网络的稳定性、无源性和耗散性.doc

电网络分析选论结课论文网络的稳定性、无源性和耗散性目录第1章概述1第2章网络的稳定性22.1系统平衡点稳定性定义22.1.1自治系统平衡点稳定性22.1.2时变系统平衡点稳定性32.2平衡点稳定性判别方法42.2.1自治系统平衡点稳定性判据42.2.2时变系统平衡点稳定性判别62.3Lyapunov函数的构造方法62.4稳定性72.5增益82.6小增益定理9第3章网络的无源性103.1无源性的概念103.2无源性条件11第4章网络的耗散性134.1耗散性定义134.2耗散性意义：14第5章三者之间的关系155.1无源性与稳定性关系155.2无源性与耗散性的关系15参考文献16网络的稳定性、无源性和耗散性第1章 概述稳定是系统能够正常运行的前提必要条件。论文介绍了非线性系统平衡点Lyapunov稳定性分析理论，包括各种稳定形式的严格数学定义、稳定性判别定理。另外，从映射或算子的角度给出了非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。无源性的概念是与实际系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。它把系统Lyapunov稳定性和稳定性联系在一起，为分析非线性系统平衡点处Lyapunov稳定性和系统输入输出稳定性提供了方便直观的工具。论文介绍了无源性定义和条件。将无源性的概念扩展，即可引入与系统性能准则相关的系统耗散性的概念，这为分析非线性系统抗扰性能提供了有力工具。论文对耗散性概念、条件和意义进行了阐述。论文还表明了三者之间的关系。21第2章 网络的稳定性对于实际工程中的动态系统来讲，稳定性是最基本的要求。对于非线性系统的稳定性分析，存在许多不同类型的稳定性问题1。例如，Lyapunov稳定性无外部信号激励的情况下，系统的状态能够从任意的初始点回到自身所固有的平衡状态的特性。因此，也称为平衡点的Lyapunov稳定性。输入-输出稳定性和输入-状态稳定性在有界的外部信号激励下，系统的输出和状态响应能够停留在有界的范围内的稳定特性，输入-输出稳定性也叫有界输入有界输出(BIBO)稳定性。对于线性系统来讲，平衡点的Lyapunov稳定性和输入-状态(或输出)稳定性实际上是等价的，但是对于一般的非线性系统则不然。下面1-3节讨论平衡点的Lyapunov稳定性，4-6节讨论输入-状态(或输出)稳定性。2.1 系统平衡点稳定性定义2.1.1 自治系统平衡点稳定性考虑如下所描述的非线性自治系统：式中，为状态变量；是关于局部Lipschitz的；是系统初始条件。假设为包含点的域，且为式系统的一个平衡点，即。根据微分方程理论可知，在是关于局部Lipschitz的条件下，对于任意初始条件，式系统的解在上有定义且是连续的。以后的讨论中，除非特别声明，均假设系统满足上述解的存在性条件。需指出，这里只讨论平衡点在坐标原点的稳定性问题。这是不失一般性的。因为任何平衡点均可通过坐标变量变换而移到原点，如，则令，那么，就有，平衡点为。为此，对于式系统有如下的一些平衡点稳定性定义。定义2.1（Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的，存在一个常数，使得对任意满足的初始条件，式系统的解满足则称式系统在平衡点处是Lyapunov稳定的，简称稳定。定义2.2（渐近稳定性）如果式系统的平衡点是稳定的，且选取使得或等价地，存在和，使得，则称式系统在平衡点处是渐近稳定的。定义2.3（指数稳定性）如果存在常数，使得对任意满足的初始条件，式系统的解满足则称式系统在平衡点处是指数稳定的。