2018版高中数学第二章平面解析几何初步2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学案含解析新人教B版.docx

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式1.掌握平面上两点间的距离公式和中点坐标公式.(重点)2.了解两点的距离公式及中点公式的推导方法.(难点)3.体会坐标法在几何中的作用.(重点)4.坐标法在证明几何问题中的应用.(难点)基础初探教材整理两点间距离公式及中点公式阅读教材P68P71“例4”以上内容，完成下列问题.1.已知在平面直角坐标系中两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有d(A，B)|AB| .2.已知平面直角坐标系中的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，设点M(x，y)是线段AB的中点，则有x，y.1.如图212，由A(4，2)，B(4，2)，C(4,4)，是否能求出d(A，C)?图212【答案】能，d(A，C)10.2.(1)如图213，若A(1,1)，C(3,1)连线的中点为M1(x，y), 则x，y满足什么条件？图213【答案】x(1)3x，y1.(2)若B(3,4)，那么BC的中点M2的坐标是什么？【答案】.小组合作型两点的距离公式的应用已知ABC三个顶点的坐标分别为A(a,0)，B(a,0)，C(0, a).求证：ABC是等边三角形.【精彩点拨】解答本题可以尝试利用两点的距离公式求出三边长，再用三角形知识解决.【自主解答】由两点的距离公式得|AB|2|a|，|BC|2|a|，|CA|2|a|.|AB|BC|CA|，故ABC是等边三角形.根据边长判断三角形形状的结论主要有以下几种：等腰、等边、直角、等腰直角三角形等.在进行判断时，一定要得出最终结果，比如一个三角形是等腰直角三角形，若我们只通过两边长相等判定它是等腰三角形则是不正确的.再练一题1.本例若改为：已知A(1，1)，B(3,5)，C(5,3)，试判断ABC的形状.【解】d(A，B)2，d(A，C)2，d(B，C)2.所以|AB|AC|BC|，且显然三边长不满足勾股定理，所以ABC为等腰三角形.中点公式的应用已知平行四边形ABCD的两个顶点坐标分别为A(4,2)，B(5,7)，对角线交点为E(3,4)，求另外两顶点C、D的坐标. 【导学号：45722072】【精彩点拨】可以画图分析点的关系，借助平行四边形的性质，尝试运用中点公式列方程组求解.【自主解答】设C点坐标为(x1，y1)，则由E为AC的中点得：得设D点坐标为(x2，y2)，则由E为BD的中点得得故C点坐标为(10,6)，D点坐标为(11,1).1.本题是用平行四边形对角线互相平分这一性质，依据中点公式列方程组求点的坐标的.2.中点公式常用于求与线段中点、三角形的中线、平行四边形的对角线等有关的问题，解题时一般先根据几何概念，提炼出点之间的“中点关系”，然后用中点公式列方程或方程组求解.再练一题2.已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别为A(0,0)，B(2,0)，D(1,3)，求顶点C的坐标.【解】平行四边形的对角线互相平分，平行四边形对角线的中点坐标相同.设C点坐标为C(x，y)，则即C(3,3).探究共研型坐标法的应用探究1如何建立平面直角坐标系？【提示】(1)要使尽可能多的已知点、直线落在坐标轴上；(2)如果图形中有互相垂直的两条直线，则考虑其作为坐标轴；(3)考虑图形的对称性：可将图形的对称中心作为原点、将图形的对称轴作为坐标轴.探究2建立不同的直角坐标系，影响最终的结果吗？【提示】不影响.在ABC中，D为BC边上任意一点(D与B、C不重合)，且AB2AD2BDDC.求证：ABC为等腰三角形.【精彩点拨】【自主解答】如图所示，作AOBC，垂足为O，以BC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)(bdc).|AB|2|AD|2BDDC，b2a2d2a2(db)(cd)，(db)(bd)(db)(cd)，又db0，bdcd，即bc.|AB|AC|，故ABC为等腰三角形.1.对于平面几何中证明边相等(或不等)、求最值等类型的题目，可以建立恰当的平面直角坐标系，用坐标法将几何问题代数化，使复杂的逻辑思维转化为简单的代数运算，从而将复杂问题简单化.2.在建立平面直角坐标系时，要尽可能地将平面几何图形中的点、线放在坐标轴上，但不能把任意点作为特殊点.再练一题3.已知ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系，证明：|AM|BC|.【证明】如图所示，以RtABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立直角坐标系.设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c).因为点M是BC的中点，故点M的坐标为，即.由两点间距离公式得|BC|，|AM| .所以|AM|BC|.1.已知A(8，3)，B(5，3)，则线段AB的中点坐标为()A.B.C.D.【解析】由中点坐标公式可以求得.【答案】B2.已知A(1,2)，B(a,6)，且|AB|5，则a的值为()A.4 B.4或2C.2D.2或4【解析】5，解得a2或4.【答案】D3.以A(5,5)，B(1,4)，C(4,1)为顶点的三角形为_.【解析】由题意|AB|，|AC|，|BC|，显然ABC为等腰三角形.【答案】等腰三角形4.若x轴上的点M到原点与到点(5，3)的距离相等，则点M的坐标为_.【解析】设点M的坐标为(x,0)，由题意知|x|，即x2(x5)29，解得x3.4，故所求点M的坐标为(3.4,0).【答案】(3.4,0)5.已知矩形相邻两个顶点是A(1,3)，B(2,4)，若它的对角线交点在x轴上，求另外两顶点的坐标. 【导学号：45722073】【解】设对角线交点为P(x,0)，则|PA|PB|