201901嘉兴市高三上期末考数学试卷.pdf

高三教学高三教学 试题卷试题卷 第第1页（共页（共 6 页）页） 嘉兴市嘉兴市 20182019 学年第一学期期末检测学年第一学期期末检测 高三高三数学数学 试题卷试题卷 （2019.1） 注意事项：注意事项： 1本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答答题前，请在答题卷的密本科考试分试题卷和答题卷，考生须在答题卷上作答答题前，请在答题卷的密 封线内填写学校、班级、学号、姓名封线内填写学校、班级、学号、姓名; 2本试题卷分为第本试题卷分为第卷（选择题）和第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共卷（非选择题）两部分，共 6 页，全卷满页，全卷满 分分 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟分钟 参考公式：参考公式： 如果事件如果事件 A，B 互斥，那么互斥，那么 )()()(BPAPBAP+ += =+ + 如果事件如果事件 A，B 相互独立，那么相互独立，那么 )()()(BPAPBAP = = 如果事如果事件件 A 在一次试验中发生的概率是在一次试验中发生的概率是 pp， 那么那么n次独立重复试验中事件次独立重复试验中事件 k次次 的概率的概率 ), 2 , 1 , 0()1()(nkppCkP knkk nn = = = = 球的表面积公式球的表面积公式 2 4 RS = =， 其中其中 R 表示球的半径表示球的半径 球的体积公式球的体积公式 3 3 4 RV = =， 其中其中 R 表示球的半径表示球的半径 棱柱的体积公式棱柱的体积公式 ShV = = ， 其中其中S表示棱柱的底面积，表示棱柱的底面积，h表示棱柱的表示棱柱的 高高 棱锥的体积公式棱锥的体积公式 ShV 3 1 = =， 其中其中S表示棱锥的底面积，表示棱锥的底面积，h表示棱锥的表示棱锥的 高高 棱台的体积公式棱台的体积公式 )( 3 1 2211 SSSShV+ + += =， 其中其中 21, S S分别表示棱台的上、 下底面分别表示棱台的上、 下底面积，积，h 表表示棱台的高示棱台的高 高三高三数学数学 试题卷试题卷 第第2页（共页（共 6 页）页） 第第卷卷 一、一、选择题（本大题共选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分 ）分 ） 1已知集合已知集合21| = =xxA，1| = =xxB，则，则= =BA A11| xx B1| xx C2| xx D21| xx 2已知复数已知复数i 21 1 + += =z，i2 2 = =z（i是虚数单位） ，则是虚数单位） ，则= = 21 zz Ai 3 Bi 34 + + Ci 34 + + Di 34 3双曲线双曲线1 34 22 = = xy 的离心率是的离心率是 A 2 1 B 2 7 C 4 5 D 3 5 4某几何体的三视图如图所示（单位：某几何体的三视图如图所示（单位：cm） ，则该几何体的体积（单位：） ，则该几何体的体积（单位： 3 cm）是）是 A336 B54 C372 D108 5已知已知等比数列等比数列 n a的各项均为正，且的各项均为正，且 423 3,5aaa成等差数列，则成等差数列，则数列数列 n a的公比是的公比是 A 2 1 B2 C 3 1 D3 6函数函数|)1ln(|)1()( + += =xxxf的大致图象是的大致图象是 A B C D 1 21 x y O 1 21x y O 1 21 y x O1 21x y O （第（第 4 题）题） 6 33 33 高三高三数学数学 试题卷试题卷 第第3页（共页（共 6 页）页） 7已知已知直线直线042: 1 = =+ + +yaxl，02)1(: 2 = =+ + + +yaxl，则“，则“1 = =a”是“是“ 21/ l l”的”的 A充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既既不充分也不必要条件不充分也不必要条件 