定义2.4（不稳定）如果对于某一个，不管多么小，至少存在一个，使得时，式系统的解有则称式系统在平衡点处是不稳定的。注2.1 由上述定义可以知道，一个系统在平衡点处如果是指数稳定的，就一定是渐近稳定的、Lyapunov稳定的，如果是渐近稳定的就一定是Lyapunov稳定的；但反之，若是Lyapunov稳定的，不一定是渐近稳定的，是渐近稳定的，不一定是指数稳定的。注2.2 对于非线性系统，还要注意局部稳定性和全局稳定性的概念。局部稳定性是指对于，性能成立。而全局稳定性是指，性能均成立。注2.3 对于线性定常系统，渐近稳定性总是全局的和指数稳定的，不稳定总是隐含指数发散的。只有非线性系统才区别渐近稳定性、指数稳定性、全局稳定和局部稳定。线性系统的局部稳定性和全局稳定性是一致的，因为线性系统只有一个平衡点，平衡点的稳定性，即是系统的全局稳定性。2.1.2 时变系统平衡点稳定性考虑非线性时变系统式中，为状态变量；为时间变量；是的分段连续函数，且关于在上局部Lipschitz，是包含原点的域。，即是平衡点。同样，也只研究平衡点在原点的情况。如果平衡点不在原点，可以通过坐标变换将其移到原点。例如，假设系统的解为，通过坐标变换，系统变换为因此，原点是系统在时的一个平衡点，可以通过判别被变换系统在原点的稳定性能，来确定原系统解的稳定性能。对于任意初始条件，式系统的解在上有定义且是连续的。非自治系统平衡点处的稳定性概念与上面介绍的自治系统的稳定性概念基本相同，不同的是自治系统的解仅依赖于，而非自治系统的解既依赖于，又依赖于。因此，对于非自治系统，各种稳定性的定义需要修改，而且需要更详细的划分。定义2.5（Lyapunov稳定性和一致Lyapunov稳定性）如果对于任意给定的及初始时刻，存在一个常数，使得对任意满足的初始条件，式系统的解满足则称平衡点是Lyapunov稳定的。如果在上述定义中，而与无关，则称平衡点是一致Lyapunov稳定的。如果式对任意成立，则称平衡点是全局稳定的。定义2.6（渐近稳定性和一致渐近稳定性）如果式系统的平衡点是稳定的，且存在使得则称平衡点是渐近稳定的。如果平衡点是渐近稳定的，且存在的与无关，则称平衡点是一致渐近稳定的。如果平衡点是一致稳定的，且对于每对正数和，存在，使得则称平衡点是全局一致渐近稳定的。定义2.7（指数稳定性）若式系统在平衡点是渐近稳定的，且存在正数和，使得下式成立：则称平衡点是指数稳定的。如果式对任意成立，则称平衡点全局指数稳定。需指出，时变系统平衡点的指数稳定即为一致指数稳定。2.2 平衡点稳定性判别方法第2.1节给出了系统平衡点各种稳定性的定义，平衡点的稳定性是可以根据这些定义来判别的，但是直接由定义进行系统稳定性判别，有时候是很困难的，因此，控制理论发展了平衡点稳定性判别方法。2.2.1 自治系统平衡点稳定性判据1. Lyapunov稳定性定理定理2.1 对于式系统，令是平衡点，是包含的域，是连续可微函数。如果在内，有(1)，且，即在内是正定函数；(2),即是半负定函数。则系统在平衡点处是Lyapunov稳定的。2. 渐近稳定性定理定理2.2 对于式系统，令是平衡点，是包含的域，是连续可微函数。如果在内，有(1)，且，即在内是正定函数；(2),且即是负定函数。则系统在平衡点处是渐近稳定的。定理2.3 （全局渐近稳定）对于式系统，令是平衡点，是连续可微函数。如果(1)，；(2),。则系统在平衡点处是全局渐近稳定的。3. 指数稳定性定理定理2.4 对于式系统，令是平衡点，是包含的域。如果存在连续函数，常数，使得对任意的，有(1)；(2)。则系统在平衡点处是局部指数稳定的。