上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷.doc

上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷一、填空题（3分×14=42分）1（3分）行列式的值是2（3分）向量，若，则实数k=3（3分）与向量平行的单位向量是4（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=5（3分）不等式0的解集为6（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则mn=7（3分）设数列an的首项a1=1且前n项和为Sn已知向量，满足，则=8（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=9（3分）设，为单位向量且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为10（3分）设平面向量=（2，1），=（，1），若与的夹角是钝角，则的范围是11（3分）已知向量=（cos，sin），向量=（，1），则|2|的最大值是12（3分）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若（，R），则=13（3分）已知ABC的面积为1，在ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为14（3分）设n阶方阵An=任取An中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n1阶方阵An1，任取An1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，；将最后剩下的一个元素记为xn，记Sn=x1+x2+xn，则Sn=x1+x2+xn，则=二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15（4分）等边ABC中，向量的夹角为（）ABCD16（4分）有矩阵A32，B23，C33，下列运算可行的是（）AACBBACCABCDABAC17（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则ABC是（）A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形18（4分）记，若ai，j=icosx+jsinx，其中i，j1，2，3，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A3B1C1D0三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19（8分）如图所示，与的夹角为120，与的夹角为30，且（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值20（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（aR），并对解的情况进行讨论21（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|的取值范围22（14分）平面直角坐标系中，O为原点，射线OA与x轴正半轴重合，射线OB是第一象限角平分线在OA上有点列A1，A2，A3，An，在OB上有点列B1，B2，B3，Bn，已知，A1（5，0），（1）求点A2，B1的坐标；（2）求的坐标；（3）求AnOBn面积的最大值，并说明理由上海交大附中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（3分×14=42分）1（3分）行列式的值是1考点：二阶矩阵；同角三角函数基本关系的运用 专题：矩阵和变换分析：本题可以利用二阶行列式的计算公式直接计算，求出行列式的值，得到本题结论解答：解：行列式=adbc，行列式=sinx（sinx）cosxcosx=（sin2x+cos2x）=1故答案为：1点评：本题考查了二阶行列式的计算，本题难度不大，属于基础题2（3分）向量，若，则实数k=考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据非零向量垂直的充要条件及向量数量积的坐标运算即可求出k解答：解：；故答案为：点评：考查两非零向量垂直的充要条件：=0，以及数量积的坐标运算3（3分）与向量平行的单位向量是（，）考点：单位向量 专题：计算题分析：根据题意，设要求的向量为，由向量的共线的性质，可得=（3，4），又由为单位向量，可得（3）2+（4）2=1，解可得的值，进而将的值代入（3，4）中，即可得答案解答：解：设要求的向量为，则=（3，4），又由为单位向量，则（3）2+（4）2=1，解可得，=，则=（，），故答案为（，）点评：本题考查向量的运算，涉及单位向量的定义与向量平行的性质，注意向量的表示形式4（3分）三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为10，则k=14考点：三阶矩阵 