2018版高考数学复习不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理.docx

第七章 不等式 7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 理1二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式AxByC0在平面直角坐标系中表示直线AxByC0某一侧所有点组成的平面区域我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线当我们在坐标系中画不等式AxByC0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线(2)由于对直线AxByC0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入AxByC，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0By0C的符号即可判断AxByC0表示的直线是AxByC0哪一侧的平面区域2线性规划相关概念名称意义约束条件由变量x，y组成的一次不等式线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组目标函数欲求最大值或最小值的函数线性目标函数关于x，y的一次解析式可行解满足线性约束条件的解可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题3.重要结论画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证【知识拓展】1利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：对于AxByC0或AxByC0时，区域为直线AxByC0的上方；(2)当B(AxByC)0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线AxByC0同侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，异侧的充要条件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(4)第二、四象限表示的平面区域可以用不等式xy0，x，y满足约束条件若z2xy的最小值为1，则a_.答案(1)5(2)解析(1)显然，当m2，此时不等式组所表示的平面区域如图所示，平面区域为一个三角形区域，其顶点为A(1,1)，B(m1,1)，C(，)由图可知，当直线yxz经过点C时，z取得最小值，最小值为.由题意，得1，解得m5.(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)易知直线z2xy过交点A时，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思维升华(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离； 表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件(1)变量x，y满足约束条件若z2xy的最大值为2，则实数m等于()A2 B1 C1 D2(2)当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_答案(1)C(2)1，解析(1)对于选项A，当m2时，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；对于选项B，当m1时，mxy0等同于xy0，可行域如图，直线y2xz的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；对于选项C，当m1时，可行域如图，当直线y2xz过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；对于选项D，当m2时，可行域如图，直线y2xz与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确(2)画可行域如图所示，设目标函数zaxy，即yaxz，要使1z4恒成立，则a0，数形结合知，满足即可，解得1a.所以a的取值范围是1，题型三线性规划的实际应用问题例6某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解(1)依题意每天生产的伞兵个数为100xy，所以利润5x6y3(100xy)2x3y300.(2)约束条件为整理得目标函数为2x3y300，作出可行域，如图所示，作初始直线l0：2x3y0，平移l0，当l0经过点A时，有最大值，由得最优解为A(50,50)，此时max550元故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元思维升华解线性规划应用问题的一般步骤(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多) 的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)(5)检验：根据结果，检验反馈某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？解设生产A型电视机x台，B型电视机y台，则根据已知条件知线性约束条件为即线性目标函数为z6x4y.根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，作直线l0：3x2y0，当直线l0平移至点A时，z取最大值，解方程组得所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大8含参数的线性规划问题典例(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是_(2)已知x，y满足约束条件若zaxy的最大值为4，则a_.错解展示解析(1)如图，直线yk(x1)1过点(1，1)，作出直线y2x，当k1或0k2时，不等式组表示一个三角形区域(2)由不等式组表示的可行域，可知zaxy在点A(1,1)处取到最大值4，a14，a3.答案(1)(，1)(0,2)(2，)(2)3现场纠错解析(1)直线yk(x1)1过定点(1，1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(，1)，只有此时可构成三角形区域(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示由得A(1,1)zaxy等价于yaxz，因为z的最大值为4，即直线yaxz的纵截距最大为4.若zaxy在A(1,1)处取得最大值，则纵截距必小于2，故只有直线yaxz过点(2,0)且a0所表示的平面区域内，则m的取值范围是()Am1 Bm1 Cm1答案D解析由2m350，得m1.2若函数ylog2x的图象上存在点(x，y)，满足约束条件则实数m的最大值为()A. B1 C. D2答案B解析如图，作出不等式组表示的可行域，当函数ylog2x的图象过点(2,1)时，实数m有最大值1.3直线2xy100与不等式组表示的平面区域的公共点有()A0个 B1个C2个 D无数个答案B解析由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)直线2xy100恰过点A(5,0)，且其斜率k2kAB，即直线2xy100与平面区域仅有一个公共点A(5,0)4若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是()A. B(0,1C. D(0,1答案D解析不等式组表示的平面区域如图(阴影部分)，求A，B两点的坐标分别为和(1,0)，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是0a1或a.5(2016天津)设变量x，y满足约束条件则目标函数z2x5y的最小值为()A4 B6 C10 D17答案B解析由约束条件作出可行域如图所示，目标函数可化为yxz，在图中画出直线yx，平移该直线，易知经过点A时z最小又知点A的坐标为(3,0)，zmin23506.故选B.6设x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A10 B8 C3 D2答案B解析画出可行域如图所示由z2xy，得y2xz，欲求z的最大值，可将直线y2x向下平移，当经过区域内的点，且满足在y轴上的截距z最小时，即得z的最大值，如图，可知当过点A时z最大，由得即A(5,2)，则zmax2528.7某公司生产甲、乙两种桶装产品已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是()A1 800元 B2 400元C2 800元 D3 100元答案C解析设每天生产甲种产品x桶，乙种产品y桶，则根据题意得x、y满足的约束条件为设获利z元，则z300x400y.画出可行域如图画出直线l：300x400y0，即3x4y0.平移直线l，从图中可知，当直线过点M时，目标函数取得最大值由解得即M的坐标为(4,4)，zmax300440042 800(元)故选C.8(2017枣庄月考)已知实数x，y满足约束条件则的最小值是()A2 B2C1 D1答案D解析作出不等式组对应的平面区域如图，的几何意义是区域内的点P(x，y)与定点A(0，1)所在直线的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为1.故选D.*9.已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是()A(6，2) B(3,2)C(，2) D(，3)答案C解析作出可行域，如图所示，则目标函数zx2y在点(1,0)处取得最大值1，在点(1,1)处取得最小值3，a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3，1)上有两个不同实数解令f(x)x2kx1，则k0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是_答案解析画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数zaxy仅在点(3,0)处取得最大值，则直线yaxz的斜率应小于直线x2y30的斜率，即a.12(2016宜春中学、新余一中联考)设x，y满足约束条件则的取值范围是_答案3,11解析设z12，设z，则z的几何意义为动点P(x，y)到定点D(1，1)的斜率画出可行域如图阴影部分所示，则易得zkDA，kDB，易得z1,5，z12z3,11*13.给定区域D：令点集T(x0，y0)D|x0，y0Z，(x0，y0)是zxy在D上取得最大值或最小值的点，则T中的点共确定_条不同的直线答案6解析作出图形可知，ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线14. 已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)如图所示(1)写出表示区域D的不等式组；(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求a的取值范围解(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故a的取值范围是(18,14)15某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1 600元/辆和2 400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不