如果对于任意的，条件（1）、（2）都成立，则平衡点是全局指数稳定的。4. 不稳定定理定理2.5 对于式系统，令是平衡点，是包含的域。若存在连续可微函数，有，并且对于在原点的任意小邻域内（很小）有。同时，定义集合，在域内。则此时系统在平衡点是不稳定的。5. 线性定常系统稳定性判别现在考虑自治系统的特例线性定常系统的情况。线性定常系统描述为其中，是非奇异阵。式系统有唯一的平衡点。则平衡点的稳定性可由如下定理判别。定理2.6 对于式系统，平衡点是渐近稳定的充要条件是矩阵的所有特征根满足，即矩阵为Hurwitz矩阵。而矩阵特征根均为负实部，当且仅当对任意给定的正定对称阵，存在满足如下Lyapunov方程的对称正定阵，而且，如果阵是稳定阵，那么，是方程的唯一解。6. 非线性系统的线性化考虑式非线性系统，其中，是连续可微的函数，包含在中，且是平衡点，。由中值定理有其中，是连接与原点的线段上的一点。由于，则所以有其中，。函数满足不等式，由于的连续性，有当时，。这意味着在原点的很小的邻域内，非线性系统可以用它的关于原点的线性化来近似表示，则在原点的稳定性可以用其近似方程中矩阵来判别。进而有下面的Lyapunov间接定理。定理2.7 对于式系统，是平衡点，连续可微，是原点的一个邻域。令，则(1)如果的所有特征根均为负实部，原点是渐近稳定的。(2)如果的特征根有一个或多个，原点是不稳定的。注2.4 定理2.7并未给出对于所有的特征根，对于一些特征根的情况的结论，在这种情况下，用线性化不能确定原点的稳定性。2.2.2 时变系统平衡点稳定性判别本节将讨论式时变系统的平衡点是稳定或渐近稳定的条件。注意，与自治系统相比，时变系统的稳定性分析增加了一致性的概念。设是原点的一个邻域，是初始时刻。定理2.8 （Lyapunov稳定定理）对于式系统，若存在连续可微的正定函数，并且沿式系统的轨迹对的导数是连续半负定的，则是该系统稳定的平衡点。若是正定且渐小的，即存在正定函数，使得，则平衡点是一致Lyapunov稳定的。定理2.9 （渐近稳定定理）对于式系统，若存在连续可微函数，和连续正定函数，使得和沿式系统的任意轨迹的时间导数满足(1)(2)则是该系统的一致渐近稳定的平衡点。如果，是径向无界，则是该系统的全局一致渐近稳定的平衡点。定理2.10 对于式系统，若是系统的Lyapunov函数，且满足(1)；(2)。其中，为给定常数，则零解是指数稳定的。2.3 Lyapunov函数的构造方法以下是一些实际中常采用的函数构造方法。1. 线性定常系统：取，解，求出，由的正定性判别系统稳定性。因此，函数构造为。2. 线性时变系统：取，解，求出，由连续、对称、正定判别系统稳定性。因此，函数构造为。3. 非线性自治系统：(1)Jacobian矩阵法先计算Jacobian矩阵，选取，为对称正定阵，则的时间导数为令，则给定，求出，由的正定性判别系统稳定性。特例，则，是克拉索夫斯基法。(2)变量梯度法由，其中，若选取使得为负，同时满足旋度方程，则在此条件下求得2.4 稳定性一般将非线性系统的动态过程描述为如下的状态空间表达式形式：式中，为该系统的内部状态；为系统外部输入信号；为系统输出信号。在考虑外部输入信号作用下系统的输出响应特性分析时，可以采用输入输出法来建模非线性系统，就像可以采用传递函数这种外部描述法来建模线性系统一样。即非线性系统输入-输出之间关系被描述为如下形式：其中，代表某种映射或算子，指定了输入和输出之间的关系。下面研究工程系统的品质特性，即从映射或算子的角度给出非线性系统输入输出稳定性的定义与判别方法。1. 稳定性定义定义2.8 考虑式非线性系统，其中算子。