN是ABD的中位线，MNBD，四边形BDDB是平行四边形，BDBD，MNBD，又BD平面BDE，MN平面BDE，MN平面BDFE，又AM平面AMN，MN平面AMN，且AMMNM，由平面与平面平行的判定定理可得，平面AMN平面BDFE.(理)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAD1，AA12，M是棱CC1的中点(1)求异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)证明：平面ABM平面A1B1M.解析方法1：(1)如图，因为C1D1B1A1，所以MA1B1为异面直线A1M与C1D1所成的角因为A1B1平面BCC1B1，所以A1B1M90，而A1B11，B1M，故tanMA1B1.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值为.(2)证明：由A1B1平面BCC1B1，BM平面BCC1B1，得A1B1BM由(1)知，B1M，又BM，B1B2，所以B1M2BM2B1B2，从而BMB1M又A1B1B1MB1，BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此平面ABM平面A1B1M.方法2：以A为原点，的方向分别作为x、y、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)，C1(1,1,2)，D1(0,1,2)，M(1,1,1)(1)(1,1，1)，(1,0,0)，cos，.设异面直线A1M与C1D1所成角为，则cos，tan.即异面直线A1M和C1D1所成的角的正切值是.(2)证明：(1,0,0)，(0,1,1)，(0,1，1)，0，0，即BMA1B1，BMB1M，又B1MA1B1B1，BM平面A1B1M，而BM平面ABM，因此ABM平面A1B1M.一、选择题11(2014东北三省联考)直线m，n均不在平面，内，给出下列命题：若mn，n，则m；若m，则m；若mn，n，则m；若m，则m.其中正确命题的个数是()A1B2C3D4答案D解析过n作平面a，n，na，又mn，ma，m，m，正确；过m作平面1b，m，mb，b，过b作平面2c，则bc，mc，m，m，正确；在直线n上取点P，过点P作mm，nm，nm，设m与n确定的平面为，n，n与相交，故平面与相交，设交线为d，则nd，md，md，m平面，m，正确；设与的交线为l，在内作直线gl，则g，m，mg，m，m，故正确12(文) (2014洛阳检测)如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E, F分别是点A在PB, PC上的射影，给出下列结论：AFPB；EFPB；AFBC；AEBC正确命题的个数为()A1B2C3D4答案C解析AB是圆O的直径，ACBC，又PA面圆O，故PABC，且PAACA，BC面PAC，BCAF，又AFPC，且PCBCC，AF面PBC，故AFBC，AFPB，又AFPB，且AFAEA，所以PB面AEF，从而EFPB，故正确，若AEBC，则可证AE面PBC，则AEACAF，这是不可能的，选C(理)(2014福建质量检查)如图，AB是O的直径，VA垂直O所在的平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，M、N分别为VA、VC的中点，则下列结论正确的是()AMNABBMN与BC所成的角为45COC平面VACD平面VAC平面VBC答案D解析依题意，MNAC，又直线AC与AB相交，因此MN与AB不平行；注意到ACBC，因此MN与BC所成的角是90；注意到直线OC与AC不垂直，因此OC与平面VAC不垂直；由于BCAC，BCVA，因此BC平面VAC又BC平面VBC，所以平面VBC平面VAC综上所述可知选D13已知直线m、n与平面、，下列命题中正确的是()Am，则mB平面内不共线三点到平面的距离相等，则Cm，nm且，则nDm，n且，则mn答案D解析当m时，也可满足m，故错；当l，三点A、B、C位于l的两侧，ABl，直线AB到l的距离与点C到l的距离相等时，满足A、B、C三点到平面的距离相等，故错；由面面垂直的性质知，C错，因为只有在满足n内时，才能由nm得出n的结论；mn，故D正确14(文)设直线m与平面相交但不垂直，则下列说法中正确的是()A在平面内有且只有一条直线与直线m垂直B过直线m有且只有一个平面与平面垂直C与直线m垂直的直线不可能与平面平行D与直线m平行的平面不可能与平面垂直答案B解析如图，m是的斜线，PA，l，lAB，则lm，内所有与l平行的直线都垂直于m，故A错；即可知过m有且仅有一个平面PAB与垂直，假设有两个平面都与垂直，则这两个平面的交线m应与垂直，与条件矛盾，B正确；又l，ll，l，lm，lm，C错；又在平面内取不在直线AB上的一点D，过D可作平面与平面PAB平行，m，平面PAB，平面.(理)(2013内蒙古赤峰一模)ABCD为空间四边形，ABCD，ADBC，ABAD，M，N分别是对角线AC与BD的中点，则MN与()AAC，BD之一垂直BAC，BD都垂直CAC，BD都不垂直DAC，BD不一定垂直答案B解析ADBC，ABCD，BDBD，ABDCDB，ANCN.在等腰ANC中，由M为AC的中点知MNAC同理可得MNBD二、填空题15(2013武汉武昌区联考)已知直线l平面，直线m平面，有下列命题：lm；lm；lm；lm.其中正确命题的序号是_答案解析正确，l，l，又m，lm；错误，l，m还可以垂直，斜交或异面；正确，l，lm，m，又m，；错误，与可能相交16(2014保定高阳中学月考)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别是AC1，A1B1的中点，点P在正方体的表面上运动，则总能使MP与BN垂直的点P所构成的轨迹的周长等于_答案2解析如图所示，E，F，E1，F1分别为AA1，DD1，BB1，CC1的四等分点，可证BN平面EFF1E1.又M为AC1的中点，所以M在平面EFF1E1上，故点P所构成的轨迹是平行四边形FEE1F1，周长等于2EF2EE12.三、解答题17(2013昆明调研)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD为平行四边形，且BC平面PAB，PAAB，M为PB