全国高考数学第4章平面向量数系的扩充与复数的引入第2节平面向量的基本定理及坐标表示教师用书文.docx

第二节平面向量的基本定理及坐标表示考纲传真1.了解平面向量的基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件1平面向量基本定理(1)定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数1，2，使a1e12e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底2平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为基底，该平面内的任一向量a可表示成axiyj，由于a与数对(x，y)是一一对应的，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y)，其中a在x轴上的坐标是x，a在y轴上的坐标是y.3平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab(x1x2，y1y2)，ab(x1x2，y1y2)，a(x1，y1)，|a|.(2)向量坐标的求法若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(x2x1，y2y1)，|.4平面向量共线的坐标表示设a(x1，y1)，b(x2，y2)，其中b0.a，b共线x1y2x2y10.1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底()(2)在ABC中，设a，b，则向量a与b的夹角为ABC.()(3)若a，b不共线，且1a1b2a2b，则12，12.()(4)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件可以表示成.()答案(1)(2)(3)(4)2已知平面向量a(2，1)，b(1,3)，那么|ab|等于 ()A5B.C.D13B因为ab(2，1)(1,3)(3,2)，所以|ab|.3(2015全国卷)已知点A(0,1)，B(3,2)，向量(4，3)，则向量()A(7，4)B(7,4)C(1,4)D(1,4)A(3,2)(0,1)(3,1)，(4，3)(3,1)(7，4)故选A.4(2016全国卷)已知向量a(m,4)，b(3，2)，且ab，则m_.6a(m,4)，b(3，2)，ab，2m430，m6.5(教材改编)已知ABCD的顶点A(1，2)，B(3，1)，C(5,6)，则顶点D的坐标为_(1,5)设D(x，y)，则由，得(4,1)(5x,6y)，即解得平面向量基本定理及其应用(1)如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是 ()Ae1与e1e2Be12e2与e12e2Ce1e2与e1e2De13e2与6e22e1(2)(2016山西晋中四校联考)在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.(1)D(2)(1)选项A中，设e1e2e1，则无解；选项B中，设e12e2(e12e2)，则无解；选项C中，设e1e2(e1e2)，则无解；选项D中，e13e2(6e22e1)，所以两向量是共线向量(2)选择，作为平面向量的一组基底，则，又，于是得解得所以.规律方法1.利用平面向量基本定理表示向量时，要选择一组恰当的基底来表示其他向量，即用特殊向量表示一般向量2利用已知向量表示未知向量，实质就是利用三角形法则进行向量的加减运算，在解题时，注意方程思想的运用如解答本题(2)的关键是根据平面向量基本定理列出关于，的方程组变式训练1如图421，在梯形ABCD中，ADBC，且ADBC，E，F分别为线段AD与BC的中点设a，b，则_，_，_(用向量a，b表示)图421babaabbabba，bba，bab.平面向量的坐标运算已知A(2,4)，B(3，1)，C(3，4)设a，b，c，且3c，2b，(1)求3ab3c；(2)求满足ambnc的实数m，n；(3)求M，N的坐标及向量的坐标解由已知得a(5，5)，b(6，3)，c(1,8).2分(1)3ab3c3(5，5)(6，3)3(1,8)(1563，15324)(6，42).5分(2)mbnc(6mn，3m8n)，解得8分(3)设O为坐标原点3c，3c(3,24)(3，4)(0,20)M(0,20).10分又2b，2b(12,6)(3，4)(9,2)，N(9,2)，(9，18).12分规律方法1. 向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向量的坐标常利用向量相等则其坐标相同列方程(组)求解2平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言“坐标语言”，实质是“形”化为“数”向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可用坐标来进行，实现了向量运算完全代数化，将数与形紧密结合起来变式训练2(2017合肥三次质检)已知a(1，t)，b(t，6)，则|2ab|的最小值为_2由条件得2ab(2t,2t6)，所以|2ab|，当t2时，|2ab|的最小值为2.平面向量共线的坐标表示(1)已知向量a(1,1)，b(3，m)，若a(ab)，则m()A2B2C3D3(2)已知梯形ABCD，其中ABCD，且DC2AB，三个顶点A(1,2)，B(2,1)，C(4,2)，则点D的坐标为_(1)C(2)(2,4)(1)由题意可知ab(2,1m)，a(ab)，2(m1)0m3.(2)在梯形ABCD中，DC2AB，2.