如果存在定义在上的函数和一个非负常数，使得对任意，有成立，则称算子是稳定的。其中表示向量空间的范数。定义2.9 考虑式非线性系统，其中算子。如果存在非负常数和，使得对任意，有成立，则称算子是有限增益稳定的。注2.5 如果，是一致有界信号的空间，则稳定性即为有界输入有界输出稳定性。显然BIBO稳定意味着任何一个有界输入的激励响应都是有界的。由于范数的等价性，表征BIBO稳定的定义不局限于空间或-范数。实际上，只要输入信号在某种范数意义下有界时，输出信号也在同一范数意义下是有界的，则可称该系统是BIBO稳定的。定义2.10 考虑式非线性系统，其中算子。如果存在正常数，使得对所有具有的，有不等式或不等式成立，则称算子是小信号稳定的或小信号有限增益稳定的。2.5 增益稳定性在系统分析中起着特殊的作用，因为是平方可积信号，因此常可看成为有限的能量信号。在许多抗干扰控制问题中，系统可以被看成是从一个干扰输入到一个被控制输出的输入输出映射，希望输出信号很小。如果使用输入信号，那么，控制设计的目的是保证输入输出映射是有限增益稳定的，并且使系统的增益最小。定理2.11 考虑线性定常系统其中，为Hurwitz矩阵。设，则系统的增益是即。定理2.12 考虑非线性自治系统式中，是局部Lipschiz的，在上连续，且。如果存在一个连续可微的半正定函数和一个正数，使得如下不等式成立：那么，对于所有的，系统是有限增益稳定的，且它的增益不大于。2.6 小增益定理图 21中的系统是由两个子系统和反馈连接构成的。假设两图 21 反馈连接系统个系统都是有限增益稳定的，即有进一步假设对每对输入和，都存在唯一的输出和，在此意义下反馈系统有明确的定义下面的小增益定理给出了反馈连接系统有限增益稳定性的一个条件。定理2.13（小增益定理）对于图 21 反馈连接系统，在前面的假设条件下，如果，则反馈连接系统是有限增益稳定的。第3章 网络的无源性无源性的概念来源于电网络和物理学的分支3，是与系统的能量存储函数以及外部输入和输出信号相关的概念。因此，无源性很好地把系统Lyapunov稳定性和稳定性联系起来，为分析非线性系统提供了一个有力的工具。由于无源性理论利用了物理系统的结构特点，无源性方法和其它控制技巧结合使用时，可以简化相应的控制方法，用无源化方法设计的非线性观察器观测器可以减少观测器的参数，而且它也可以简化自适应控制，鲁棒控制，滑模控制控制，神经网络和模糊控制。近年来，无源性理论广泛应用于控制系统设计，机器人控制，机械系统，电力系统和化工过程等方面3,4。3.1 无源性的概念无源性的概念来源于电网络，所以用电路来阐述该定义。图 21图 31所示是电压为，电流为的单端口电阻元件，把该元件看成是以电压为输入，电流为输出的系统。，为电导。图 31 无源电阻如果输入功率始终是非负，即如果在特性的每个点都满足，则该电阻元件是无源的。对于一个多端口的网络，和是向量，流入网络的功率是内积。如果对于所有都有，则认为网络是无源的。是无源性的极限情况。在这种情况下，认为系统是无损耗的。首先把这一无源性概念推广到无记忆非线性函数其中，。定义3.1 考虑式系统，（1）如果，则系统是无源的；（2）如果，则系统是无损的；（3）如果存在某一函数，满足，则系统是输入前馈无源的；（4）如果满足，且，则系统是输入严格无源的；（5）如果存在某一函数，满足，则系统是输出反馈无源的；（6）如果满足，且，则系统是输出严格无源的。以下定义由状态空间表达式描述的非线性系统的无源性，其中，状态向量，为空间中含原点的子集或者整个空间，和分别为维的输入信号和输出信号。是局部Lipschitz的，是连续的，且，。