收入分配问题的数模论.docx

年收入分配问题姓名年级专业学号联系电话性别摘 要本文针对个人所得税分配方案问题，建立了相应的数学模型，分别制定出了使年度纳税总额最少的年收入分配方案、年度收入最优分配方案表和一个合理的购房贷款方案。在年收入一定的情况下，合理分配每月工资与年终一次性奖金，从而使个人纳税符合国家规定的纳税要求，又满足纳税总额最小的目的。对于问题一，根据题目给出的每月工资应纳税计算方案以及一次性奖金纳税计算方案，得到了一个年纳税金最小的优化模型即模型一，用Lingo编程，求得年收入为6万元的职员的年收入最优分配方案为月收入：5000元，年终奖金：0元，最低年纳税总额：540元；或者月收入：3500元，年终奖金：18000元，最低年纳税总额：540元；由问题二的答案可知另一种分配方案为：月收入：4987元，年终奖金：156元，最低年纳税总额：540元。由此可知，分配方案有很多种，只要保证最低的年纳税总额为540元就够了。对于问题二，根据问题一可知，纳税总额最低就是月应纳税和年终一次性奖金纳税之和最少。用C语言编程，即得到模型二（详细C语言编程见附录二），得出结果从60000到100000步长为5000的M各值对应的最优解。（答案见模型建立二）对于问题三，通过对每月等额本息还款法和每月等额本金还款法进行比较，最终得出每月等额本息还款法比较适合老王的情况。因为贷款方式有个人住房银行抵押贷款和个人住房公积金贷款两种，通过对两种贷款方式的年利率进行对比，可以发现个人公住房积金贷款的年利率要小很多，在还款年限相同的条件下，贷款人要偿还的利息就相对少很多。但是由于住房公积金管理机构发放的住房抵押贷款的对象是缴存住房公积金的在职职工和汇缴单位的离退休职工，只有符合条件的人才能申请住房公积金贷款。假设该单位职工老王不符合申请住房公积金贷款的条件，那么他只能选择个人住房银行抵押贷款。用C语言编程，即得到模型三。合理的贷款方案为：还款年数为20年，月还款数为：3405.3元，还款利息及缴税总额：1608948.216308元，月工资为：5167元，年终奖：17996元 关键词： 数学模型 合理分配年收入 年纳税额最小 合理的贷款 还贷利息及缴税总额最少 Lingo编程 C语言编程一、问题的提出与分析1 背景资料 个人所得税是调整征税机关与自然人之间在个人所得税的征纳与管理过程中所发生的社会关系的法律规范的总称。凡在中国境内有住所，或者无住所而在中国境内居住满一年的个人，从中国境内和境外取得所得的，以及在中国境内无住所又不居住或者无住所而在境内居住不满一年的个人，从中国境内取得所得的，均为个人所得税的纳税人。2011年6月底，十一届全国人大常委会通过了修改个人所得税法的决定，同年9月1日开始实施，个税免征额调至3500元。年终一次性奖金是指全年一次性奖金是指行政机关、企事业单位等扣缴义务人根据其全年经济效益和对雇员全年工作业绩的综合考核情况，向雇员发放的一次性奖金。上述一次性奖金也包括年终加薪、实行年薪制和绩效工资办法的单位根据考核情况兑现的年薪和绩效工资。还款方式分为等额本息还款方式和等额本金还款方式两种。等额本息还款法也叫月均法，本金归还速度较慢，还款压力较轻，代价是支付的总利息较多，与等额本金还款方式对比，总利息差额在中短期（1-5年）的期限不会十分明显，在长期限内（20-30年），总利息差额才明显。无论等额本金还款是等额本息还款，每期的利息计算方法是一致的，等于剩余本金乘以月利率。等额本金还款方式是将本金每月等额偿还，然后根据剩余本金计算利息，所以初期由于本金较多，从而使还款额在初期较多，而在随后的时间每月递减，这种方式的好处是，由于在初期偿还较大款项而减少利息的支出，比较适合还款能力较强的家庭。选择什么还款方式，要看个人还款能力，不可贪图支付总利息少就选等本金还款法，实际操作中，不少人还是选择等额本息还款法。