高中数学第一章导数及其应用1.5第2课时定积分的概念学案新人教A版.docx

1.5 第二课时 定积分的定义一、课前准备1.课时目标1. 借助几何图形直观体会定积分的基本思想，初步了解定积分的概念；2. 会用定积分的几何意义求积分值；3. 能熟练应用定积分的性质解题。2.基础预探1.如果函数f(x)在区间a，b上连续，用分点将区间a，b等分成n个小区间，在每个小区间上任取一点i(i1,2，n)，作和式_，当n时，上述和式无限接近于某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a，b上的_，记作_，即_，区间a，b叫做_，函数f(x)叫做_.2当f(x)0时，定积分f(x)dx表示由_所围成的曲边梯形的_.当f(x)0时，f(x)dx是_(填“正数”或“负数”)3(1)kf(x)dx_(k为常数)； (2)f1(x)f2(x)dx_；(3)f(x)dx_(acb)二、学习引领1.定积分含义的理解求曲边梯形的面积与变速直线运动物体的路程，一个是几何问题，一个是物理问题，尽管问题的背景不同，所要解决的问题也不相同，但是反映在本质上，都利用了“分割-代替-求和-取极限”这种方法，体现了由曲化直，由变转化不变的思想若抛开问题的具体意义，抓住它们在数量关系以及思想方法上共同的本质特征加以概括，抽象出其中的数学思想并且形成概念，这样就得到了定积分的定义2.定积分应注意问题(1)定积分f(x)dx是“和式”的极限值，它的值取决于被积函数f(x)的积分上限、下限，而与积分变量用什么字母表示无关，即f(x)dxf(u)duf(t)dt(2)当定积分的上限和下限相同时，定积分的值为零；当交换定积分的上限和下限时，定积分的绝对值相同，只相差一个负号在定积分f(x)dx的定义中，总是假设ab时，不难验证，f(x)dx0，f(x)dxf(x)dx. (3)定积分的值可以是正数、零或负数，定积分的值也不一定等于曲边梯形的面积3.函数的奇偶性与定积分的关系 根据定积分的几何意义知，若f(x)是区间a，a(a0)上的连续函数，则(1)当f(x)是偶函数时，f(x)dx2f(x)dx ;(2)当f(x)是奇函数时，f(x)dx0.三、典例导析题型一 利用定积分定义求值例1利用定积分定义，计算(3x2)dx的值思路导析：类似于上节的问题，本题需分割、以直代曲(近似代替)、求和、取极限四个步骤解决解析：（1）令f(x)3x2，在区间1,2上等间隔地插入n1个分点，把区间1,2等分成n个小区间，(i1,2，n)。每个小区间的长度为x。（2），则(3x2)dx =（3）(3x2)dx所求曲边梯形的面积为.归纳总结：利用定义求定积分的步骤是“分割、近似代替，求和、取极限”，整理式子是解决这类问题容易出错的地方，应多加注意变式训练：利用定积分的定义，计算x2dx的值题型二 应用定积分几何意义的求积分值例2用定积分的几何意义求下列各式的值： (1) (2) （3）思路导析：求解本题应先做出被积函数的图象，再找到相应的积分的图形，计算出面积即可。解：（1）由可知，其图像如图。等于圆心角为的弓形CDE的面积与矩形ABCD的面积之和。S弓形2222sin， S矩形ABBC2， =2+=+ .(2)函数y=sinx在x上是奇函数，=0.(3)函数y1sinx的图象如图所示，归纳总结：利用定积分的几何意义求定积分就必须准确理解其几何意义，同时要合理利用函数的奇偶性、对称性来解决问题，运用数形结合法是关键变式训练： 用定积分的几何意义求下列各式的值：(1) dx (2) （3）题型三 定积分性质的应用例3 计算定积分(x1)(x3)dx.思路导析：将此复杂的积分函数展开，利用积分的性质分解为多个简单的积分函数的问题求解。解析： (1)(x1)(x3)dx(x22x3)dxx2dx2xdx3dx，利用定积分的定义求得x2dx，xdx，3dx3，(x1)(x3)23.归纳总结：利用积分的性质可以将复杂的积分问题转化为简单的积分的加减乘除问题解决。变式训练：已知dxln2，求证：(1)(2x)dxln.四、随堂练习1.设函数f(x)0，则当ab时，定积分f(x)dx的符号()A一定是正的 B一定是负的C当0ab时是正的，当abx2dx D.xdxx2dx2下列值等于1的是()A.xdx B.(x1)dx C.1dx D.dx3f(x)则f(x)dx的值是_4若,则由直线x0，x，曲线ysinx及x轴围成的图形的面积为_5利用定积分的几何意义，说明下列等式(1)2xdx=1 ( 2) dx6已知xdx，x3dx，计算下列定积分：(1)(2xx3)dx；(2)(2x3x)dx.参考答案一、课前准备2.基础预探1. f(i)xf(i) 定积分 f(x)dx f(x)dxf(i) 积分区间被积函数2.直线xa，xb，y0和曲线yf(x) 面积 负数3.kf(x)dx f1(x)dx f2(x)dx f(x)dxf(x)dx三、典例导析例1变式训练解：（1）令f(x)x2.将区间0,2等分成n个小区间，则第i个小区间为，第i个小区间的面积Sif().（2）x2dx、=（3）x2dx 所求曲边梯形的面积为.例2变式训练解析：(1)由y得x2y21(y0)，其图象是圆心为原点，半径为1的圆的部分dx12.(2)由函数ycosx，x0,2的图象的对称性(如图)知，x轴上方的图像和下方的图像完全相同，因此0.(3)函数ysin7xx3在x，上是奇函数，0.例3变式训练证明：(1)(2x)dx(1x)dx1dxxdx2dx.又1dx1，xdx，dxln2，(1)(2x)dx12ln2ln4lnln4ln.四、随堂练习1解析：由定积分的几何意义可知选A.答案：A2解析：由积分的几何意义可知(3)dx表示由x1，x3，y0及y3所围成的矩形面积的相反数，故(3)dx6. 答案：A3.解析：由yf(x)，x1，x3及y0围成的曲边梯形可分拆成两个：由yf(x)，x1，x2及y0围成的曲边梯形和由yf(x)，x2，x3及y0围成的曲边梯形f(x)dxf(x)dxf(x)dx即f(x)dxf(x)dx56.故应选D. 答案：D4.解析：如图A(0，4)，B(6,8) SAOM244，SMBC4816 。(2x4)dx16412.答案：125.解析：因为y=x5是奇函数，其图像关于原点对称，所以x5dx=x5dx+x5dx =0答案：06解：f(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx，f(x)dx1266.3f(x)dx3f(x)dx3618.五、课后作业1.解析：当0xx20，由定积分的几何意义得xdxx2dx0.答案：C2答案：C3解析：由定积分性质(3)求f(x)在区间1,1上的定积分，可以通过求f(x)在区间1,0与0,1上的定积分来实现，f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx =2xdx+x2dx.答案：2xdx+x2dx4解析：由正弦函数与余弦函数的图象，知ysinx，x0，的图象与x轴围成的图形的面积是ycosx，x0，的图象与x轴围成的图形的面积的2倍，所以答案应为2.答案：25解析：(1)2xdx表示由直线y2x，直线x0，x1，y0所围