定义3.2 对于式系统，如果存在连续可微的半正定的函数，使得对任意的输入信号都成立，则称式系统是无源的。则称为能量存储函数，简称存储函数，式称为耗散不等式。若式中只取不等号，或者存在正定函数，使得耗散不等式对任意的输入信号都成立，则称该系统是严格无源的。如果不是整个空间，即只考虑局部特性，那么耗散不等式不要求对任意的输入都成立，而是对那些使得状态停留在内的输入信号成立即可。显然，由上述定义可知，无源性是与系统的外部输入、输出信号相关的概念。如果视为系统在时刻所具有的能量总和，那么耗散不等式的左端就代表系统从初始时刻到时刻的能量的总增量。如果进一步把解释为伴随着输入由外部注入到系统的能量供给率，那么式的右端就是在时间从外部注入系统的能量总和。因此，耗散不等式的物理意义就在于，它表明系统的能量由初始时刻到目前时刻的增长量总是小于等于外部注入的能量总和。这就意味着无源系统的运动总是伴随着能量的损耗。下面给出针对系统给出一些无源性相关定义。定义3.3 对于式系统，如果存在连续可微的半正定的函数，使得则称式系统是无源的，其中是非负常数，是的一个正定函数，且对于所有的解和任意使解存在的，有。更进一步，有（1）如果，且有，系统是无损的；（2）如果，即，系统是输入严格无源的；（3）如果，即，系统是输出严格无源的；（4）如果，即，系统是状态严格无源的；（5）如果中多于一个为正，则可以合并命名，例如，则系统是输入输出严格无源的。3.2 无源性条件考虑非线性系统式中，和分别为状态向量、输入信号和输出信号。和分别为维和维的函数向量；为维的函数矩阵；为维的函数矩阵。定义3.4 对于式系统，若存在半正定函数、函数矩阵及，使得成立，则称式系统具有KYP特性。定理3.1 式系统是无源的充分必要条件是存在光滑可微的半正定存储函数，使得该系统具有KYP特性。考虑线性系统注意到式线性系统是式非线性系统的特例。定理3.2 线性时不变最小实现为式系统，传递函数为（1）如果是正实的，则系统是无源的；（2）如果是严格正实的，则系统是严格无源的。第4章 网络的耗散性第3.1节中所介绍的无源性概念，反映了系统在运动过程中能量的耗损特性。对系统耗散不等式的这种物理解释实际上基于一种前提，即存储函数表示系统在状态所具有的能量综合。代表单位时间内随输入信号注入系统的能量供给率。如果考虑更一般的供给率，即单位时间内由外部注入的能量为输入-输出信号的更一般的函数，那么耗散不等式为同样反映了所对应的能量耗损特性。耗散性和作为其特例的无源性概念广泛存在与物理学、应用数学及其力学等领域。它们在控制领域里的应用起源于Kalman、popov、Yakubocich和Willems等在超稳定性，正实性等方面开创性的工作，后经众多控制工作者的共同努力形成了系统的耗散性和无源性理论。耗散系统在任意时刻所具有的能量总是小于或等于系统初始时刻的能量和外部提供的能量之和，这种物理意义和无源性完全相同，只是在能量供给方式上更具有一般性5。关于线性系统的耗散性研究，线性定常系统的无源性或传递函数的正实性首先是人们关注的焦点。传递函数的正实性是线性定常系统的一种重要性质，在绝对稳定性分析、超稳定性理论、无源性分析、二次优化控制及自适应控制理论等多个领域中应用广泛。近年来，受鲁棒稳定性分析中参数化方法的刺激，正实性综合受到了广泛的关注。关于非线性系统的耗散性研究，一般非线性系统的耗散性研究主要集中在仿射系统的无源性及无源化上。Molan将KYP引理推广到了仿射非线性系统的情形，并证明了对仿射非线性系统，在局部能控的假设下，输入输出无源性和基于状态空间的无源性定义是等价的。