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数学简史论文 艺术中的数学【35】 班级：园艺（一）班 姓名：冯元伟学号：2011014014艺术中的数学引言：数学抽象的思辨、严密的推理、逻辑的论证、精确的计算，总揽全局而又步步为营的思维方式构造起号称为“思维的体操”的数学大厦的地基。而艺术是对哲学思想的变迁和艺术家们对多变的技术环境的反应的最直接的表现形式，艺术是浮想联翩、潇洒不羁、蔑视规律，跳跃的思维律动弥漫出若即若离的艺术图景。乍一看数学与艺术看作水火不容，但细细品味艺术家们开始使用数学的语言和思想并将其贯穿于五彩缤纷的艺术生活之中，鉴于辩证唯物论任何事物都是辨证统一的数学与艺术也蕴涵着内在的统一。 美国代数学家P.R.Halmos说“数学是创造性的艺术，因为数学家创造了美好的概念。数学是创造性的艺术因为数学家像艺术家一样的生活一样的工作一样的思索数学是创造性的艺术因为数学家这样对待它。”可见无论是数学还是艺术都是一种创造性的活动并且包含了对于美的直接追求。张继平教授说“美是人性的追求。”艺术是美的表达方式数学是美的语言数学追求美也创造美。数学与艺术的结合使美更加简明。随着人们物质生活的日益提高对自然精神生活的享受也会提升到更高的层次。就算我们日常生活中随处可见到的广告、海报、宣传品等实用艺术新兴出现的现代媒体艺术中。为吸引观众的眼球就必须运用数学鬼斧神工的创造力来产生艺术的无穷魅力。近几十年来在我国和许多国家出现了一种应用数学方法研究艺术的思潮。本文就从数学在音乐文学建筑绘画等方面的应用来研究艺术中渗透的数学思想和精神。一、 数学在音乐中的应用 音乐是心灵和情感在声音方面的外 化数学是客观事物高度抽象和逻辑思维的产物那么“多情”的音乐与“冷酷”的数学有关系吗。回答是肯定的西尔威斯特说过“难道不可以把音乐描述为感觉的数学把数学描述为理智的音乐吗拉莫说过“音乐是一种必须掌握一定规律的科学这些规律必须从明确的原则出发这个原则没有数学的帮助就不可能进行研究我必须承认虽然我在相当长时期的实践活动中获得许多经验但是只有数学能帮助我发展我的思想照亮我甚至没有发觉原来是黑暗的地方。”君不是也听说过微积分被称为“无限的交响乐”1、 黎曼几何与普兰克的钢琴合奏曲一样优美的感叹吗。从古至今数学与音乐一直联系在一起。 世界著名波兰作曲家和钢琴家肖邦很注意乐谱的数学规则形式和结构有位研究肖邦的专家称肖邦的乐谱“具有乐谱语言的数学特征”。事实上乐谱的书写是表现数学对音乐的影响的第一个显著的领域。在乐稿上我们看到速度节拍4/4拍、3/4拍等等；全音符、二分音符、四分音符、八分音符、十六分音符等等。书写乐谱是确定每小节内的某分音符数与求公分母的过程相似-不同长度的音符必须与某一拍所规定的小节相适应。 在毕达哥拉斯时代音乐是数学的一部分。毕达哥拉斯可以说是音乐理论的一位始祖他阐明了单弦的调和乐音与单弦长之间的关系。两根绷得一样紧的弦若一根长是另一根长的两倍就产生谐音而且两个谐音正好相差八度。若两弦长之比为32则产生另一种谐音此时短弦发出的音比长弦发出的音高五度。事实上产生每一种谐音的各种弦的长度都成正整数比这被认为是美丽旋律中的数学。 乐器的形状和结构与各种数学概念有关。不管是弦乐器还是有空气柱发声的管乐器它们的结构都反映出一条指数曲线的形状。此外18世纪的数学家通过用数学结构分析音乐使常微分方程的研究取得了一定进展。 黄金分割在作曲的应用在一些乐曲的创作技法上将高潮或者是音程节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点0.618处，例如要创作89节的乐曲其高潮便在55节处，如果是55节的乐曲高潮便在34节处。 2、学家傅立叶研究证实无论乐音复杂的还是简单的都可以用数学语言给以完全的描述。