高中数学第一章导数及其应用本章诊疗学案新人教A版.docx

第一章 导数及其应用一、变化率与导数1函数在处的导数是根据瞬时变化率定义的，即；运用其解题易忽视增量必须一样，否则产生错解2函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率即斜率为，过点的切线方程为注意“过某点的切线”与“在某点的切线”是不同的3与的关系：表示在处的导数，即是函数在某一点的导数，也就是一个常数；表示函数在某一给定开区间内的导数，此时是在上的函数，即是在内任意一点的导数例1设是可导函数，且满足，则过曲线上点处的切线斜率为（ ）(A) (B) (C) (D) 错解：由导数的定义可知，再结合导数的几何意义知，过曲线上点处的切线斜率为，选B剖析：中增量为，而分母中增量为，显然增量不一致，上述解法忽视了增量的一致性产生了错解；故需通过配凑增量的系数来解决问题正解：，故选D【针对练习1】已知函数，当无限趋近于0时，则有= 例2 求曲线C：过点的切线方程.错解：因为点A在曲线S上，所以斜率，因此过点A的切线方程为： . 剖析: 上述解法漏掉一解，切线方程为的情况错误原因是混淆“过某点的切线”与“在某点的切线”两个概念正解：设切点为,则点处的切线的方程是：，因为A点在直线上，所以：.(1) 又因为点P在曲线S上，所以：(2) 由（1）、（2）解得，或. 当时，点坐标为，切线方程是：；当时，点坐标为，切线方程是：综上，过点A的曲线S的切线方程是：或【针对练习2】曲线在点处的切线方程二、导数的计算函数的求导公式与原来的一些数学公式有类似之处，但是应该注意不要弄混了，一定要准确地记住公式.例3 求下列函数的导数：（1） （2）错解:（1） （2）剖析:（1）求导是对自变量的求导，要分清表达式中的自变量.本题的自变量是，是常量.（2）商的求导法则是：分母平方作分母，分子是差的形式，等于分子的导数乘以分母的积减去分母的导数乘以分子的积.错解把分数的导数类同于分数的乘方运算了正解：（1）（2）【针对练习3】求函数的导数三、导数在研究函数中的应用运用导数可研究可导函数的单调性、极值、最值，其求解步骤可归纳为：确定函数的定义域；求导数；令（或）从而确定函数的单调区间；根据的实根左右两侧的值的符号，从而确定函数的极值；比较函数的极值以及区间端点的函数值，确定最值解题时要注意：函数的单调性与其导数的正负间的逻辑关系，与函数在取得极值间的逻辑关系；否则易产生错解例4已知函数是上的单调增函数，则的取值范围是（ ）（A） （B） （C）（D） 错解：，且是上的单调增函数， 在上恒成立 ，故选C 剖析：判断函数单调性的方法是：设函数在某个区间内可导，如果在这个区间内，那么为这个区间内的增函数；如果在这个区间内，那么为这个区间内的减函数；这是判断函数单调性的充分不必要条件上述解法，将其视作充要条件，显然是不妥的反之，如果在某区间上是递增（或递减）函数，则（或）恒成立 正解：，且是上的单调增函数， 在上恒成立 即选D【针对练习4】已知函数在处取极值10求、的值四、生活中的优化问题举例运用导数优化实际问题，主要涉及“用料最省”、 “利润最大”、 “面积、体积最大”为背景的实际问题，其实质是求函数的最值而解决最优化问题的两个关键步骤为（1）列关系式，（2）求最值列函数关系式是一重要步骤，同时不可忽视：函数定义域；对参数分类讨论例5从边长为的正方体铁片的四个角各截去一小块边长为的正方形（如图1所示），再将四边向上折起，做成一个无盖的长方体铁盒，要求长方体的高度与底面正方形的边长的比值不超过常数，容积有最大值时，的取值为_错解：由题意知，即又， 图1，令，得或（舍去）这时在定义域内有唯一极值点，由问题的实际意义可知时，故填剖析：上述解法误认为极值点在定义域内，还有可能在定义域外，可见上述解法忽视对极值点位置的讨论，产生漏解正解：由错解知令，得或（舍去）当，即时，同错解当，即时，这是有，所以在定义域内为增函数，故当时，故填或【针对练习5】周长为的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 五、定积分与微积分基本定理1定积分的定义揭示了计算曲边图形的基本思想以直代曲，近似代替 定积分几何意义与曲边梯形面间的关系：由三条直线，一条曲线围成的曲边梯形的面积与：当时，；当时，；这一点易忽视2运用微积分基本定理要注意：奇函数在关于原点对称的闭区间上积分值为0，偶函数在关于原点对称的闭区间上积分是其在半闭区间上积分的2倍奇（或偶）函数和直线以及所围成平面图形的面积例6如图2，函数在区间上，则阴影部分的面积S为（ ）（A） （B）（C） （D）+ 图2错解：选择答案：A或B或C剖析：错误的原因在于对微积分的几何意义不理解或理解得不够透彻而导致出错根据微积分的几何意义，若，则在 上的阴影面积S=；若，则在上的阴影面积S=在实际求解曲边梯形的面积时要注意在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积取负号各部分面积的代数和即为：轴上方的面积减去轴下方的面积正解：如图所示，在上，；在上，；所以函数在区间 上的阴影部分的面积S=+，故选D【针对练习6】计算由曲线，所围图形的面积S答案：114 解：原式=2解：由，则在点处斜率，故所求的切线方程为3解：，4解：，由题意知，即，解得或当，时，令，解得，或 当变化时，、的变化情况如下表： 0 0 极值 极值 显然，当，时，满足题意 当，时，在上为增函数，无极值，应