8已知随机变量已知随机变量 的分布列如下，则的分布列如下，则)( E的最大值是的最大值是 A 8 5 B 64 15 C 4 1 D 64 19 9已知已知长方体长方体 1111 DCBAABCD 的底面的底面AC为正方形，为正方形，aAA = = 1 ，bAB = =，且，且ba ， 侧棱侧棱 1 CC上一点上一点E满足满足CECC3 1 = =，设异面直线，设异面直线BA1与与 1 AD，BA1与与 11B D，AE与与 11B D的所成角分别为的所成角分别为 ,，则，则 A B C D 10已知已知向量向量ba,满足满足1|= =a，4|2|= =+ + +bba，则，则|ba + +的取值的取值范围是范围是 A2,32 B3, 1 C32,32+ + D2,3 第第卷卷 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，小题，多空题多空题 6 分，单空题分，单空题 4 分，分，共共 36 分）分） 11计算：计算：= =+ +25lg2lg2 ，方程方程3)1(log2= =+ +x的的解为解为 12已知已知函数函数)0() 3 sin()( + += = xxf的最小正周期是的最小正周期是 4，则则= = ， 若若 5 3 ) 3 (= =+ + f，则，则= = cos 1 0 a P 4 1 a+ + 2 1 b 4 1 高三高三数学数学 试题卷试题卷 第第4页（共页（共 6 页）页） 13已知已知 32 )1)(2(axx+ + 的展开式的所有项系数之和为的展开式的所有项系数之和为27，则实数，则实数= =a ， 展开式中含展开式中含 2 x的项的系数是的项的系数是 14 在平面直角坐标系中， 不等式组 在平面直角坐标系中， 不等式组 + + + + , 13 , 1 , 01 xy x yx 所表示的平面区域的面积所表示的平面区域的面积等于等于 ， yxz+ += = 2的取值范围是的取值范围是 15已知正实数已知正实数yx,满足满足42= =+ +yx，则，则)1(2+ +yx的最大值为的最大值为 16浙江省现行的高考招生制度规定浙江省现行的高考招生制度规定除语、数、英之外，考生须除语、数、英之外，考生须从从政治、历史、地理、物政治、历史、地理、物 理、化学、生物、技术这理、化学、生物、技术这7门高中学考科目中选择门高中学考科目中选择3门作为高考选考科目，成绩计入门作为高考选考科目，成绩计入 高考总分高考总分已知报考某高校已知报考某高校 A、B 两个专业各需要一门科目满足要求即可，两个专业各需要一门科目满足要求即可，A 专业：专业： 物理、化学、技术物理、化学、技术；B 专业：历史、地理、技术专业：历史、地理、技术考考生小李今年打算报考该高校这两生小李今年打算报考该高校这两 个专业的选考方式有个专业的选考方式有 种种 （用数字作答）（用数字作答） 17已知已知点点P是抛物线是抛物线xy4 2 = =上的一点，过上的一点，过P作直线作直线2 = =x的垂线，垂足为的垂线，垂足为H，直线，直线l 经过原点， 由经过原点， 由l上的一点上的一点Q向圆向圆2)3()5(: 22 = = + + +yxC引两条切线， 分引两条切线， 分别切圆别切圆C于于 NM,两点，且两点，且MQN为直角三角形，为直角三角形，则则|PHPQ + +的最小值是的最小值是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 小题，共小题，共 74 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （本题 （本题 14 分）分） 在在ABC中中，角角CBA,所对的边分别是所对的边分别是cba,，已知已知 A C a cb cos cos2 = = （）求角（）求角A的大小；的大小； （）（）若若14= =a，24= =+ + cb，求，求ABC的面积的面积 高三高三数学数学 试题卷试题卷 第第5页（共页（共 6 页）页） 19 （本题 （本题 15 分）分） 在在数列数列 n a、 n b中中，设设 n S是是数列数列 n a的前的前n项和，项和，已知已知1 1 = =a，2 1 + += = + +nn