初一数学讲义(学生版)

1 第一讲 和绝对值有关的问题 一、 知识结构框图： 二、 绝对值的意义： (1)几何意义：一般地，数轴上表示数 作 |a|。 (2)代数意义： 正数的绝对值是它的本身； 负数的绝对值是它的相反数； 零的绝对值是零。 也可以写成： | | 0 当 为 正 数当 为 0当 为 负 数三、 典型例题 例 1 （ 数形结合思想 ）已知 a、 b、 则代数式 | a | + | a+b | + | - | 的值等于（ ） A B 2c a C 2a 2b D b 例 2 已知： 0 ， 0且 ， 那么 的值（ ） A是正数 B是负数 C是零 D不能确定符号 例 3 （ 分类讨论思想 ） 已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3 倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点 位于原点同侧呢？ 说明：（ ） |a| 0即 |a|是一个非负数； （ ） |a|概念中蕴含分类讨论思想。 2 例 4 （ 整体思想 ）方程 20 0820 08 的解的个数是（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 无穷多个 例 5 （ 非负性 ） 已知 |2|与 |a 1|互为相互数，试求下式的值 1 1 1 11 1 2 2 2 0 0 7 2 0 0 7a b a b a b a b 例 6 （距离问题） 观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4 与 2 ， 3 与 5， 2 与 6 ， 4 与 3. 并回答下列各题： （ 1）你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答： _ . （ 2）若数轴上的点 A 表示的数为 x，点 B 表示的数为 1，则 A 与 B 两点间的距离 可以表示为 _. （ 3）结合数轴求得 23 的最小值为 ，取得最小值时 x 的取值范围为 _. （ 4） 满足 341 x 的取值范围为 _ . 第二讲：代数式的化简求值问题 一、 知识链接 1“代数式”是用运算符号把数字或表示数字的字母连结而成的式子。它包括整式、分式、二次根式等内容 . 2用具体的数值代替代数式中的字母所得的数值，叫做这个代数式的值。 注：一般来说，代数式的值随着字母的取值的变化而变化 3求代数式的值可以让我们从中体会简单的数学建模的好处，为以后学习方程、函数等知识打下基础。 二、典型例题 例 1 若多项式 37852 222 的值与 x 无 关， 求 452 22 的值 . 3 例 2 x=，代数式 635 值为 8，求当 x=2 时，代数式 635 值。 例 3 当代数式 532 值为 7时 ,求代数式 293 2 值 . 例 4 已知 012 求 20072 23 值 . 例 5 （实际应用） A 和 B 两家公司都准备向社会招聘人才，两家公司招聘条件基本相同，只有工资待遇有如下差异： A 公司，年薪一万元，每年加工龄工资 200 元； B 公司，半年薪五千元，每半年加工龄工资 50 元。从收入的角度考虑，选择哪家公司有利？ 例 6 三个数 a、 b、 c 的积为负数，和为正数，且 ， 则 123 值是 _ 。 例 7 如图，平面内有公共端点的六条射线 射线 始按逆时针方向依次在射 线上写出数字 1， 2， 3， 4， 5， 6， 7， （ 1）“ 17”在射线 _上， “ 2008”在射线 _上 （ 2）若 n 为正整数，则射线 数字的排列规律可以用含 n 的 代数式表示为 _ 2 8 3 9 4 10 5 11 6 12 4 例 8 将正奇数按下表排成 5 列 : 第一列 第二列 第三列 第四列 第五列 第一行 1 3 5 7 第二行 15 13 11 9 第三行 17 19 21 23 第四行 31 29 27 25 根据上面规律， 2007应在 A 125行 ,3 列 B. 125行 ,2列 C. 251行 ,2列 D. 251行 ,5列 例 9 （ 2006年嘉兴市）定义一种对正整数 F”运算：当 果为 3n 5；当 果为 其中 奇数的正整数），并且运算重复进行例如，取 n 26，则： 若 n 449，则第 449次“ F 运算”的结果是 _ 第三讲： 与一元一次方程有关的问题 一、典型例题 例 1 若关于 332x k x k=1的解是 x= ） A 27B 1 C 0 例 2 若方程 3和方程 0331 a 的值为多少？ 