（1）个人所得税计算方法：缴税=全月应纳税所得额*税率-速算扣除数 全月应纳税所得额=（应发工资-五险一金）-3500实发工资=应发工资-六金-缴税2015年个人所得税级数应纳税所得额(含税)应纳税所得额(不含税)税率(%)速算扣除数1不超过1500元的不超过1455元的302超过1500元至4,500元的部分超过1455元至4,155元的部分101053超过4,500元至9,000元的部分超过4,155元至7,755元的部分205554超过9,000元至35,000元的部分超过7,755元至27,255元的部分251,0055超过35,000元至55,000元的部分超过27,255元至41,255元的部分302,7756超过55,000元至80,000元的部分超过41,255元至57,505元的部分355,5057超过80,000元的部分超过57,505的部分4513,505（2）年终一次性奖金纳税计算方法：a如果雇员当月工资薪金所得高于（或等于）税法规定的费用扣除额的，适用公式为：应纳税额=雇员当月取得全年一次性奖金适用税率-速算扣除数b如果雇员当月工资薪金所得低于税法规定的费用扣除额的，适用公式为：应纳税额=(雇员当月取得全年一次性奖金-雇员当月工资薪金所得与费用扣除额的差额)适用税率-速算扣除数例：小张2013年2月取得一次性奖金12000元，其当月工资为3500元。小张取得该奖金应缴纳的个人所得税是多少？如果其当月工资为2000元，小张取得该奖金应缴纳的个人所得税是多少？（1）、若小张当月工资为3500元，其取得全年一次性奖金应纳个人所得税计算如下：1、选取税率1200012=1000，适用税率为3%，速算扣除数为0元。2、应纳税额=120003%0=360元（2）、若小张当月工资为2000元（低于扣除额3500），其取得全年一次性奖金应纳个人所得税计算如下：1、选取税率12000（35002000）12=875元，适用税率为3%，速算扣除数为0元。2、应纳税额=12000（35002000）3%0=315元（3）个人住房商业贷款利率：六个月以内(含6个月)贷款 5.60%六个月至一年(含1年)贷款 6.00%一至三年(含3年)贷款 6.15%三至五年(含5年)贷款 6.40%五年以上贷款 6.55% 个人住房商业贷款利率(万元)一至三十年月均还款金额表贷款期限（年）年利率（%）还款总额利息负担总和月均还款额15.3510535535一次还本付息25.7510609.93609.93442.0835.7510911.16911.16303.0945.7511217.881217.88233.7155.7511530.061530.06192.1765.911898.521898.52165.2675.912230.962230.96145.6185.912569.082569.08130.9395.912912.872912.87119.56105.913262.283262.28110.52115.913617.283617.28103.16125.913977.843977.8497.07135.914343.94343.991.95145.914715.424715.4287.59155.915092.355092.3583.85165.915474.635474.6380.6175.915862.225862.2277.76185.916255.056255.0575.25195.916653.056653.0573.04205.917056.187056.1871.07215.917464.347464.3469.3225.917877.497877.4967.72235.918295.548295.5466.29245.918718.438718.4364.99255.919146.079146.0763.82265.919578.49578.462.75275.920015.3310015.3361.78285.920456.7810456.7860.88295.920902.6710902.6760.07305.921352.9111352.9159.312 所提问题 1. 假设公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额，某单位职员小李年收入为6万元，请为其制定合适的年收入分配方案。2. 请替该单位制定一张年度收入合理分配方案表，职员年收入从6万元以5000元为间隔到10万元。