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1 保险精算学课程期末复习题保险精算学课程期末复习题 一、一、名词解析名词解析： 永续年金【Cf:教材 P26】 永续年金：是收付期限没有限制、每隔一个时间间隔永远连续收付得年金。 期末付永续年金的现值： 1 lim n n aa i 期首付永续年金的现值： 1 lim n n aa d 死亡力【Cf:教材 P54】 死亡力：达到 x 岁的人中，在一瞬间里死亡的人所占的比率，记为 x ( )( ) ln ( ) ( )1( ) x sxfx s x s xF x 人寿保险【Cf:教材 P77】 人寿保险： （1）狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的【保险赔付条 件】的一种保险。 （2）广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。它包括以保障期内被 保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标的的生存保险和两全保险。 定期寿险：以死亡为给付保险金条件，且保险期限为固定年限的人寿保险。 终身寿险：保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金 的险种。 纯生存保险：以被保险人投保后在规定期期满时仍然生存为保险金支付条件的险种。 两全保险：定期寿险和纯生存保险的合险。 趸缴净保费【Cf:教材 P82】 趸缴净保费： 在保单生效日， 被保险人一次性缴付的、 恰好覆盖保险人将来赔付风险的费用。 生存年金【Cf:教材 P95】 生存年金:以被保险人存活为条件，间隔相等的时期（年、半年、季、月）支付一次保险金 的保险类型。如果被保险人在规定的时期内存活，则发生年金的收付，否则，不发生收付。 二、简答题二、简答题： 2 1. 人寿保险精算的原理的内容【Cf:教材 P3】 保险的基本原理是将众多投保人的保费集中到承保人处, 当风险发生后, 由承保人承担损 失。它的理论基础是概率论和大数定律。 投保人通过付出少量且固定的保费, 将大量的不确定的损失转移到承保人或保险公司身上； 承保人利用保费收入一方面保证赔偿的正常进行, 另一方面, 通过分析与计算来合理调配 资金, 提高保险基金的投资效益, 最终使投保人和承保人都有所收获。 2债劵定价原理的内容及四种常用债劵价格计算公式。 【Cf:教材 P38-39】 债劵定价原理：债券的理论价格就是债劵未来息票收入的现值与到期偿还值的现值之和。 债券定价的基本公式： n n PrFaCv 债券定价的溢价公式：1 () n PCgi a 债券定价的基价公式：() n PGCG v 债券定价的Makeham公式：() g PCKK i 3寿险现值的递推公式及其直观解释【Cf:教材 P92】 寿险现值的递推公式： 1xxxx Avqvp A 直观解释：( )x的单位金额终身寿险在第一年末的价值等于( )x在第一年死亡的情况下 1 单 位的赔付额与生存满一年的情况下净趸缴保费 1x A 之和。 4生存年金与寿险的关系【Cf:教材 P107-109】 生存年金与寿险是两种不同的保险，它们的精算现值都依赖于被保险人的死亡年龄。 (1)终身寿险和期初付终身年金：1 xx daA (2)终身寿险和期末付终身年金：1 xxx iaiAA (3)定期寿险和定期年金： : 1 x nx n daA (4)死亡时赔付寿险和连续年金：1 xx aA ； : 1 xxnn aA (5)其它关系式： xxx Avaa ； 1 :x nx nx n Avaa 三、选择题三、选择题 3 1某人 1999 年初借款 3 万元，按每年计息 3 次的年名义利率 6%投资 5 年的累积值为（ B ）万 元。 A 7.19 B 4.04 C 3.31 D 5.23 【复利： 3 5 0.06 3(1)4.04 3 ；单利： 0.06 3(1 3 5)3.9 3 】 2甲向银行借款 1 万元，每年计息 2 次的名义利率为 6%，甲第二年末还款 4000 元，则此次还款 后所余本金部分为（ A ）元。 A 7225 B 7213 C 7136 D 6987 【 2 2 0.06 10000(1)40007225.09 2 】 3某人寿保险的死亡给付受益人为三个子女，给付形式为永续年金，前两个孩子第 1 到 n 年每 年末平分所领取的年金，n 年后所有的年金只支付给第三个孩子，若三个孩子所领取的年金现值 相等，那么v ( A ) A. 1 1 3 n B. 1 3n C. 1 3 n D.3n 【 1 2 nn aaa 】 4延期 5 年连续变化的年金共付款 6 年，在时刻 t 时的年付款率为 2 1t ，t 时刻的利息强度 为 1 1 t ，该年金的现值为（ B ） A.52 B.54 C.56 D.58 【 11 5|6 5 ( ) xt ab v t dt ， 2 (1) t bt， 0 111 ( ) ( )1 t tdt v t a tt e 】 5. 如果 22 1100 x xx ，0100x，求 0 l=10 000 时，在该生命表中 1 岁到 4 岁之间的 死亡人数为（ B ） 。 A.2073.92 B.2081.61 C.2356.74 D.2107.56 【 02 1100 ( )() 100001 x tdtx s xe x ， 2 0 100 ( )() 1 x x ll s x x 】 6. 已知 20 岁的生存人数为 1 000 人，21 岁的生存人数为 998 人，22 岁的生存人数为 992 人， 则 |20 1 q为（ C ） 。 A. 0.008 B. 0.007 C. 0.006 D. 0.005 4 【 2122 |20 1 20 ll q l 】 7某人在 40 岁投保的终身死亡险，在死亡后立即给付 1 元保险金。其中，给定110 x lx， 0110x。利息力 =0.05。