例 3.（方程与代数式联系） a、 b、 c、 d 为实数，现规定一种新的运算 . （ 1）则21 21的值为 ；（ 2）当185)1( 42 x = . 26 13 44 11 第一次 F 第二次 F 第三次 F 5 例 4 （方程的思想） 如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高 a 厘米的墨水，将瓶盖 盖好后倒置，墨水水面高为 h 厘米，则瓶内的墨水的体积 约 占玻璃瓶容积的（ ） A 5 小杰到食堂买饭，看到 A、 B 两窗口前面排队的人一样多，就站在 A 窗口队伍的里面，过了 2 分钟，他发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍， B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍，且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人。此时，若小李迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口后面重新排队，将比继续在 A 窗口排队提前 30 秒买到饭，求开始时，有多少人排队。 （提示） 题中的等量关系为：小李在 A 窗口排队所需时间 =转移到 B 窗口排队所需时间 + 21课外知识拓展： 一、含字母系数方程的解法： 思考： 是什么方程？ 在一元一次方程的标准形式、最简形式中都要求 a 0，所以 不是一元一次方程 我们把它称为含字母系数的方程。 例 6 解方程 例 7 问当 a、 b 满足什么条件时，方程 2x+5 1）有唯一解；（ 2）有无数解；（ 3）无解。 例 8 解方程 11x x a ba b a b 二、含绝对值的方程解法 例 9 解下列方程 5 2 3x 例 10 解方程 2 1 5 13x 例 11 解 方程 1 2 1 不考虑瓶子的厚度 . 6 第四讲：图形的初步认识 基本要求： 1如图四个图形都是由 6 个大小相同的正方形组成，其中是正方体展开图的是（ ） A B C D 较高要求： 2 下图可以沿线折叠成一个带数字的正方体，每三个带数字的面交于正方体的 一个顶点，则相交于一个顶点的三个面上的数字之和最小是 ( ) A 7 B 8 C 9 D 10 3一个正方体的展开图如右图所示，每一个面上都写有一个自然数并且相对 两个面所写的两个数之和相等，那么 a+（ ） A 40 D. 34 4下图是某一立方体的侧面展开图，则该立方体是（ ） 9 下面是四个立体图形的展开图，则相应的立体图形依次是 ( ) A正方体、圆柱、三棱柱、圆锥 锥、三棱柱、圆柱 C正方体、圆柱、三棱锥、圆锥 柱、四棱柱、圆锥 13 对右面物体的视图描绘错误的是 （ ） （四）新颖题型 16. 正方体每一面不同的颜色对应着不同的数字，将四个这样的正方体如图拼成一个水平放置的长方体，那么长方体的下底面数字和为 . 1 2 3 6 4 5 25 B C D 7 第五讲：线段和角 一、知识结构图 直线 线段 直线性质 射线 线段的比较和画法 线段的中点 线段性质 两点间的距离 角 角的分类 角的比较、度量和画法 相关角 角平分线 平角 直角 锐角 周角 钝角 余角和补角 定义 性质 同角（或等角） 的补角相等 同角（或等角） 的余角相等 二、典型问题： （一）数线段 数角 数三角形 问题 1、直线上有 n 个点，可以得到多少条线段？ 问题 2如图，在 部从 O 点引出两条射线 图中小于平角的角共有（ ）个 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 拓展： 在 部从 O 点引出 n 条射线图中小于平角的角共有多少个？ （二）与线段中点有关的问题 线段的中点定义： 文字语言：若一个点把线段分成相等的两部分，那么这个点 叫做线段的中点 图形语言： M 几何语言： M 是线段 中点 12A M B M A B， 22A M B M A B 典型例题： 1由下列条件一定能得到“ P 是线段 中点”的是（ ） （ A） 1 （ B） 2 （ C） （ D） 1 8 2若点 B 在直线 ，下列表达式： C； C= 其中能表示 B 是线段 中点的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 3已知线段 P 是 中点， Q 是 中点， R 是 中点，那么 _ 4如图所示， B、 C 是线段 任意两点， M 是 中点， N 是 点，若 MN=a， BC=b，则线段 ） A 2（ B 2 C a+b D 三）与角有关的问题 1 已知 ：一条射线 从点 O 再引两条射线 使 00， 00， 则 _度 （ 分类讨论 ） 2 A、 O、 B 共线， 别为 平分线，猜想 度数，试证明你的结论 3如图，已知直线 交于 O 点， 是直角， 分 ， 34C O F ， 求 的度数 4 如图， 别平分 （ 1）若 A = 60，求 O； （ 2）若 A =100， O 是多少？若 A =120， O 又是多少？ （ 3）由（ 1）、（ 2）你又发现了什么规律？当 A 的度数发生变化后，你的结论仍成立吗？ （提示：三角形的内角和等于 180） 5如图， O 是直线 一点 ,三条射线 ,则图中互补的角共有（ B ）对 (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 6互为余角的两个角 （ ） （ A）只和位置有关 （ B）只和数量有关 （ C）和位置、数量都有关 （ D）和位置、数量都无关 7 已知 1、 2 互为补角，且 1 2，则 2的 余角是（ ） 1 2） 1 1 2） 2 A 交线与平行线 一、知识框架 相交线 两条直线相交 邻补角 、 对顶角 对顶角 相等 两条直线被第三条直线所截 同位角、内错角、 同旁内角 平行线 平行公理 平 移 判 定 性 质 垂线及性质 点 到直线的距离 二、典型例题 ) 对顶角相等 ;相等的角是对顶角 ;若两个角不相等 ,则这两个角一定不是对顶角 ; 若两个角不是对顶角 ,则这两个角不相等 . 下列说法不正确的是 ( ) 到 垂线段是线段 到 垂线段是线段 到 到 垂线段 ) 在平面内 ,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ; 在平面内 ,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线 ; 在平面内 ,过一点可以任意画一条直线垂直于已知直线 ; 在平面内 ,有且只有一条直线垂直于已知直 线 . 4一学员驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同， 这两次拐弯的角度可能是（ ） 10 B 1 E F 2 C P D l 3l 2l 112A. 第一次向左拐 30第二次向右拐 30 B. 第一次向右拐 50第二次向左拐 130 C. 第一次向右拐 50第二次向右拐 130 D. 第一次向左拐 50第二次向左拐 130 5如图，若 ， ，则下列结论 必定成立 的是（ ） A. D D. b+ca,c+ab（两点之间线段最短） 由上式可变形得到： ac b， ba c， cb a 即有：三角形的两边之差小于第三边 2 高 :由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。 3 中线：连接三角形的顶点和它对边的中点的线段，称为三角 形的中线 4 角平分线：三角形一个内角的角平分线与这个角对边的交点和这个角的顶点之间线段称为三角形的角平分线 . 二、典型例题 （一）三边关系 1 已知三角形三边分别为 2,那么 ) C） （二）三角形的高、中线与角平分线 问题：（ 1）观察图形，指出图中出现了哪些高线？ （ 2）图中存在哪些相等角？ 注意基本图形：双垂直图形 4如图，在直角三角形 ， 斜边上的高， 垂足分别为 E、 F，则图中与 C（ C 除外）相等的角的个数是（ ） A 5 B 4 C 3 D 2 5如图， ， A = 40， B = 72， 分 D， 14 21 度数。 6 ， 平分线相交于点 O。 （ 1）若 40， 50，则 。 （ 2）若 116，则 。 （ 3）若 A = 76，则 。 （ 4）若 120，则 A = 。 （ 5）你能找出 A 与 间的数量关系吗？ 