3. 假设该单位职员老王年收入为8万元，现打算贷款购买住房。如果新房的售价为80万元，请替老王制定一个合理的贷款方案，包括分几年还清、每月还款额和全年收入分配方案。3 问题分析 （1）针对问题1：首先，该职员年收入为6 万元（公司允许其自行决定每个月收入和年终一次性奖金的分配数额），其有两种收入：一是每个月的固定工资；二是年终一次性奖金；其次，须纳的税有两种，要使其年度纳税总额最少，就是两种税收之和最小；最后，根据问题中所给两种具体纳税方案进行优化，(2）针对问题2：公司职员年度收入最优方案即纳税最少。根据问题1 可知，纳税总额最低就是月应纳税和年终一次性奖金纳税之和最少，以得到年收入从6 万元以5000元为间隔到10万元的最优分配方案表。(3)针对问题3：在个人收入时，要尽可能使个人所得税最少，同时又要使所缴纳的利息最少，对于贷款来说银行的贷款多用一天，就要多付一天的利息，贷款的金额越大，支付给银行的利息也就越多。银行利息的计算公式是：利息资金额利率占用时间。因此，利息的多少，在利率不变的情况下，决定因素只能是资金的实际占用时间和占用金额的大小，而不是采用哪种还款方式。在本题中，我们选用等额本息款。这样的话，上述多目标规划问题就变成了单目标规划问题。即把个人收入作为一个约束条件，把还贷利息及缴税总额作为目标函数值，并且假设他不符合申请公积金贷款要求，从而得到住房贷款的一个合理的贷款方案。基本假设：1.2（1）每月的工薪收入额相等；（2）公司允许其自行决定每月收入和年终一次性奖金的分配数额；（3）年收入一定，且年收入仅分配为：每月的月收入和年终奖收入。3. （1）假设老王不满足申请公积金贷款买房，只能选择个人住房银行抵押贷款；（2）贷款期限以年为单位；（3）假设老王在还款期间的月基本费用为月工资的30%，且无其他支出，并保持不变; （4）假设老王还款期间月工资不变，贷款利率不变，个人所得税政策不变; （5）假设新房面积小于90平米，首付为售价的20%即16万，且老王能承担得起。三、符号说明模型一m月纳税额n年终奖纳税额x月收入y年终奖模型二、三M年收入x月工资-3500y年终奖z总纳税额f1月工资所纳税额f2年终奖所纳税额a 月还款总额t月基本工资y2 年终奖（不含税）n还款年数Y还贷利息及缴税总额四、模型的建立与求解1. 目标函数：minz=m+n约束条件：M=x*12+y;(x,y0)根据题目有，月工资部分的所需上交的税额m与员工月工资收入x的关系如下：由 “全年一次性奖金等计算征收个人所得税方法”得，年终奖部分所需上交的税额n,y为年终奖收入。有两种情况：当x3500时 由模型 minz=m+n及其约束条件通过LINGO（程序见附录程序一）求解得，年收入为6万元最优分配方案为： 月收入：5000 年终一次性奖金：0 全年纳税总额： 540以上是用LINGO求出的一组最优解，根据对问题二的求解可以看出最优解有多组。2.问题二的数学表达式参照问题一：根据问题，应用C语言编程（程序见附录程序二），加以适当的改进，输入M分别为：60000和100000，结果产生从60000到100000步长为5000的M各值对应的最优解（见下表）。由表中的数据，我们可以直观的看出不同年收入的最佳工资与年终奖金的分配以及全年的最低纳税额，帮助不同阶薪的员工在年收入一定的情况下合理分配每月工资与年终一次性奖金，从而使个人纳税符合国家规定的纳税要求，又满足纳税总额最小的目的。年收入60000月工资4987年税收540年终奖156年收入65000月工资4985年税收690年终奖5180年收入70000月工资4985年税收840年终奖10180年收入75000月工资4985年税收990年终奖15180年收入80000月工资5167年税收1280.28年终奖17996年收入85000月工资5584年税收1780.56年终奖17992年收入90000月工资6000年税收2280年终奖18000年收入95000月工资6417年税收2780.28年终奖17996年收入100000月工资6834年税收328056年终奖179923. 假设老王不符合公积金贷款的条件，所以只考虑银行抵押贷款。