高中数学第三章三角恒等变形章末复习课学案北师大版必修.docx

第三章 三角恒等变形章末复习课网络构建核心归纳1两角和与差的三角函数公式的理解(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”“符号同”指的是前面是两角和，则后面中间为“”号；前面是两角差，则后面中间为“”号(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令所得特别地，对于余弦：cos 2cos2sin22cos2112sin2，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现2重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形要点一三角函数求值问题三角函数求值主要有三种类型，即：(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角当然在这个过程中要注意角的范围(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围【例1】已知tan，且，的值解2cos .tan，tan 3，cos ，2cos 2.【训练1】已知0，0，且3sin sin(2)，4 tan1tan2，求的值解3sin sin(2)，即3sin()sin()，整理得2sin()cos 4cos()sin .即tan()2tan .又4tan1tan2，tan ，tan()2tan 21.，.要点二三角函数的化简与证明由于三角函数式中包含着各种不同的角和不同的函数种类以及不同的式子结构，所以在三角函数的化简与证明中，应充分利用所学的三角函数的和、差、倍、半角等公式，首先从角入手，找出待化简(证明)的式子的特点，然后选择适当的公式“化异为同”，实现三角函数的化简与证明化简三角函数式的要求：1能求出值的应求出值；2使三角函数的种数尽量少；3使项数尽量少；4尽量使分母不含三角函数；5尽量使被开方数不含三角函数；6次数尽量低【例2】求证：tanxtan.证明左边tanxtan右边tanxtan.【训练2】求证：32sin 10.证明左边32sin 10右边原式成立要点三整体换元的思想在三角恒等变形中的应用在三角恒等变形中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来【例3】求函数f(x)sin xcos xsin xcos x，xR的最值及取到最值时x的值解设sin xcos xt，则tsin xcos xsin，t，sin xcos x.f(x)sin xcos xsin xcos xg(t)t(t1)21，t，当t1，即sin xcos x1时，f(x)min1.此时，由sin，解得x2k或x2k，kZ.当t，即sin xcos x时，f(x)max.此时，由sin，sin1.解得x2k，kZ.综上，当x2k或x2k，kZ时，f(x)取得最小值，f(x)min1；当x2k，kZ时，f(x)取得最大值，f(x)max.【训练3】求函数ysin xsin 2xcos x(xR)的值域解令sin xcos xt，则由tsin知t，又sin 2x1(sin xcos x)21t2.y(sin xcos x)sin 2xt1t22.当t时，ymax；当t时，ymin1.函数的值域为.要点四构建方程(组)的思想在三角恒等变形中的应用方程(组)思想是中学重要的思想方法之一借助三角函数公式构建关于某些量的方程(组)来求解，也是三角求值中常用的方法之一【例4】已知锐角三角形ABC中，sin(AB)，sin(AB).(1)求证：tan A2tan B;(2)设AB3，求AB边上的高(1)证明sin(AB)，sin(AB)，2.tan A2tan B.(2)解AB，sin(AB)，tan(AB)，即.将tan A2tan B代入上式并整理得2tan2B4tan B10，解得tan B，舍去负值，得tan B.tan A2tan B2.设AB边上的高为CD，则ABADDB，由AB3，得CD2.AB边上的高等于2.【训练4】已知sin()，sin()，则等于()A. B. C.D解析由已知sin()，sin()，得sin cos cos sin ，sin cos cos sin ，两式分别相加减得sin cos ，cos sin .答案D基础过关1cos 2 014cos 1 586sin 2 014sin 1 586等于()A0 B. C.D1解析原式cos(2 0141 586)cos 3 6001.答案D2已知是锐角，那么下列各值中，sin cos 能取得的值是()A. B. C. D.解析0，又sin cos sin，所以sin1，所以1sin cos .答案A3函数ysin 2xcos 2x的最小正周期为()A. B. C D2解析y22sin，T，故选C.答案C4设tan()，tan()，则tan()的值是_解析()()，tan().答案5在ABC中，tan Atan Btan C3，tan2Btan Atan C，则B_.解析tan Btan(AC)，所以tan3B3，所以tan B，又因为B为三角形的内角，所以B.答案6已知，sin .(1)求sin的值；(2)求cos的值解(1)因为，sin ，所以cos .故sinsin cos cos sin .(2)由(1)知sin 22sin cos 2，cos 212sin2122，所以coscos cos 2sin sin 2.7已知函数f(x)sin2xcos2x2sin xcos x(xR)(1)求f的值；(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间解(1)f(x)sin2xcos2x2sin xcos xcos 2xsin 2x2sin，则f2sin2.(2)f(x)的最小正周期为.由正弦函数的性质得令2k2x2k，kZ，得kxk，kZ.所以函数f(x)的单调递增区间为，kZ.能力提升8函数ysin xcos xcos2x的图像的一个对称中心为()A. B.C. D.解析ysin 2x(1cos 2x)sin，令2xk，(kZ)x(kZ)，当k2时，x，函数图像的一个对称中心为.答案B9设向量a(cos 55，sin 55)，b(cos 25，sin 25)，若t为实数，则|atb|的最小值是()A.B1 C.D1解析|atb|，|atb|的最小值为.答案A10若方程sin xcos xa在0,2上恰有两个不同的实数解，则a的取值范围为_解析a2(sin xcos x)2sin(x)，x0,2，x，2sin(x)2,2，由于sin xcos xa有两个不同实数解，a(2,1)(1,2)答案(2,1)(1,2)11已知角，的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，(0，)，角的终边与单位圆点的横坐标是，角的终边与单位圆交点的纵坐标是，则cos _.解析依题设及三角函数的定义得：cos ，sin().又0，sin ，cos().cos cos()cos()cos sin()sin .答案12已知向量a(cos x，sin x)，b(3，)，x0，(1)若ab，求x的值；(2)记f(x)ab，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值解(1)ab，3sin xcos x，3sin xcos x0，即sin0.0x，x，x，x.(2)f(x)ab3cos xsin x2sin.x0，x，sin1，2f(x)3，当x，即x0时，f(x)取得最大值3；当x，即x时，f(x)取得最小值2.13(选做题)已知函数f(x)2sin2cos 2x.(