8已知 : 别为 外角 角平分线 , 求 : E 与 A 的关系 9已知 : 角平分线 , 外角 角平分线 , 求 : F 与 A 的关系 15 D 三角形有关的角 一、相关定理 （一）三角形内角和定理：三角形的内角和为 180 （二）三角形的外角性质定理： 三角形的任意一个外角等于与它不相邻的两个内角和 三角形的任意一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 （三）多边形内 角和定理： *180 多边形外角和定理：多边形的外角和为 360 二、典型例题 1 如图 ,在 B= C, 0 ,且 2如图：在 ， C B， ， 分 证： 12（ C B） 3已知： 求证： B 4多边形内角和与某一个外角的度数总和是 1350，求多边形的边数。 5 科技馆为某机器人编制一段程序，如果机器人在平地上按照图 4中的 步骤行走，那么该机器人所走的总路程为（ ） A. 6米 B. 8米 C. 12米 D. 不能确定 16 第十讲：二元一次方程组 一、相关知识点 1、 二元一次方程的定义： 经过整理以后，方程只有两个未知数，未知数的次数都是 1，系数都不为 0，这样的整式方程称为二元一次方程。 2、二元一次方程的标准式： 0 0 , 0a x b y c a b 3、 一元一次方程的解的概念： 使二元一次方程左右两边的值相等的一对 x 和 y 的值，叫做这个方程的一个解。 4、 二元一次方程组的定义： 方程组中共含有两个未知数，每个方程都是一次方程，这样的方程组称为二元一次方程组。 5、 二元一次方程组的解： 使二元一次方程组的二个方程左右两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程组的解。 二、典型例题 1下列方程组中，不是二元一次方程组的是（ ） 123 ， 10 ， 10 ，21 ， 2有这样一道题目：判断 31 ，是否是方程组 2 5 02 3 5 0 ，的解？ 小明的解答过程是：将 3x ， 1y 代入方程 2 5 0 ，等式成立所以 31 ，是方程组 2 5 02 3 5 0 ，的解 小颖的解答过程是：将 3x ， 1y 分别代入方程 2 5 0 和 2 3 5 0 中，得 2 5 0 ，2 3 5 0 所以 31 ， 不是方程组 2 5 02 3 5 0 ，的解 你认为上面的解答过程哪个对？为什么？ 3 若下列三个二元一次方程： 3； 2x+3y=1； y=么 ） A、 k= B、 k=4 C、 k= D、 k=3 4解方程组 6 3 1 0 13 2 1 0 0 2 5已 知方程组解是则方程组 解是（ ） 17 A B C D64513453 7解方程组 : 3 : 2 13 5 3 2 8解三元一次方程组 (1 )( 2 )( 3 ) x 2 y z 8x y 1x 2 z 2 y 3错误 !未找到引用源。 9字母系数的二元一次方程组。当 a 为何值时，方程组 2133ax 有唯一的解 11为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的 A、 B 两套楼房， A 套楼房在第 3 层楼， B 套楼房在第 5 层楼， B 套楼房的面积比 A 套楼房的面积大 24 平方米，两套楼房的房价相同。第 3 层楼和第 5 层楼的房价分别是平均价的 和 。为了计算两套楼房的面积，小亮设 A 套楼房的面积为 x 平方米， B 套楼房的面积为 据以上信息列出下列方程组，其中正确的是（ ） A B C D12某水果批发市场香蕉的价格如下表： 购买香蕉数 （千克） 不超过 20 千克 20千克以上但不超过40 千克 40 千克以上 每千克价格 6 元 5 元 4 元 张强两次共购买香蕉 50 千克（第二次多于第一次），共付出 264 元，请问张强第一次、第二次分别购买香蕉多少千克？ 18 第十一讲：一元一次不等式 一、知识链接： 1不 等式的基本性质 性质 1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号方向不改变。 若 ab，则 a+cb+c（ 性质 2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 若 ab 且 c0，则 ac 性质 3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 若 ab 且 “大大取大” “小小取小” “大小小大取中间” “大大小小取不了” 二、典型例题： 1下列关系不正确的是（ ） A若 ，则 B若 ， ，则 C若 ， ，则 D若 ， ，则 2已知 且 0 a 为任意有理数，下列式子中正确的是（ ） A B 2 C D 3下列判断不正确的是（ ） A若 0 0则 0 B若 0则1C若 0a ， 0b ，则 0b ，则14 若不等式 x ） A、 a0 B 、 a0 C 、 a 0 D、 a 0 19 5 解关于 x 的不等式 2 3 5 5m x m x m 6 解关于 x 的不等式 21a x a 。 