高中数学第四章导数应用章末综合测评北师大版选修.docx

(四)导数应用章末综合测评(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)2xcos x在(，)上()A无最值B有极值C有最大值 D有最小值【解析】f(x)2xcos x，f(x)2sin x0恒成立故f(x)2xcos x在(，)上是增加的，既没有最大值也没有最小值【答案】A2一质点运动方程为s20gt2(g9.8 m/s2)，则t3秒时的瞬时速度为()A20 m/s B49.4 m/sC29.4 m/s D64.1 m/s【解析】sgt，t3时s3g29.4 m/s.【答案】C3如图1所示是函数yf(x)的导函数yf(x)的图像，则下面判断正确的是()图1A在区间(2,1)内f(x)是增函数B在(1,3)内f(x)是减函数C在(4,5)内f(x)是增函数D在x2时，f(x)取到极小值【解析】由图像可知，在(4,5)内，f(x)0，这时f(x)是增函数【答案】C4已知对任意实数x，有f(x)f(x)，且x0时，f(x)0，则x0 Bf(x)0时，f(x)0，故f(x)在x0时为增加的，由偶函数在对称区间上单调性相反，可知当x0时，f(x)为减少的【答案】B5函数yx42x25的单调减区间为()A(，1)和(0,1)B(1,0)和(1，)C(1,1)D(，1)和(1，)【解析】y4x34x4x(x21)，令y0得x1或0x0)，则f(x)在R上为增加的充要条件是()Ab24ac0 Bb0，c0Cb0，c0 Db23ac0【解析】要使f(x)在R上为增加的，则f(x)3ax22bxc0在R上恒成立(但f(x)不恒等于零)，故只需4b212ac0，即b23ac0.【答案】D7函数y2x33x212x5在0,3上的最大值与最小值分别是()A5，15 B5,4C4，15 D5，16【解析】y6x26x12，令y0，得x1,2，又f(2)15，f(0)5，f(3)4，最大值、最小值分别是5，15.【答案】A8函数yx2sin x的图像大致是()【解析】因为y2cos x，所以令y2cos x0，得cos x，此时原函数是增函数；令y2cos x，此时原函数是减函数，结合余弦函数图像，可得选项C正确【答案】C9(2016青岛高二检测)若aR，函数yexax，xR有大于零的极值点，则()Aa1 Ba1Ca Da【解析】yexa，且函数yexax有大于零的极值点，方程yexa0有大于0的解，x0时，ex1，aex1.【答案】A10(2016福州高二检测)若a0，b0，且f(x)4x3ax222bx在x1处有极值，则ab的最大值为()A2 B3C6 D9【解析】f(x)12x22ax2b，f(1)122a2b0，ab6，又a0，b0，ab2，26，ab9，当且仅当ab3时取“”【答案】D11若0x1x2ln x2ln x1Beex2x1eDx2ex1e【解析】设f(x)exln x(0x1)，则f(x)ex.令f(x)0，得xex10.根据函数yex与y的图像可知两函数图像交点x0(0,1)，因此函数f(x)在(0,1)上不是单调函数，故A，B选项不正确设g(x)(0x1)，则g(x).又0x1，所以g(x)0.所以函数g(x)在(0,1)上是减函数又0x1x2g(x2)，所以x2ex1e.【答案】C12要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高应为()A. cm B100 cmC20 cm D. cm【解析】设高为h，体积为V，则底面半径r2202h2400h2，Vr2h(400hh3)，V(4003h2)，令V0，得h或h(舍)，则0h0，h时，V0.即4a2120，a23a20，a2或a1.【答案】(，1)(2，)14已知函数f(x)x3ax在区间(1,1)上是增函数，则实数a的取值范围是_.【解析】由题意应有f(x)3x2a0，在区间(1,1)上恒成立，则a3x2，x(1,1)恒成立，故a3.【答案】3，)15已知函数yx22x3在区间a,2上的最大值为，则a等于_【解析】yx22x3(x1)24，当a1时，最大值为4，不合题意；当1a0；当x(1,2)时，f(x)0时，所以f(x)有两个极值点1和2，且当x2时，函数取得极小值；当x1时，函数取得极大值只有不正确【答案】三、解答题(本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分10分)设函数f(x)6x33(a2)x22ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1，x2，且x1x21，求实数a的值；(2)是否存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由【解】f(x)18x26(a2)x2a.(1)由已知有f(x1)f(x2)0，从而x1x21，所以a9.(2)因为36(a2)24182a36(a24)0，所以不存在实数a，使得f(x)是(，)上的单调函数18(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2b(aR，bR)若a0，且f(x)的极大值为5，极小值为1，求f(x)的解析式【解】f(x)x3ax2b，f(x)3x22ax.令f(x)0，得x0或x.又a0，0.当x0时，f(x)0；当x0时，f(x)1时，f(x)1时，g(x)0，即g(x)在(1，)上单调递减又g(1)0，故g(x)0，即f(x)0，又由h0，可得r0，故V(r)在(0,5)上为增函数；当r(5,5)时，V(r)0，故V(r)在(5,5)上为减函数由此可知，V(r)在r5处取得最大值，此时h8.即当r5，h8时，该蓄水池的体积最大22(本小题满分12分)已知函数f(x)x3ax2b的图像上一点P(1,0)，且在点P处的切线与直线3xy0平行(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数f(x)在区间0，t(0t3)上的最大值和最小值；(3)在(1)的结论下，关于x的方程f(x)c在区间1,3上恰有两个相异的实根，求实数c的取值范围【解】(1)因为f(x)3x22ax，曲线在P(1,0)处的切线斜率为：f(1)32a，即32a3，a3.又函数过(1,0)点，即2b0，b2.所以a3，b2，f(x)x33x22.(2)由f(x)x33x22，f(x)3x26x.由f(x)0得，x0或x2.当0t2时，在区间(0，t)上f(x)0，f(x)在0，t上是减少的，所以f(x)maxf(0)2，f(x)minf(t)t33t22.当2t3时，当x变化时，f(x)、f(x)的变化状态见下表：x0(0,2)2(2，t)tf(x)003t26tf(x)22t33t22f(x)m