代数式的值教学设计.doc

代数式的值一、主要内容： 1代数式的值的概念： 一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式中的运算关系计算得出的结果，叫做代数式的值。 注：1）字母的取值不能使代数式本身失去意义，如分母不能为零；2）不能使它所表示的实际问题失去意义，如求路程公式Svt中，v，t不能取负数。 2求代数式的值的方法： 先代入后计算： 注：1）代入时，只将相应的字母换成相应的数，其它符号不变。 2）代数式中原来省略的乘号代入数值以后一定要还原。 3）对于已知一个比较复杂的代数式的值，求另一个代数式的常用的方法有整体代入法，代换法。 4）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则，计算出结果。 二、主要数学思想： 代数式的值是由字母所取的值确定的，当代数式中的字母每取一个值时，代数式就表示一个确定的（数）值。因此，求代数式的值是由一般（式）到特殊（数）的问题，通过求代数式的值，可进一步理解代数式的意义和作用。 三、例题讲解：例1 求下列代数式的值： (1) a2-+2 其中 a=4, b=12, (2) 其中 a=, b=. 解：(1)当a=4, b=12时, a2-+2=42-+2=16-3+2=15 (2)当a=，b=时， =。 点评：（1）求代数式的值的解题步骤是： 指出代数式中的字母所取的值； 抄写原代数式； 把字母的值代入代数式中； 按规定的运算顺序进行计算。 （2）代数式的值是由代数式里字母所取的数的大小来确定的，代数式里的字母可取不同的值，但这些值必须使代数式和它所表示的实际数量有意义。（1）题中的a不能取0，因为当a取0时，的分母为零，代数式无意义。（2）题中a+b不能为0。 例2 当a1， b2， c3时，求下列各代数式的值。 （1）（2）(a2b2c2)2 （3） 分析：求代数式在a1，b2，c3时的值，就是把代数式中的字a、b、c，分别用1，2，3代替，按原来的运算顺序进行运算即可。解：（1） （2）(a2b2c2)2(1)2223224216 （3） 例3已知a2，求代数(a)26a的值。 分析：本例中代数式(a)26a是含字母a的代数式，若已给出a的值，用a的值代换代数式中的字母a，即可进行运算，但现在没给a的值，又无法求出a的值。只知：a2，所以我们应把a作为一个整体，把代数式(a)26a进行变形，使代数式中的字母以a的形成出现，再用2代替a即可求值。 解：当a2时 (a)26a(a)2(a)6 2226 12例4当2时，求代数式的值。 分析：本例仿例3，把看一个整体，把所给代数式进行变形。 解：当2时 2235 例5某车间第一个月产值为m万元，平均每月增产率为a% 要求：（1）用代数式表示出第二个月的产值。 （2）当m20 ，a5时第二月的产值。分析：平均每月增产率为a%，即第二月的产值比第一个月的产值增加ma%，所以第二月的产值为mma%. 解：1）第二个月的产值为（mma%）万元； 2）当m20， a5时 mma%20205%21（万元） 小结：若每月的增产率不变，下一个月的产值就等于本月产值本月产值增产率。请试着写出第三个月的产值，并计算当m20，a5时产值。北 京 四 中透视“代数式” 一、明确代数式的特征 代数式是一个非常重要的概念，它贯穿于初中代数的始终，关于什么是代数式，课本中用“像是”这种说法加以描述，通过对这个定义的理解，我们可以看出代数式的三个特征： 1代数式是用运算符号把数和表示数的字母连结而成的。如：3a、a+b等。 2单独一个数或一个字母也是代数式。如：7、x等。 3代数式中是不含等号的。运算律、公式，它们都是以等号形式出现的，应该说，这些等式的左、右两边，各是一个代数式。如：S=ab，它是用等号把代数式S与ab连结起来而成为公式，所以S=ab不是代数式，而是公式。 二、注意代数式书写格式 1代数式中出现的乘号，通常简记作“”或省略不写。数字和数字相乘，乘号不能省略；数字和字母相乘，可以省略乘号，但数字必须写在字母前面，如：a2可记作2a，不能写成a2；字母和字母相乘时，除可省略乘号外，一般还要习惯按英文字母表示的自然顺序来书写，如：yx2，可简记为2xy。 