aa， 12)12(53 21 + + = =+ + + + + + n n n abnbb， Nn （）求（）求 n a和和 n S； （）（）若若kn 时，时， nn Sb8 恒成立，求整数恒成立，求整数k的最小值的最小值 20 （本题 （本题 15 分）分） 如图，多面体如图，多面体 1111 DCBPABCDA由正方体由正方体 1111 DCBAABCD 和四棱锥和四棱锥ABCDP 组组 成正方体成正方体 1111 DCBAABCD 棱长为棱长为 2，四棱锥，四棱锥ABCDP 侧棱长都相等，高为侧棱长都相等，高为 1 （）求证：（）求证： CB1平面平面PCD； （）求二面角（）求二面角CPBB 1 的余弦值的余弦值 P AB C D 1 A 1 B 1 C 1 D （第（第 20 题）题） 高三高三数学数学 试题卷试题卷 第第6页（共页（共 6 页）页） 21 （本题 （本题 15 分）分） 已知椭圆已知椭圆C的中心在坐标原点的中心在坐标原点O，其右焦点为，其右焦点为)0, 1(F，以坐标原点，以坐标原点O为圆心，椭圆为圆心，椭圆 短半轴长为半径的圆与直线短半轴长为半径的圆与直线06 = =+ + yx相切相切 （）求（）求椭圆椭圆C的方程的方程； （）（）经过点经过点F的直线的直线 21, l l分别交椭圆分别交椭圆C于于BA,及及DC,四点，且四点，且 21 ll ， 探究：是否存在常数探究：是否存在常数 ，使得，使得|CDABCDAB = =+ + 22 （本题 （本题 15 分）分） 已知函数已知函数)R,()ln()( + += =ba x b axxf，且曲，且曲线线)(xfy = =在点在点)2(, 2(f处的切线方处的切线方 程为程为2 = = xy （）求实数（）求实数ba,的值的值； （ ） 函 数（ ） 函 数)R()1()( + += =mmxxfxg有 两 个 不 同 的 零 点有 两 个 不 同 的 零 点 21, x x， 求 证 ：， 求 证 ： 2 21 exx y x O 1 l 2 l A B C D F （第（第 21 题）题） 高三数学高三数学 参考答案参考答案 第第1页（共页（共 8 页）页） 嘉兴市嘉兴市 20182019 学年第一学期期末检测学年第一学期期末检测 高三高三数学数学 参考答案参考答案（2019.1） 一一、选择题（本大题有选择题（本大题有 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1D； 2C； 3B； 4A； 5C； 6B； 7C； 8B； 9A； 10D 9提示：显然提示：显然 2 , 0(, ，因为因为ba ，故，故 2 1 )(1 1 cos 2 22 2 a b ba a ， 故故) 3 , 0( ， 2 1 1)(2 1 2 cos 2 22 b a ba b ，故，故) 2 , 3 ( ，而，而 2 ， 故故 10提示：可构图，点提示：可构图，点P在椭圆在椭圆1 34 22 yx 上，而上，而|OPba ，显然，显然2|3 OP 二二、填空题（本大题有填空题（本大题有 7 小题，小题，多空题每题多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，分，共共 36 分）分） 117, 2 x； 12 25 7 , 2 1 ； 1323, 2； 146, 1 , 2； 153； 1627； 17153 17提示：提示：抛物线抛物线xy4 2 的焦点是的焦点是)0, 1(F，准线是，准线是1 x，故由抛物线的定义可知，故由抛物线的定义可知 1| PFPH， 故故1|1| QFPFPQPHPQ， 易知四边形， 易知四边形CMQN为正方形，为正方形， 故故22| rCQ，因此点，因此点Q在以在以)3, 5( C为圆心，为圆心，2 r为半径的圆上，为半径的圆上， 故故253| rCFQF，所以，所以15312531| QFPHPQ， 高三数学高三数学 参考答案参考答案 第第2页（共页（共 8 页）页） 即即153|)|(| min PHPQ 三、解答题： （本大题共三、解答题： （本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18 （本题 （本题 14 分）分） 在在ABC中中，角角CBA,所对的边分别是所对的边分别是cba,，已知已知 A C a cb cos cos2 （）求角（）求角A的大小；的大小； （）（）若若14 a，24 cb，求，求ABC的面积的面积 解：解： （）根据正弦定理，（）根据正弦定理， A C A CB A C a cb cos cos sin sinsin2 cos cos2 ， 整理得整理得ACACABcossinsincoscossin2 ， 即即)sin(cossin2CAAB ， 而而BCA ，所以所以BABsincossin2 ，解得解得 2 1 cos A， 又又), 0( A，故，故 3 A； 7 分分 （）根据余弦定理，（）根据余弦定理，AbcbccbAbccbacos22)(cos2 2222 ， 又又14 a，24 cb， 3 A， 故故 2 1 22)24()14( 22 bcbc，解得，解得6 bc， 所以所以 2 33 3 sin6 2 1 sin 2 1 AbcS ABC 14 分分 高三数学高三数学 参考答案参考答案 第第3页（共页（共 8 页）页） 19 （本题 （本题 15 分）分） 在在数列数列 n a、 n b中中，设设 n S是是数列数列 n a的前的前n项和，项和，已知已知1 1 a，2 1 nn aa， 12)12(53 21 n n n abnbb， Nn （）（）求求 n a和和 n S； （）； （）若若kn 时，时， nn Sb8 恒成立恒成立，求，求整数整数k的最小值的最小值 解：解： （）因为（）因为2 1 nn aa，即即2 1 nn aa，所以所以 n a是等差数列，是等差数列， 又又1 1 a，所以，所以12 nan，从而从而 n S 2 2 )121( n nn 7 分分 （）因为（）因为12 nan，所以，所以1)12(2)12(753 321 nbnbbb n n , , 当当2 n时，时，1)12(2)12()12(753 1321 nbnbnbbb n nn 1)32(2)12(753 1 1321 nbnbbb n n 可得可得)12(2)12( 1 nbn n n ， （， （2 n） ，） ，即即 1 2 n n b， 而而1 1 b也满足，故也满足，故 1 2 n n b 令令 nn Sb8 ，则，则 21 82n n ，即，即 24 2n n ， 因为因为 2410 102 ， 2411 112 ，依据指数增长性质，整数依据指数增长性质，整数k的最小值是的最小值是 1111 15 分分 高三数学高三数学 参考答案参考答案 第第4页（共页（共 8 页）页） 20 （本题 （本题 15 分）分） 如图，多面体如图，多面体 1111 DCBPABCDA由正方体由正方体 1111 DCBAABCD 和四棱锥和四棱锥ABCDP 组组 成成正方体正方体 1111 DCBAABCD 棱长为棱长为 2，四棱锥，四棱锥ABCDP 侧棱长都相等，高为侧棱长都相等，高为 1 （）（）求证：求证： CB1平面平面PCD； （）（）求二面角求二面角CPBB 1 的余弦值的余弦值 解： （几何法）解： （几何法） （）取正方体（）取正方体上下底面中心上下底面中心O、 1 O，则，则P、O、 1 O共线共线 在在 11B PO中，因为中，因为3 1 PO，2 11 OB，所以，所以11 1 PB 在在POC中，因为中，因为1 PO，2 CO，所以，所以3 PC 在在CPB1中，中，又又22 1 CB，所以，所以 90 1 PCB，即，即PCCB 1 又又CDCB 1 ，故，故 CB1平面平面PCD 7 分分 （）（） CO平面平面 1 PBB， 作作 1 PBOE 于于E，连，连CE，则，则 1 PBCE ， 所以所以CEO 是二面角是二面角CPBO 1 的平面角的平面角 在在 11B PO中，中， 1 11 PB OB PO OE ，所以，所以 11 2 OE 在在CEO中，中，11tan OE OC CEO 从而，二面角从而，二面角CPBB 1 的余弦值是的余弦值是 6 3 15 分分 （向量法）（向量法） 