由本题要求，把还贷利息及缴税总额作为目标函数值，是其值最小，即可达到最优，建立以下模型 min Y= W + n*z M=12*t+y W=A(1+r)n-A s.t z=12*f1+f2t=a+f1+0.3*tn=ln(12*a+y)/(12*a+y-A*r)/ln(1+r)假设除掉生活费之后，剩余的收入全部用来偿还银行的钱，则此时还款年数最短为：n=800000x(1-20%)/80000x(1-30%) 11.4，因为n5,所以贷款年限必定在5年以上，则r=6.55%因为首付为20%，所以向银行的贷款金额为800000（1-20%）=640000，n年后仍欠银行的钱数为：n=ln(12*a+y)/(12*a+y-A*r)/ln(1+r)利用C语言编程可以在任意给定的M和A的值，便可输出最小的偿还银行利息与上缴的税额的总值Y和最佳的月工资t，即可以得到合理的贷款方案。通过C语言编程（程序见附录程序三），本题给定M=80000,A=640000可得到满足条件的最优解为:还款年数n=20每月还款额a=3405.3还贷利息及缴税总额Y=1608948.216308月基本工资t=5167年终一次性奖y=17996五、模型分析与评价优点：线性规划的数学方法能够合理制定年收入分配方案和贷款方案，使得个人所得税最少，还贷利息最低及缴税总额最少。并且方法简单易于操作，可行性强。 缺点：大部分模型都采用的是C语言编程，且在问题三上面没有考虑公积金贷款的方案。6、 模型的应用与推广用理财的思路去考虑最为合理的收入使用分配应该是非常有必要的。尤其对于那些工作比较稳定，但收入平平的工薪阶层房贷者而言，过多的还款压力很可能使其不堪重负，沦为“房奴”一族。在本模型中充分考虑了该问题，将月供还贷压力降低到最低，同时考虑也考虑了工薪阶层房贷者的生活压力及生活开支。参考文献：（1）张建勋，纪纲，C程序设计实用教程，中国铁道出版社，2009。（2）姜启源，谢金星，叶俊，数学模型（第三版），高等教育出版社，203-222，2003.8。（3）百度百科 个人所得税/v215347.htm（4）百度百科 年终一次性奖金/07/69/c11a1897/page.htm（5）百度百科 还款方式/z/q570403038.htm（6）百度百科 个人住房商业贷款利率/ll/dkll.aspx附录程序一model:min=12*m+n;12*x+y=60000;m=if(x#le#3500,0,if(x-3500)#le#1500,0.03*(x-3500),if(x-3500)#le#4500,0.1*(x-3500)-105,if(x-3500)#le#9000,0.2*(x-3500)-555,if(x-3500)#le#35000,0.25*(x-3500)-1005,if(x-3500)#le#55000,0.3*(x-3500)-2755,if(x-3500)#le#80000,0.35*(x-3500)-5505,0.45*(x-3500)-13505);n=if(x#le#3500,(y-(3500-x)*0.03,if(y/12#le#1500,0.03*y,if(y/12#le#4500,0.1*y-105,if(y/12#le#9000,0.2*y-555,if(y/12#le#35000,0.25*y-1005,if(y/12#le#55000,0.3*y-2755,if(y/12#le#80000,0.35*y-5505,0.45*y-13505);End程序二#include stdio.h#include math.hdouble M,x,y,t,Z,min=100000,f1,f2;/ *M表示年收入，x表示月工资-3500，y表示年终奖,z表示总的纳税额*/ /*f1表示月工资所纳税额，f2表示年终奖所纳税额*/void F1()if(x=0&x1500&x4500&x4500&x35000&x55000&x80000) f1=0.45*x-13505;void F2()y=M-12*(x+3500);if (y/12)=0&(y/12)1500&(y/12)4500&(y/