对乐声性质的研究中发现所有乐声-器乐和声乐-都可用数学式来描述这些数学式是简单的周期正弦函数的和。 如果不了解音乐中的数学在计算机对于音乐创作和乐器设计的应用方面就不可能进展。数学发现具体地说即周期函数在乐器的现代设计和声控计算机的设计方面是必不可少的。许多乐器制造者把他们的产品的周期声音曲线与这些乐器的理想曲线相比较.电子音乐复制的保真度也与周期曲线密切相关。二、在绘画中的应用 在数学与绘画之间似乎没有什么明显的相似之处，但数与形的概念可以上溯至远古的石器时代。数起源于数先民们把现实对象野牛野猪羊鹿的轮廓抽象出来绘在壁上并用代表不同意义的符号记录牲畜的头数和发生的各类事情，这些原始绘画和记号已具有几何对称的特征和一定的数的意义。 当我们每每看到一幅幅绘画作品时我们应该感叹数学美。达芬奇说“绘画的目的是再现自然界而绘画的价值就在于精确的再现因此绘画是一门科学和其他科学一样其基础是数学。”从古至今数学中的一些思想和精神指导着图形艺术的发展。现就从以下几个方面来谈。 数学中的黄金分割美。公元年古希腊学者发现了“黄金”长方形即长方形的长和宽之比为.最佳这个比叫做黄金分割比。把.的倒数.称为黄金分割数。 许多优美的图形之中都蕴涵了黄金分割的思想，如五角星图形五条边相互分割成黄金比，黄金矩形宽与长之比为黄金数，黄金三角形底与腰或腰与底成黄金比，黄金椭圆短轴与长轴之比成黄金数，黄金双曲线实半轴与半焦距之比为黄金数。 在荷兰美术家埃舍尔的艺术作品中他直接运用大量的平面几何和摄影几何的结构使得他的作品中深刻的反映了非欧几何学的精髓。现就他作品来分析渗透在其中的数学思想。 绘画中的平面镶嵌理论和空间镶嵌理论。“骑士平面镶嵌”和“黑白鸟的镶嵌”两幅平面镶嵌图就是大胆运用镶嵌理论而来。平面镶嵌就是用同样形状的平面几何图形无缝隙又不重复地铺满整个平面。让人眼花缭乱扑朔迷离的平面镶嵌中可归纳出以下几种不同的镶嵌。.相同正多边形正三角形正方形正六边形镶嵌。.几种不同正多边形的镶嵌图。.一般凸多边形非正多边形的平面镶嵌三角形都可以镶嵌一个平面任何凸四边形都可以镶嵌一个平面对于凸五边形只有特定的凸五边形方可以镶嵌一个平面对于凸六边形也只有特定的凸六边形三组对边平行才可以平面镶嵌。.凹多边形的平面镶嵌。.重复花样图形的镶嵌。.几种精彩的平面镶嵌黑白图案的平面镶嵌变形矩形的平面镶嵌曲边形的平面镶嵌。在“立方空间分割”中我们可以获得空间镶嵌理论的概念。 绘画中的几何学思想。从抽象派艺术大师毕加索的不少作品中可以看到几何图形描绘对象的手法把形体变成有重叠的或透明的几何面块所组成的抽象构图。埃舍尔的作品木版画“三个方向交叉的平面”显示了艺术家对空间维度的关心以及用二维的方式来表现三维空间的能力。 绘画中的射影几何。1、几何研究的是平面图形在经受投影时不发生变化的一些特性。为了创造现实主义的三维绘画艺术家们用了射影几何中的一些概念即投影点平行会聚线和没影点。以埃舍尔的作品“上升和下降”为例他精心使用了透视画法规律在构图上把视点放在一个静止不动的点上画出了一队爬上楼梯的士兵。 绘画中的拓扑学拓扑学关注的是空间那些扭曲后依然不变的性质这种扭曲可以是拉长或弯曲但不是撕裂或折断。以埃舍尔的作品木刻画“莫比乌斯带”为例莫比乌斯带是德国数学家莫比乌斯于年创造的莫比乌斯带实则是用一张长方形的纸条扭转半圈并将端头粘接在一起的带子。 绘画中的无穷大思想。在埃舍尔的作品“旋涡”中螺线把人们的目光带上无尽的旅程。在“方极限”中凸现出趋向边界又无穷序列的感觉。 绘画中的分形理论。分形是以无限多的形状呈现出来的美妙物体。分形不但是数学而且也是艺术。欣赏分形图画不但惊异数学的奥妙也欣赏到数学艺术的美。例如在道琼斯指数中某一个阶段的曲线图总和另外一个更长的阶段的曲线图极为相似。 近代计算技术已将数学与美术这两者紧密地结合起来从而形成了一门崭新的边缘学科-数学美术学。