2带分数和字母相乘时，若要省略乘号，须把带分数化成假分数，如：x 4，记作，不能写成4x，另外，当一个因数是1时，通常省略不写，如1a，不能写成1a，而应记作a。 3代数式中出现除法运算时，一般按照分数的写法来写，如：st应记作，ah2记作。4写代数式的答案时，若是乘、除关系的，单位名称直接写在式子的后面，如：正方形面积是12a平方厘米，无需加括号；若是加减关系时，必须把式子用括号括起来，再写单位，如：三角形的周长是(a+b+c)米。 三、掌握列代数式的要点 列代数式就是把问题中与数量关系相关的语句，用含有数、字母和运算符号的式子表示出来。 首先弄清问题中的数量关系，如：和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、增加到、减少到、增加了、减少了等，并把这些语言转化为运算。 其次是弄清问题中的运算顺序，特别是注意括号的运用。 最后要明确列代数式与小学的算术列式类似，所不同的是把数改为表示数的字母来列式。 例1 设甲数为x，用代数式表示乙数 (1)乙数比甲数的2倍小3； (2)乙数比甲数大16， 解：(1)中的甲数转化为“x”，“小”转化为运算“”，先表示甲数的2倍2x，再表示比2x小3的数是2x-3。(2)中甲数的16即为：16x，“大”转化为运算“+”，即“x+16x 或(1+16)x。例2 设甲数为x，乙数为y，用代数式表示 (1)甲乙两数的平方和(即平方的和)。 (2)甲乙两数的和与甲乙两数的差的积。 解： (1)中就是：甲数的平方+乙数的平方，注意先平方后和，即x2+y2。 (2)中就是：(甲数+乙数)(甲数-乙数)，注意先算和、差，再相乘，和、差要添括号，即(x+y)(x-y)。 四、准确求出代数式的值 一般地，把用数值代替代数式里的字母，按照代数式中指明的运算，计算出的结果，叫做代数式的值，在这个概念中，实际上也指出了求代数式值的方法，即一是代入、二是计算，当代数式中有多个字母时，代入值不要混淆，式中的同一个字母值应该是相同的，在进行运算时，既要分清运算的种类，又要注意运算顺序。 某些求代数式值的题目，没有直接给出代数式中相关字母的值，而是给出某种关系，这时要认真仔细观察题目特征，运用整体代换的方法来进行求值。 例3 若代数式2x+3y+7的值是8，那么4x+6y+10的值是多少? 解：本题没有给出x、y的值，而是已知2x+3y+78，这时易知2x+3y1，然后再观察4x+6y+10这个代数式，其式中的4x+6y正好是2x+3y的2倍，即4x+6y2(2x+3y)，所以4x+6y2，此时4x+6y+10的值就是2+1012了。五、会应用代数式解决实际问题 应用数学知识解决实际问题是学习数学的目的，灵活应用代数式，可以解决许多实际问题。 例4 用a米长的篱笆材料，在空地上围成一个绿化场地。现有两种设计方案：一种是围成正方形的场地；另一种是围成圆形的场地。试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大?并说明理由。 解：设S1、S2分别表示围成的正方形场地和圆形场地的面积，则 ， 4, . S2S1, 故应选用围成圆形场地的方案，它的面积较大。 例5 暑假里父亲、儿子、女儿准备外出旅行，咨询时了解到，甲旅行社规定：大人买一张全票，两个孩子的费用可按全票价的一半优惠；乙旅行社规定：三人旅行可按团体票计价，即按原价的60收费。已知两个旅行社的原价相同，问选择哪个旅行社，能多省钱? 解：设两个旅行社的原票价为a(a0)元，则甲旅行社的收费为a+20.5a2a(元)，乙旅行社的收费为360a=1.8a(元)。 因为2a1.8a，所以选择乙旅行社能多省钱。六、在列代数式中培养创新能力 “创新是一个民族的灵魂。”我们每个中学生都应具有创新意识，在数学学习中创新，就是要对自然界和社会中的数学现象具有好奇心，会从数学的角度发现和提出问题，并加以探索和解决。 例6 给出下列算式： 32-12=8=81, 52-32=16=82 72-52=24=83,92-72=32=84 观察上面一系列等式，你能发现什么规律?用代数式表述这个规律。 