高考数学均值不等式专题(含答案)家教文理通用.docx

细节决定成功高考：均值不等式专题知识梳理1常见基本不等式， 若ab0,m0,则 ；若a,b同号且ab则。;2均值不等式:两个正数的均值不等式： 变形，,等。3最值定理:设（1）如果x,y是正数,且积,则 时,（2）如果x,y是正数和,则 时,4利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。注： 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； 熟悉一个重要的不等式链：。 课前热身1. 已知，且，则的最大值为 .2. 2. 若,则的最小值为 3. 已知：，且，则的最小值是 . 4. 4. 已知下列四个结论当；的最小值为2；当无最大值.则其中正确的个数为 考点剖析一、基础题型。1.直接利用均值不等式求解最值。例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知，且满足，则xy的最大值为 。2通过简单的配凑后，利用均值不等式求解最值。例2：（2010年高考四川文科卷第11题）设，则的最小值是（ ）（A）1 （B）2 （C）3 （D）4例3：已知0x，则y2x5x2的最大值为_例4： 已知，且，求的最大值 （类似例5）二、转化题型1.和积共存的等式，求解和或积的最值。例5：（2010年高考重庆卷第7题）已知x0，y0，x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值是（ ）A. 3 B. 4 C. D. 2.分式型函数（）求解最值。例6：（2010年高考江苏卷第14题）将边长为1的正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记S=,则S的最小值是_。例7：（2010年高考全国卷第11题）已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么的最小值为（ ） (A) (B) (C) (D)三、解决恒成立问题例8：若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是_变式训练：已知x0，y0，xyx2y，若xym2恒成立，则实数m的最大值是_课后强化一、选择题。1已知ab0，a，bR，则下列式子总能成立的是()A.2 B.2C.2 D.222011重庆卷 若函数f(x)x(x2)在xa处取最小值，则a()A1 B1 C3 D43对一切正数m，不等式n2m恒成立，则常数n的取值范围为()A(，0) B(，4)C(4，) D4，)42011陕西卷 设0a0，b0，A为a，b的等差中项，正数G为a，b的等比中项，则ab与AG的大小关系是()AabAG BabAGCabAG D不能确定6设a、b、c都是正数，那么a、b、c三个数()A都不大于2 B都不小于2C至少有一个不大于2 D至少有一个不小于27若x、y、z均为正实数，则的最大值是()A. B. C2 D28已知f(x)x2(xb1，P，Q(lgalgb)，Rlg，则P，Q，R的大小关系为_2.（2010年高考山东卷第14题）若对任意，恒成立，则的取值范围是 。3.（2010年高考重庆文科卷第12题）已知,则函数的最小值为 4.（2010年高考浙江文科卷第15题）若正实数x，y 满足 ，则xy 的最小值是 。（变式：求2x+y的最小值为_）5下列函数中，y的最小值为4的是_(写出所有符合条件的序号)yx(x0)；y；yex4ex；ysinx.6 设x，y，z为正实数，满足x2y3z0，则的最小值是_7 设a0，b0，且不等式0恒成立，则实数k的最小值等于_3、 解答题。1(13分)若x，yR，且满足(x2y22)(x2y21)180.(1)求x2y2的取值范围；(2)求证：xy2.2(12分)如图K371，公园有一块边长为2的等边ABC的边角地，现修成草坪，图中DE把草坪分成面积相等的两部分，D在AB上，E在AC上(1)设ADx(x0)，EDy，求用x表示y的函数关系式；(2)如果DE是灌溉水管，为节约成本，希望它最短，DE的位置应在哪里？如果DE是参观线路，则希望它最长，DE的位置又应在哪里？请予证明5在三角形ABC中，角A、B、C对边为a、b、c，且，（1） 求C；（2） 当三角形ABC面积最大时，求sin A 。答案课前热身（略）考点剖析例1.解：因为x0，y0，所以(当且仅当，即x=6，y=8时取等号)，于是，故xy的最大值位3.例2.解：w224当且仅当ab1，a(ab)1时等号成立，如取a,b满足条件。故选择答案D例3. 1/5 例4.18 例5.解： 因为x0，y0，所以，整理得 即，又，等号当且仅当时成立，故选择答案B。例6.解：设剪成的小正三角形的边长为，则令，则令，则因为，所以，等号当且仅当t=4，即时成立。所以最小值为8故的最小值为8，S的最小值是。例7.例5图解：如图所示：设PA=PB=,APO=，则APB=，PO=，=，令，则，令，则等号当且仅当，即时成立。故.此时.，选择答案D。例8. 变式：10课后强化一、选择题。1.D 2.C 3.B 4.B 5.C 6.C 7.A 8.C二、填空。1.PQR 2. 3.-2 4.18 5. 6.3三、解答题。1.解答 (1)由(x2y2)2(x2y2)200，得(x2y25)(x2y24)0，因为x2y250，所以有0x2y24，故x2y2的取值范围为0,4(2) 证明：由(1)知x2y24，由基本不等式得xy2，所以xy2.2解答 (1)在ADE中，y2x2AE22xAEcos60y2x2AE2xAE.又SADESABCxAEsin60xAE2.将代入得y2x222(y0)，y(1x2)(2)如果DE是