Z 表示保险人给付额的现值，则密度0.8 Z f等于（ D ） A. 0.24 B. 0.27 C. 0.33 D. 0.36 【 T Zv， (40)1 ( ) (40)70 T st ft s ， ln ( )1() ln T ZT z FzP ZzP vzF v 】 8已知 76 7.8a， 76 0.06vq，0.03i ，则 77 a（ C ） A. 7.1 B. 7.3 C. 7.5 D. 7.7 【 1 1 xxx avp a ，1 xx pq 】 四四、证明题、证明题 1. 当1n时，证明： ( )( )nn ddii 【证明】引理 1（Bernoulli 不等式） ：当1x ，1时，有(1)1xx 引理 2: 当0x 时，有1 x ex 由 ( )( ) ( ) 1(1)1()1 nn nn dd dnd nn ，得 ( )n dd 由 ( )( ) ( ) 1(1)11 nn nn ii ini nn ，得 ( )n ii 由 ( ) 1 1(1) 1 n n d ed in ，知 ( ) 11 n n d e nn ，故 ( )n d 由 ( ) 1(1) n n i ei n ，知 ( ) 11 n n i e nn ，故 ( )n i 2. 证明等式： （1） |n m mnm avaa ； （2）(1)n nn sia （3） (1)m m nmn ssis ； （4） () n m nmn svss 5 【证明】 （1）| 11 m nmmm n m n vvvv a ii | 11 mn mm mn vv vava ii （2） (1)11 (1)(1) nn nn nn iv siia ii （3） (1)1(1)(1)(1)1 m nm nmm m n iiii s ii (1)1(1)1 (1)(1) nm mm nm ii iiss ii （4） (1)1(1)(1) (1) m nmn nm n iii s iii (1)1(1)1 () mn nn mn ii vvss ii 3. 证明： 1 1 xxx avp a 【证明】注意到 x x x N a D ， x xx Dvl和 1xxx NND ，有 11 1 1 11 111 xxxx xxx x xxx NlND vp avpv Dlvl 1 xx x x ND a D 五、五、计算题计算题 1. 李华 1994 年 1 月 1 日从银行借款 1000 元，假设年利率为 12% （1）1994 年 5 月 20 日时，他需还银行多少钱（以单利计算）？ （2）1996 年 1 月 1 日时，他需还银行多少钱（以复利计算）？ （3）几年后需还款 1500 元（以单、复利计算）？ 【解】 （1） 12% 1000(1 139)1045.70 365 （元） （2） 2 1000(1 0.12)1254.4（元） （3）按单利计：由1000(112%)1500n ，得4.17n （年） 6 按复利计：由1000(1 12%)1500 n ，得3.58n （年） 2. 某人在 2008 年 7 月 22 日贷款 4000 元，如果利息力是 14%，在复利下，试求解以下问题： （1）年利率i； （2）贷款额在 2013 年 7 月 22 日的价值； （3）名义利率 (12) i 【解】 （1）由1ei ，知 0.14 110.1503iee （2）贷款额在 2013 年 7 月 22 日的价值为 550.7 4000(1)400040008055.01iee （元） （3）由公式： () (1)1 m m i i m ，知 10.14 (12) 121212 12(1)112(1)12(1)0.1408iiee 3债券的面值为 1000 元，年息票率为 5%，期限为 6 年，到期按面值偿还，投资者要求的年收益 率为 5.5%，试计算债券购买价格。 【解】由题设，由 F=C=1000 r=g=0.05 i=0.055 n=6 n n PrFaCv () n rFrF Cv ii 6 0.05 10000.05 10001 (1000) ()975.02 0.0550.0551.055 （元） 4.利用下面得生命表 年龄 60 61 62 63 6464 生存人数生存人数 1000 990 970 940 900 计算： （1）2 60 p （2）60 岁的人在 6163 岁之间死亡的概率 【解】 （1） 62 260 60 970 0.97 1000 l p l 7 （2）因在 6163 岁之间死亡 50 人，故所求概率为 261 1|260 60 50 0.05 1000 d q l 。 5某男在 40 岁时买了保险额为 20 000 元的终身寿险，死亡年年末赔付，假设他的生存函数可 以表示1000(1) 105 x x l ，10%i ，求这一保单的精算现值。 【解】见教材 P83，例 5.4 思考：若赔付在死亡时，又如何计算？ 6假设张某 50 岁时购买的是保额为 100000 元的终身寿险，死亡年年末赔付。已知 1000(1) 105 x x l ，预定利率为 0.08，求该保单的趸缴净保费。 【解】由题设，有 50 50 50 55 55 t t lt p l ， 501 50 50 1 1 55 t t t l q lt ，故该保单的趸缴净保费为 54 (1) 505050 0 1000001000001.08 t tt t Apq 54 (1) 0 551 1000001.08 5555 t t t t = 55 1 1 () 1000001 1.08 22397.48 1 551.08 1 1.08 （元） 7设生存函数为 1 100 x s x (0100x)，年利率0.10i ，保险金额为 1 元，计算：趸 缴纯保费 1 30:10A的值。 【解】由( )1 100 x s x ，知 ()1 ( )100 txx t s xt p s xx 故 1010 1 3030 30:10 00 11 0.092 1.170 t t tt Avpdtdt 8.