设点D的坐标为(x，y)，则(4,2)(x，y)(4x,2y)(2,1)(1,2)(1，1)，(4x,2y)2(1，1)，即(4x,2y)(2，2)，解得故点D的坐标为(2,4)规律方法1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件是x1y2x2y10；(2)若ab(a0)，则ba.2向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例求解变式训练3(1)(2017郑州模拟)已知向量a(1sin ，1)，b，若ab，则锐角_.(2)已知向量(1，3)，(2，1)，(k1，k2)，若A，B，C三点能构成三角形，则实数k应满足的条件是_. 【导学号：31222146】(1)(2)k1(1)由ab，得(1sin )(1sin )，所以cos2，所以cos 或，又为锐角，所以.(2)若点A，B，C能构成三角形，则向量，不共线因为(2，1)(1，3)(1,2)，(k1，k2)(1，3)(k，k1)，所以1(k1)2k0，解得k1.思想与方法1平面向量基本定理实质上是平面向量的分解定理，是平面向量正交分解、坐标表示的理论基础，用平面向量基本定理可将平面内任一向量分解成形如a1e12e2的形式2利用平面向量共线的坐标表示既可以证明向量平行、点共线，也可以由平行求点的坐标或参数值3若a与b不共线，ab0，则0.易错与防范1在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量a，点A的位置被向量a唯一确定，此时点A的坐标与a的坐标统一为(x，y)但表示形式与意义不同，如点A(x，y)，向量a(x，y)，向量坐标中既有大小信息又有方向信息2若a，b为非零向量，当ab时，a，b的夹角为0或180，求解时容易忽视其中一种情形致误3若a(x1，y1)，b(x2，y2)，则ab的充要条件不能表示成，因为x2，y2有可能等于0，应表示为x1y2x2y10.课时分层训练(二十五)平面向量的基本定理及坐标表示A组基础达标(建议用时：30分钟)一、选择题1如图422，设O是平行四边形ABCD两对角线的交点，给出下列向量组：图422与；与；与；与.其中可作为该平面内其他向量的基底的是() 【导学号：31222147】ABCDB中，不共线；中，不共线2已知a(1,1)，b(1，1)，c(1,2)，则c等于()Aab B.abCab DabB设cab，(1,2)(1,1)(1，1)，cab.3已知向量a，b不共线，ckab(kR)，dab，如果cd，那么() 【导学号：31222148】Ak1且c与d同向Bk1且c与d反向Ck1且c与d同向Dk1且c与d反向D由题意可得c与d共线，则存在实数，使得cd，即解得k1.cab(ab)d，故c与d反向4如图423，在OAB中，P为线段AB上的一点，xy，且2，则 ()图423Ax，yBx，yCx，yDx，yA由题意知，又2，所以()，所以x，y.5(2015广东茂名二模)已知向量a(3，2)，b(x，y1)，且ab，若x，y均为正数，则的最小值是()A24 B8 C. D.Bab，2x3(y1)0，化简得2x3y3.又x，y均为正数，(2x3y)8，当且仅当时，等号成立，的最小值是8，故选B.二、填空题6(2017陕西质检(二)若向量a(3,1)，b(7，2)，则ab的单位向量的坐标是_由题意得ab(4,3)，则|ab|5，则ab的单位向量的坐标为.7(2017广州综合测评(二)已知平面向量a与b的夹角为，a(1，)，|a2b|2，则|b|_.2由题意得|a|2，则|a2b|2|a|24|a|b|cosa，b4|b|22242cos |b|4|b|212，解得|b|2(负舍)8已知向量(3，4)，(0，3)，(5m，3m)，若点A，B，C能构成三角形，则实数m满足的条件是_. 【导学号：31222149】m由题意得(3,1)，(2m,1m)，若A，B，C能构成三角形，则，不共线，则3(1m)1(2m)，解得m.三、解答题9已知A(1,1)，B(3，1)，C(a，b). (1)若A，B，C三点共线，求a，b的关系式；(2)若2，求点C的坐标解(1)由已知得(2，2)，(a1，b1).2分A，B，C三点共线，.2(b1)2(a1)0，即ab2.5分(2)2，(a1，b1)2(2，2).7分解得点C的坐标为(5，3).12分10平面内给定三个向量a(3,2)，b(1,2)，c(4,1)(1)求满足ambnc的实数m，n；(2)若(akc)(2ba)，求实数k.解(1)由题意得(3,2)m(1,2)n(4,1)，2分所以解得5分(2)akc(34k,2k)，2ba(5,2)，7分由题意得2(34k)(5)(2k)0，解得k.12分B组能力提升(建议用时：15分钟)1(2016四川高考)已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足|1，则|2的最大值是()A.B.C. D.B设BC的中点为O，以点O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，则B(，0)，C(，0)，A(0,3)又|1，点P的轨迹方程为x2(y3)21.由知点M为PC的中点，设M点的坐标为(x，y)，相应点P的坐标为(x0，y0)，则(2x)2(2y3)21，即22，点M的轨迹是以H为圆心，r为半径的圆，|BH|3，|的最大值为3r3，|2的最大值为.2向量a，b，c在正方形网格中的位置如图424所示，若cab(，R)，则_. 【导学号：31222150】图4244以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，则A(1，1)，B(6,2)，C(5，1)，a(1,1)，b(6,2)，c(1，3)cab，(1，3)(1,1)(6,2)，即61