而Hill研究了无源性和稳定性之间的关系，揭示出零状态可观系统的储能函数是正定的，从而断定这样的无源系统是稳定的，并进一步指出此时系统可通过无记忆输出反馈渐近镇定。这就是说，对无源系统，只要零状态可观测。简单的单位负反馈就可使系统渐进稳定6。这些研究成果为控制系统的无源性设计方法奠定了理论基础。无源性理论是当今非线性系统分析和设计的重要工具，而使系统无源即系统的无源化成为基于无源分析的控制系统设计的关键。本文从非线性系统出发，给出耗散性的定义和相关性质。4.1 耗散性定义定义4.1 考虑式系统及能量供给率。若存在半正定的存储函数使得耗散不等式对于任意输入成立，则称该系统对能量供给率是耗散的。显然，无源性是耗散性的一种特例，即如果系统对于供给率是耗散的，那么就称该系统是无源的。在非线性控制理论中，还有一种重要的供给率就是所谓的供给率其中，为给定正数。表示对向量的欧几里得范数。如果式系统对于式供给率是耗散的，则称该系统是耗散的。如果式系统是耗散的，那么，沿任意零初始状态所对应的轨迹，不等式对于任意的输入都成立，注意到，即对任意，有。如果进一步假设系统对于任意，有，那么，该系统作为输入信号空间到输出信号空间的算子，其诱导范数满足式中，为范数，或者对于任意给定的成立。不等式的左端为式系统的范数的定义。若式或式成立，则称式系统具有小于或等于的增益。当存储函数光滑可微时，耗散不等式就可以等价地表示为其微分形式或者耗散不等式等价于。综合上述讨论。，有下面的引理。引理4.1 对于给定的正数，若式系统是耗散的，则该系统具有小于或等于的增益。定理4.1 考虑式非线性系统。对于给定的正数，存在光滑可微的存储函数使得系统是耗散的充分必要条件是成立，且存在适合的函数向量和满足推论4.1 对于给定的，式系统对于二次型正定存储函数是耗散的充分必要条件是存在适当的矩阵使得成立。其中，为满足的任意矩阵。4.2 耗散性意义：耗散理论从一类耗能网络中抽象出来具有广泛的工程背景，已经成为自适应系统、非线性系统、鲁棒控制系统设计的重要工具。而耗散控制可将控制和无源控制统一起来，为控制系统设计提供一种更灵活、保守性较小的方法。不仅如此，耗散控制也是鲁棒控制系统设计的重要方法。另外，由于实际系统难以精确描述，运行过程中也有各种各样的不确定性，解决了鲁棒耗散问题才能使耗散理论的应用更加有效，所以研究不确定系统的鲁棒耗散控制问题既有重要的理论价值也具有重要的实际意义。研究耗散性和无源性理论的主要出发点在于他们运用基于能量的输入输出描述给出了控制系统分析和设计的新框架，对系统控制的诸多方面都起到很大的推动作用。具体的说，第一、他们为李雅普诺夫函数的构造提供了新方法。在现代理论中，经常要用到李雅普诺夫函数，但其实际可行的构造方法并不多，而无源系统的存储函数在一定条件下便可以作为李雅普诺夫函数。这个事实也为无源性理论和非线性系统集几何理论的深入结合来解决系统控制问题提供了良好的基础：第二、应用它们可方便研究受控动态系统的诸如系统镇定，调节问题，鲁棒控制，自适应控制，最优控制以及控制等重要课题。不仅在控制理论方面有着重要的作用，耗散性和无源性理论在许多实际系统，如机器人系统，电机系统，内燃机工程，化工过程等的研究中扮演着很重要的角色，有时甚至不可或缺。综上所述，系统的耗散性和无源性理论研究不仅具有重要的理论意义，而且具有广阔的应用前景，是一个很有价值的研究课题。第5章 三者之间的关系5.1 无源性与稳定性关系无源性与稳定性间的紧密联系可以从两方面得到体现：l、无源系统的KYP引理；2、无源系统的正定存储函数可以作为李雅普诺夫函数。无源系统并不是稳定系统的子集，无源系统加上可探测性条件才会是稳定的4。主要讨论系统无源性与系统平衡点稳定性和系统输入