41980年当计算机的图形功能日趋完善的时候数学公式所具有的美学价值被曼德布尔鲁斯所发现这就打开了数学美术宝库的大门使常人也有幸目睹了数学公式所蕴藏的美学内涵。由一些简单的数学公式经过上亿次迭代计算所产生的数学美术作品美在似与不似之间从而为观众留下了丰富的想象余地。 三、在文学中的应用 文学与数学看似风马牛不相及的两条道上跑的车实则文学与数学有着奇妙的同一性，雨果说“数学到了最后阶段就遇到想像在圆锥曲线对数概率微积分中想象成了计算的系数于是数学也成了诗。”哈佛大学的亚瑟.杰费说“人们把数学对于我们社会的贡献比喻为空气和食物对生命的作用。我们大家都生活在数学的时代我们的文化已数学化。” 1、小说中的数学思想说“甚至在数学科学中也有惊人的想象。”马德莱娜.伦格尔在她的长篇小说时间皱纹中把抄立方体和高维空间用作使她的人物越过外层空间的工具。“对五维来说你必须将第四维平方再加上其余四个维于是你就能越过空间而无需绕长路。换言之直线不是两点间的最短距离。” 伊塔洛卡尔维诺在他的短篇小说一切在一点上中描述了一个存在于仅一点的世界。他的独特创造力使人们相信这样一个零维世界是真的存在的。“自然我们都在那儿老Qfwfg说此外我们还能在哪儿呢既然没人知道可以有空间。时间也是如此我们既然挤在一起像沙丁鱼一样，要时间干什么呢？我说挤得像沙丁鱼是用了文学上的形象比喻，实际上根本没有空间可以把我们挤进去。我们中间每一个人的每一点都同其他每个人的每一点重合在仅仅一个点上，这就是我们大家的所在地。” 生活在中世纪的但丁在他作品神曲中我们发现欧几里的几何对象是但丁书中的地狱基础。圆锥形状用来把人们放在地狱的各个阶段。在地狱里面但丁使九个圆形截面起着把人们按照所犯的罪分类的坛坫的作用。 星际旅行下一代中的数学思想：其中一段情节中星际飞船正被一个“看不见的”力拉向黑洞。只是当飞船的图象监视器改变了观察的着眼点船员们才知道这未知力是微小生命形式的一个二维世界。 2、诗中的数学意境，在我国的古诗名句中能找到一种数学意境让人遐想让人品味。如唐代诗人王维在使至塞上中的绝唱“大漠孤烟直”在数学家眼中便成了一条垂直于平面的直线“长河落日圆”在数学家眼中便是一个圆切于一条直线。李白在黄鹤楼送孟浩然之广陵中写到“孤帆远影碧空尽唯见长江天际流”当我们在理解无穷小量是以零为极限的变量时如果脑海中能出现一幅“一叶孤舟随着江流远去帆影在逐渐缩小最终消失在水天一际之中”这样的图景数学概念也就融合在这美的诗意中了。3、 数学中的谜语，数学谜语是根据数学概念定义和某些数学知识的主要特征用形象生动的语句来创造的它注重正反相扣底面照应明示暗喻巧构别解。定义概念类谜语。如两牛打架对顶角五分钱半角。联想巧“比”类谜语。如减法没算对误差身高立体几何。有关“数”的名词类谜语。如会计查帐对数考试舞弊假分数。数字类谜语。1/100百里挑一300303333三位一体。“数言诗”谜语。 百日依山尽 黄河入海流欲穷千里目更上一层楼1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 用这首诗的4个字组成一句成语，其中第一个字是第二个字的9倍，第四个字比第三个字多1，第二个字是第四个字的1/7，第三个字比第一个字之半多4，这句成语为一日千里。 文学中的模糊现象。4、诗看牡丹中写到“发从今日白”。此句所表达的是诗人的一种感情感受它把本无那样确切的事实加以明确。此种现象体现出了数学模糊思想。 数学中有回文数诗中有回文诗。在正整数中有一种无论从左往右还是从右往左读都是一个数称这样的数为“回文数”。有一种诗顺念倒念有意思称这样的诗为“回文诗”。如云边月影沙边雁水外天光山外树。倒过来读便是树外山光天外水雁边沙影月边云。其意境和韵味读来真是一种享受 四、数学在建筑中的运用 几千年来数学一直是用于设计和建造的一个很宝贵的工具。