7 若不等式 2 1 3 5 0m x x x 和是同解不等式，求 m 的值。 8不等式组021372解集为 _. 9若不等式组 8 4 1 的解是 x3，则 m 的取值范围是（ ） A 3m B 3m C 3m D 3m 10 关于 x 的不等式组 2 3 ( 3 ) 1324 有四个整数解，则 a 的取值范围是（ ） A 1 1 542a B 1 1 542a C 1 1 542a D 1 1 542a 11已知关于 x 、 y 的方程组 2121x y ax y a 的解适合不等式 21，求 a 的取值范围 . 12解下列不等式（ 1） 5x （ 2） 2x 思考题：解下列含绝对值的不等式。 （ 1） 2 1 3x （ 2） 2143x 20 第十二讲：一元一次不等式（组）的应用 一、典型例题 1 m 取什么样的负整数时，关于 x 的方程 1 12 的解不小于 3. 2已知 x 、 y 满足 22 2 1 0x y a x y a 且 31 ，求 a 的取值范围 . 3比较 2 31和 2 25的大小 4 若方程组 的解为 x、 y，且 2k4， 求 5若 2(32 a， 求 不等式 5 4解 集 21 6阅读下列不等式的解法，按要求解不等式 . 不等式 1 02 的解的过程如下： 解：根据题意，得 1020 1 或 1020 2 解不等式组 1 ，得 2x ；解不等式组 2 ，得 1x 所以原不等式的解为 2x 或 1x 请你按照上述方法求出不等式 2 05的解 . 7目前使用手机，有两种付款方式，第一种先付入网费，根据手机使用年限，平均每月分摊 8 元，然后每月必须缴 50 元的占号费，除此之外，打市话 1 分钟付费 ；第二种方式将储值卡插入手机，不必付入网费和占号费，打市话 1 分钟 若每月通话时间为 x 分钟，使用第一种和第二种付款方式的电话费分别为1算一算，哪种对用户合算 8某饮料厂开发了 A、 B 两种新型饮料，主要原料均为甲和乙，每瓶饮料中甲、乙的含量如下表所示，现用甲原料和乙原料各 2800 克进行试生产，计划生产 A、 B 两种饮料共 100 瓶，设生产 A 种饮料 x 瓶，解答下列问题：（ 1）有几种符合题意的生产方案？ 写出解答过程；（ 2）如果 A 种饮料每瓶的成本为 ， B 种饮料每瓶的成本为 ，这两种饮料成本总额为 y 元，请写出 y 与 x 之间的关系式，并说明 x 取何值会使成本总额最低？ 原料名称 饮料名称 甲 乙 A 20 克 40 克 B 30 克 20 克 9某家电生产企业根据市场调查分析决定调整生产方案，准备每周（按 120 个工时计算）生产空调器，彩电，冰箱共 360 台，且冰箱至少生产 40 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产值如下表： 问：每周应生产空调器、彩电、冰箱 各多少台，才能使产值最高，最高产值是多少万元？ 家电名称 空调器 彩电 冰箱 工时（个） 121314产值（万元 /台） 22 第十三讲 方程与不等式的应用 一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组是初一数学的重难点内容，也是数学学科的重要基础。本讲我们主要探究利用方程与不等式解决综合性问题，利用类比转化的思想研 究不定方程（组）及含绝对值的一元一次方程问题。 一、不等式与方程的综合题 例 1已知关于 x 的方程组134123解满足 x y，求 p 的取值范围。 例 2 若 30x y z ， 3 5 0x y z ， x 、 y 、 z 皆为非负数，求 5 4 2M x y z 的取值范围。 二、不定方程（组） 在实际生活中，我们还会遇到未知数的个数多于方程的个数的方程（组），这种方程（组）叫不定方程（组）不定方程或不定方程组若对解不加限制，则有无穷多个解，若对解加以限制，则不定方程（组）的解有三种可能：仍有无穷多解，只有有限个解、无解。我们常常研究不定方程（组）的整数解或正整数解的情况。 例 3 若干只