专题：计算题分析：根据余子式的定义可知，在行列式中划去第2行第1列后所余下的2阶行列式带上符号（1） i+j为M21，求出其表达式列出关于k的方程解之即可解答：解：由题意得M21=（1）3=22+1k=10解得：k=14故答案为：14点评：此题考查学生掌握三阶行列式的余子式的定义，会进行矩阵的运算，是一道基础题5（3分）不等式0的解集为（10，100）考点：其他不等式的解法 专题：不等式的解法及应用分析：依题意，利用行列式的意义可得lgx（3lgx4）5（lgx）0，解此对数不等式即可求得答案解答：解：0，lgx（3lgx4）5（lgx）=3lg2x9lgx+60，即（lgx1）（lgx2）0，整理得：1lgx2，解得10x100故答案为：（10，100）点评：本题考查行列式的应用，着重考查对数不等式的解法，属于中档题6（3分）若关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，则mn=24考点：几种特殊的矩阵变换 专题：矩阵和变换分析：本题利用增广矩阵得到相应的三元一次方程组，通过方程组的解，求出相关参数m、n的值，得到本题结论解答：解：关于x，y，z的线性方程组增广矩阵变换为，方程组的解为，mn=24故答案为24点评：本题考查的是增广矩阵的应用，要求正确理解增广矩阵的意义，准确进行计算，本题难度不大，属于基础题7（3分）设数列an的首项a1=1且前n项和为Sn已知向量，满足，则=考点：数列的极限；数量积判断两个平面向量的垂直关系 专题：计算题分析：利用向量的垂直关系，可知其数量积为0，进而可得出数列an是以首项a1=1，公比为的等比数列，由于公比的绝对值小于1，故易求解答：解：由题意，即数列an是以首项a1=1，公比为的等比数列，故答案为点评：本题的考点是数列的极限，主要考查无穷等比数列的求和问题，关键是利用向量的垂直关系得出数列是无穷等比数列，进而再求和8（3分）对任意的实数x，y，矩阵运算都成立，则=考点：矩阵乘法的性质 专题：选作题；矩阵和变换分析：由题意，恒成立，可得a=d=0，b=c=1，即可得出结论解答：解：由题意，恒成立，a=d=0，b=c=1，=故答案为：点评：本题考查矩阵乘法的性质，考查学生的计算能力，比较基础9（3分）设，为单位向量且、的夹角为，若=+3，=2，则向量在方向上的射影为考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据题意求得的值，从而求得的值，再根据在上的射影为 ，运算求得结果解答：解：、为单位向量，且 和 的夹角等于，=11cos=+3，=2，=（+3）（2）=2+6=2+3=5在上的射影为 =，故答案为 点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，一个向量在另一个向量上的射影的定义，属于中档题10（3分）设平面向量=（2，1），=（，1），若与的夹角是钝角，则的范围是考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：平面向量及应用分析：由于与的夹角是钝角，可得=210，且解出即可解答：解：与的夹角是钝角，=210，且解得，且2故答案为：点评：本题考查了向量的夹角公式，属于基础题11（3分）已知向量=（cos，sin），向量=（，1），则|2|的最大值是4考点：三角函数的最值；向量的模 专题：计算题分析：先根据向量的线性运算得到2的表达式，再由向量模的求法表示出|2|，再结合正弦和余弦函数的公式进行化简，最后根据正弦函数的最值可得到答案解答：解：2=（2cos，2sin+1），|2|=4|2|的最大值为4故答案为：4点评：本题主要考查向量的线性运算和模的运算以及三角函数公式的应用，三角函数与向量的综合题是高考考查的重点，要强化复习12（3分）向量，在正方形网格中的位置如图所示，若（，R），则=4考点：平面向量的基本定理及其意义 专题：平面向量及应用分析：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系，得到向量、的坐标，结合题中向量等式建立关于、的方程组，解之得=2且=，即可得到的值解答：解：以向量、的公共点为坐标原点，建立如图直角坐标系可得=（1，1），=（6，2），=（1，3），解之得=2且=因此，=4故答案为：4点评：本题给出向量用向量、线性表示，求系数、的比值，着重考查了平面向量的坐标运算法则和平面向量基本定理及其意义等知识，属于基础题13（3分）已知ABC的面积为1，在ABC所在的平面内有两点P、Q，满足，则四边形BCPQ的面积为考点：向量在几何中的应用 专题：计算题；平面向量及应用分析：根据题中的向量等式，结合向量的线性运算可得：点P是线段AC的中点且Q是线段AB的靠近B点的三等分点由此结合正弦定理的面积公式，算出SAPQ=SABC=，即可得到则四边形BCPQ的面积解答：解：点P满足，可得点P是线段AC的中点又=2可得Q是线段AB的靠近B点的三等分点因此，APQ的面积为SAPQ=|sinA=|=SABCABC的面积为1，SAPQ=由此可得四边形BCPQ的面积为S=SABCSAPQ=1=故答案为：点评：本题在ABC中给出两个向量的等式，求四边形BCPQ的面积着重考查了平面向量的线性运算和运用正弦定理求三角形面积等知识，属于基础题14（3分）设n阶方阵An=任取An中的一个元素，记为x1；划去x1所在的行和列，将剩下的元素按原来的位置关系组成n1阶方阵An1，任取An1中的一个元素，记为x2；划去x2所在的行和列，；将最后剩下的一个元素记为xn，记Sn=x1+x2+xn，则Sn=x1+x2+xn，则=1考点：高阶矩阵；数列的极限 