它一直是建筑设计思想的一种来源也是建筑师用来得以排除建筑上的试错技术的手段。 现就一些建筑物的例子来谈数学。为建造埃及墨西哥和尤卡坦的金字塔而计算石块的大小形状数量和排列的工作依靠的是有关直角三角形正方形毕达哥拉斯定理体积和估计的知识。秘鲁古迹马丘比丘的设计的规则性没有几何计划是不可能的。圆半圆半球和拱顶的创新用法成了罗马建筑师引进并加以完善的主要数学思想。随着新的建筑材料的发现人们便用一些新的数学思想来使这些材料的潜力达到最大。建筑师们通过大量的想象运用数学思想使得建筑物的设计发展很快。 黄金分割的应用4600年前埃及建成的最大的胡夫金字塔该塔高146米底部正方形边长232米两者之比为.0.629在2400年前古希腊在雅典城南部卫城山冈上修建的供奉庇护神雅典娜的巴特农神殿其正立面的长与宽之比为黄金比于1976年竣工的加拿大多伦多电视塔塔高553.3米而其七层的工作厅建于340米的半空其比为3405530.615黄金分割比具有非常悦目的美能使建筑物看来和谐协调。 曲线数学的应用曲线以其活泼变化的外形惹人喜爱耐人寻味。拱是建筑上一个出色的成就。拱有过许多数学曲线的形状圆椭圆抛物线悬链线。从而形成半圆形拱内外四心桃尖拱抛物线拱椭圆拱尖顶或等边拱弓形拱对角斜拱上心拱横拱马蹄形拱三叶形拱凯旋门拱减压拱三角形拱半拱横隔拱实拱或伪拱。事实上还有一些奇妙的曲线在欧洲巴罗克建筑风格时期得到了很好的应用。如黄金矩形序列螺形线对数螺线圆的渐伸线旋轮线摆线星形线四个直纹面交会。 建筑的形状和形式是三维数学对象许多对象来自欧几里得几何例如矩形的或正方形的立体角锥圆锥球曲面立体帐篷结构和网格球顶。如果设计特点包括预制适应性和扩展性则要用到平面和空间镶嵌的思想。能镶嵌平面的任何形状像三角形正方形六边形和其他多边形可以改造得适用于空间居住单元。可以使用立方体和直平行六面体来填塞空间。有些模数制设计可能用菱形十二面体或截头八面体。 三维空间的体现弗兰克.劳埃德.赖特说“建筑是使结构表达思想的科学艺术。”在他的结构设计中内外空间合而为一。此种建筑我们称之为有机建筑-你在里面感到和看到所有这一切都作为第三维而发生.空间通过第三维而获得生命。 五、在雕塑中的应用 维空间重心对称几何对象和补集都是在雕塑家进行创作时起作用的数学概念。重心是雕塑品内部的一点这些雕塑品固定在地面上它们占有空间的方式是我们感到舒服或习惯的。如米开朗琪罗的大卫古希腊艺术家米隆的掷铁饼者的重心都在雕塑品内部。 重心可以是空间中一点而不是作品中的一点如野口勇的红立方，查尔斯.佩里的食。 艺术家构想中的作品往往需要数学上对其物理性质的理解和认识才能成为现实可能的作品。 今天的数学思想扩充了艺术如托尼.罗宾利用对拟晶体几何第四维几何和计算机科学的研究来发展和扩充他的艺术。罗纳德.戴尔.雷什在创作复活节彩蛋巨型雕塑时用了直观独创性数学计算机加上他的手来完成。艺术家兼数学家赫拉曼R.P.弗格森运用传统雕塑计算机和数学方程创造了野球带有十字形帽和向量场的克莱茵瓶因此有数学模型即艺术模型之说。在这些模型中有立方体球形环面三叶形纽结等等。 欧几里得几何和拓扑学汇中的数学对象在艺术家的雕塑中起过重要的作用。比如，勒威特的雕塑。 为获得雕像的整体效应艺术家往往采用几何形构图。如古希腊的人物造型用S型中世纪用梯形更多的大型雕塑用稳定的三角形。 不管是什么样的雕塑里面都存在着数学。虽然它在被设想出来和创造成功时可以不用数学思维然而数学存在于那件作品中正像它存在于自然界万物中一样。 六、 数学在计算机艺术中的应用 计算机是数学的艺术品。现实世界的二进制数得以在计算机中重构其镜像的虚拟世界。数字直接求其二进制形式字符，通过字库得以编号获得在计算机世界中的识别号，声音通过间断点采集的方式从连续型转换为离散型，得到.wav.mpeg.mp3等文件形式图像也通过数学计算得以数字化。 现实世界的数