建立空间直角坐标系建立空间直角坐标系xyzO （DCAD 111 ） （）因为（）因为)2 , 0 , 2( 1 CB，)0 , 2, 0( CD，)1 , 1, 1( CP， P AB C D 1 A 1 B 1 C 1 D （第（第 20 题）题） P AB C D 1 A 1 B 1 C 1 D （第（第 20 题）题） O 1 O E 高三数学高三数学 参考答案参考答案 第第5页（共页（共 8 页）页） 所以所以0 1 CDCB，0 1 CPCB，即，即CDCB 1 ，CPCB 1 故，故， CB1平面平面PCD （）（）平面平面 1 BPB的一个法向量是的一个法向量是)0 , 1, 1(2)0 , 2, 2( m 设设),(zyxn 是平面是平面 1 CPB的法向量，则的法向量，则 0 022 zyx zx 1:2:1: zyx，取，取)1 , 2 , 1( n 故，二面角故，二面角CPBB 1 的余弦值是的余弦值是 62 1 ,cosnm 6 3 21 （本题 （本题 15 分）分） 已知椭圆已知椭圆C的中心在坐标原点的中心在坐标原点O，其右焦点为，其右焦点为)0, 1(F，以坐标原点，以坐标原点O为圆心，椭圆为圆心，椭圆 短半轴长为半径的圆与直线短半轴长为半径的圆与直线06 yx相切相切 （）求（）求椭圆椭圆C的方程的方程； （）（）经过点经过点F的直线的直线 21, l l分别交椭圆分别交椭圆C于于BA,及及DC,四点，且四点，且 21 ll ， 探究：是否存在常数探究：是否存在常数 ，使得，使得|CDABCDAB 解： （）设所求解： （）设所求椭圆椭圆C的的方程为方程为)0(1 2 2 2 2 ba b y a x ， y x O 1 l 2 l A B C D F 高三数学高三数学 参考答案参考答案 第第6页（共页（共 8 页）页） 由点由点O到直线到直线06 yx的距离为的距离为b，故，故3 )1(1 |600| 22 b， 又又1 c，所以所以4 222 cba， 故所求椭圆故所求椭圆C的的方程为方程为1 34 22 yx ； 6 分分 （）（）假设存在常数假设存在常数 ，使得，使得|CDABCDAB 恒成立，则恒成立，则 | 1 | 1 CDAB ， （）当当 1 l与与 2 l其中一条直线的斜率不存在时，易其中一条直线的斜率不存在时，易知知|,|CDAB其中一个为长轴，其中一个为长轴， 另一个为通径，长轴长为另一个为通径，长轴长为42 a，通径为，通径为3 2 2 a b ， 此时此时 12 7 3 1 4 1 | 1 | 1 CDAB ， （）当当 1 l与与 2 l斜率斜率存在且不为零时，不妨设存在且不为零时，不妨设 1 l的方程为的方程为)0(1 ttyx，则，则 2 l的方程的方程)0(1 1 ty t x，联立方程联立方程 1 1 34 22 tyx yx ，消去，消去x可得可得 096)43( 22 tyyt，设设), 1( 11 ytyA ，), 1( 22 ytyB ，则，则 )( 43 9 43 6 2 21 2 21 t yy t t yy ，所以所以 4)(1()(1(| 21 2 21 22 21 2 yyyytyytAB ， 将将)( 代入代入，化简可得，化简可得 43 )1(12 | 2 2 t t AB， 在在| AB的表达式中用“的表达式中用“ t 1 ”代“”代“t”可得”可得 34 )1(12 | 2 2 t t CD， 所以所以 12 7 )1(12 77 34 )1(12 1 43 )1(12 1 | 1 | 1 2 2 2 2 2 2 t t t t t t CDAB 高三数学高三数学 参考答案参考答案 第第7页（共页（共 8 页）页） 综合综合（）（）可知）可知存在常数存在常数 12 7 ，使得，使得|CDABCDAB 恒成立恒成立 15 分分 22 （本题 （本题 15 分）分） 已知函数已知函数)R,()ln()( ba x b axxf，且曲线，且曲线)(xfy 在点在点)2(, 2(f处的切线方处的切线方 程为程为2 xy （）求实数（）求实数ba,的值的值； （）函数（）函数)R()1()( mmxxfxg有两个不同的零点有两个不同的零点 21, x x，求证：，求证