分析：观察可知左边是连续奇数的平方差(大数减小数)，右边是8的倍数，其规律可用代数式表述为(2n+1)2-(2n-1)2=8n(n为自然数)。 例7 问题：你能很快算出19952 吗? 为了解决这个问题，我们考察个位数为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可用代数式表示为10n+5，问题即求(10n+5)2 的值(n为自然数)，试分析n1，n2，n=3，这些简单情况，从中探索其中的规律，并归纳、猜想出结论(在下面空格内填上你的探索结果)。(1)通过计算，探索规律： 152=225,可写成1001(1+1)+25, 252=625,可写成1002(2+1)+25, 352=1225, 可写成1003(3+1)+25, 452=2025, 可写成1004(4+1)+25, 752=5625, 可写成_。852=7225，可写成_。 (2)从第(1)题的结果，归纳、猜想得： (10n+5)2_。(3)根据上面的归纳、猜想，请算出：19952_ 解：(1)l007(7+1)+25，1008 (8+1)+25； (2)100n(n+1)+25, n为自然数； (3)100199(199+1)+25=3980025。本例的实质是先用代数式表示出一般情况，再求特殊情况下代数式值的计算规律，归纳出一般性结论，再求这个一般性结论中代数式的值，体现了“特殊 一般 特殊”的思想方法，这正是用字母代数(从特殊到一般)后再求代数式值(从一般到特殊)这种思想方法的反复应用。 发现是创新的前提，以上两例要求同学们从具体、特殊的事例中探究其存在的规律，并把潜藏在现象中的本质挖掘出来，并用代数式加以表示。规律被找出，即是完成了一个创新过程。长期如此，你的创新意识会不断增强，创新能力将不断提高。北 京 四 中 代数式的值考点扫描:了解代数式的值的概念，会求代数式的值 名师精讲: 1代数式的值的概念：用数值代替代数式里的字母,按照代数式指明的运算,计算出的结果,叫做代数式的值。注意：（1）字母的取值必须确保代数式有意义。 （2）字母的取值要保证它本身表示的数量有意义。 （3）字母的取值不同，代数式的值也不同。 2求代数式的值的步骤是： （1）用字母的取值代替字母，要注意省略的乘号要写出来；若字母的取值是分数，并且是字母的平方或立方形式的，要添加括号，把分数括起来。 （2）根据代数式所表示的运算顺序，按有关运算法则计算出结果。 中考典例: 1（河南省）已知代数式3y2-2y+6的值为8，那么代数式的值为（ ） A、1 B、2 C、3 D、4 考点：求代数式的值评析：求代数式值的方法是：用字母的取值代替字母，根据代数式所表示的运算顺序按有关运算法则计算出结果。而该题给的不是字母的值，而是一个代数式3y2-2y+6的值，因此必须将另一个代数式转变成一个用3y2-2y+6表示的式子。通过观察，代数式可变为(3y2-2y+6)-2的形式。然后将3y2-2y+6的值代入，即可得到其值为2。故应选B。 解题过程如下： =（3y2-2y+6）-2 将3y2-2y+6=8代入，原式=2。 说明：该题是考查整体代入求代数式的值，可拓展为求6y2-4y+5的值等。北 京 四 中代数式 1选择题 (1)代数式2x-y2用语言叙述为( )(A)x的2倍与y的差的平方 (B)x与y的平方差的2倍 (C)x与y的差的2倍的平方 (D)x的2倍与y的平方的差 (2)电影院的座位一共有n行，每行的座位数比行数多10，则电影院共有座位( )(A)10n个 (B)(n-10)n个 (C)10(n-10)个 (D)10n+个 (3)若两数之积为24，其中一个数为M，则另一个数的2倍表示为( )(A)(B)(C)(D) (4)某个学校的学生共有a人，其中男生占53，则代数式(a-53a)表示的是( )(A)全体学生的人数 (B)全体女生的人数 (C)全体男生的人数 (D)全体学生的人数的半 2填空题 (1)n个队参加篮球比赛，每队有10人，参加比赛的队员共有_人。 (2)当a=5，b=4时，代数式3a2-2b的值是_。(3)长方形的周长为46，它的长是x厘米，它的面积是_。3求代数式的值 (1) ，其中a=5，b=7；