专题：综合题；压轴题分析：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，xn=2n21，故Sn=1+（2n+3）+（4n+5）+（2n21）=n3，故可求解答：解：不妨取x1=1，x2=2n+3，x3=4n+5，xn=2n21，故Sn=1+（2n+3）+（4n+5）+（2n21）=1+3+5+（2n1）+2n+4n+（n1）2n=n2+（n1）n2=n3，故=1，故答案为：1点评：本题考查高阶矩阵和数列的极限，解题时要认真审题，仔细解答，避免不必要的错误二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A、B、C、D的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，每题答对得4分，否则一律得零分.15（4分）等边ABC中，向量的夹角为（）ABCD考点：平面向量数量积的含义与物理意义 专题：平面向量及应用分析：根据两向量夹角的定义，结合图形，得出结论解答：解：如图所示，在等边ABC中，向量的夹角是A，A=故选：B点评：本题考查了平面向量夹角的概念，解题时应熟知两向量夹角的概念是什么，取值范围是什么16（4分）有矩阵A32，B23，C33，下列运算可行的是（）AACBBACCABCDABAC考点：矩阵与向量乘法的意义 专题：计算题；矩阵和变换分析：利用矩阵的乘法，即可得出结论解答：解：由题意，AB=D33，ABC是DC=E33，故选：C点评：本题考查矩阵与向量乘法的意义，比较基础17（4分）O为平面上的定点，A、B、C是平面上不共线的三点，若，则ABC是（）A以AB为底边的等腰三角形B以BC为底边的等腰三角形C以AB为斜边的直角三角形D以BC为斜边的直角三角形考点：三角形的形状判断 专题：计算题分析：设BC的中点为 D，由条件可得2=0，故，故ABC的BC边上的中线也是高线，ABC是以BC为底边的等腰三角形解答：解：设BC的中点为 D，（22）=0，2=0，故ABC的BC边上的中线也是高线 故ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选 B点评：本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量垂直的条件，三角形形状的判定，得到ABC的BC边上的中线也是高线，是将诶提的关键18（4分）记，若ai，j=icosx+jsinx，其中i，j1，2，3，则f（x）=a13A11+a23A21+a33A31的最小值是（）A3B1C1D0考点：三阶矩阵 专题：矩阵和变换分析：首先，根据所给信息，得到第一列和第三列相同，以第二列展开容易求解解答：解：根据题意，得ai，j=icosx+jsinx，a11=cosx+sinxa21=2cosx+sinxa31=3cosx+sinx，a13=cosx+3sinxa23=2cosx+3sinxa33=3sinx+3cosx第一列和第三列相同，以第二列展开易得：a13A11+a23A21+a33A31=0f（x）的最小值是0，故选：D点评：本题重点考查了行列式的基本计算，属于中档题三、解答题（本大题满分42分）本大题共有4题，解答下列各题必须写出必要的步骤.19（8分）如图所示，与的夹角为120，与的夹角为30，且（1）求B点，C点坐标；（2）求实数m、n的值考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：（1）根据已知条件结合图形即可求出A，B，C三点的坐标；（2）求出的坐标，带入，即可得到关于m，n的方程组，解方程组即得m，n的值解答：解：（1）如图所示，由已知条件得：A（1，0），B（），C；（2）；解得点评：考查由点的坐标求向量的坐标，向量的坐标运算20（10分）用行列式解关于x、y的方程组：（aR），并对解的情况进行讨论考点：二阶矩阵 专题：矩阵和变换分析：本题先求出相关行列式D、Dx、Dy的值，再讨论分式的分母是否为0，用公式法写出方程组的解，得到本题结论解答：解：关于x、y的方程组：（aR），（1）当a1时，D0，方程组有唯一解，（2）当a=1时，D=0，Dx0，方程组无解；（3）当a=1时，D=Dx=Dy=0，方程组有无穷多解，点评：本题考查了用行列式法求方程组的解，本题难度不大，属于基础题21（10分）已知向量=（2，2），向量与向量的夹角为，且=2，（1）求向量；（2）若=（1，0）且，=（cosA，2cos），其中A、C是ABC的内角，若三角形的三内角A、B、C依次成等差数列，试求|的取值范围考点：平面向量数量积的运算；等差数列的通项公式；两角和与差的正弦函数 专题：综合题；平面向量及应用分析：（1）设出向量=（x，y），由向量与向量的夹角为及=2得到关于x、y的二元方程组，求解后可得向量的坐标；（2）由三角形的三内角A、B、C依次成等差数列求出角B，再根据确定，运用向量加法的坐标运算求出，代入模的公式后利用同角三角函数的基本关系式化简，最后根据角的范围确定模的范围解答：解：（1）设=（x，y），则2x+2y=2又联立解得