2013高考考前讲义函数、解析几何、数列(教师、学生).doc

2013高考考前讲义专题一：函数一、选择题1. 1函数在上是增函数，则实数的取值范围是（ ）A B C D 试题分析：函数导数 时恒成立，即，设2已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是( )A B C D 试题分析：因为，所以，又因为，函数在（1，4）上是减函数，所以在（1，4）恒成立，所以恒成立，而在（1,4）是减函数，所以，故选D。3.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）(A) (B) (C) (D) 【答案】B试题分析：根据题意，由于对一切实数x，不等式恒成立，那么可知恒成立，那么可知，当|x|=1,时成立，当x=0时，则a可以取一切实数，因此可知a的范围是取交集得到为，故选B.4设是R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（ ）A（1，2）BC D【答案】D【解析】对于任意的xR，都有，函数f（x）是一个周期函数，且T=4又当x时，f（x）= -1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，故函数在区间上的图象如下图所示：若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数解则解得：a2故选D二、填空题1.若函数的零点个数为，则_4_2.是奇函数，则为_2_。3函数的单调递减区间为_三、解答题1.已知是函数的一个极值点。（）求；（）求函数的单调区间；（）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。【解析】试题分析：（）因为 ，是函数的一个极值点，所以， 因此. -3分（）由（）知， ，当时，当时，所以的单调增区间是， -6分的单调减区间是. -8分（）由（）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，且当或时，所以的极大值为，极小值为. -10分因此 所以在的三个单调区间,因为直线有的图象各有一个交点，当且仅当2.设函数（1）求函数的单调递增区间；（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围解：（）函数的定义域为，1分，2分，则使的的取值范围为，故函数的单调递增区间为 4分（）方法1：，6分令，且，由在区间内单调递减，在区间内单调递增，9分故在区间内恰有两个相异实根11分即解得：综上所述，的取值范围是13分3.已知函数，其中（）若，求曲线在点处的切线方程；（）若在区间上，恒成立，求的取值范围【解】（）当时，所以曲线在点处的切线方程为，即（）令，解得或针对区间，需分两种情况讨论：(1) 若,则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减所以在区间上的最小值在区间的端点得到因此在区间上，恒成立，等价于即解得，又因为，所以(2) 若，则当变化时，的变化情况如下表：增极大值减极小值增所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到因此在区间上，恒成立，等价于即解得或，又因为，所以综合(1),(2), 的取值范围为.4.设函数 （）若存在使不等式能成立，求实数的最小值； （）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围解：（）依题意得，分，分当时，故在区间上单调递增，所以故，即实数的最小值是6分 （）依题意得，在上恰有两个相异实根，令，则，分当时，当时，故在上是减函数，在上是增函数，故 ，因为，所以只要，即可以使方程在上恰有两个相异实根即 12分5.若函数 （）求函数的单调区间 （）若对所有的成立，求实数a的取值范围.解：（1）的定义域为12分2分当3分时4分5分综上：单调递减区间为的单调递增区间（0，+） （2）则专题二：解析几何1“”是“直线和线垂直”的A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析：直线和直线垂直，解得m=0或-1，故“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件考点：本题考查了充要条件的判断及直线垂直的充要条件点评：若直线l与l的方程分别为Ax+By+C=0和Ax+By+C=0, 则 llAA+BB=0.2下列双曲线中，渐近线方程是的是A B C D【答案】A【解析】试题分析：根据已知题意，由于渐近线方程是，则要分情况，当焦点在x轴上时，则满足，可知，而满足焦点位置的为选项A,B，分别验证，可知选项A中，成立,选项B中，不成立，故当焦点在y轴时，则有，C,D验证可知都不满足题意，故选A3已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点。设,则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，-4k），因为，所以（x1，y1+4k）=1（4-x1，-y1）因为，所以（x2，y2+4k）=2（4-x2，-y2）得到,直线方程代入椭圆中，得到故选B4.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（ ）A,3 B,C,3D-1,【答案】A【解析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（1y3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围曲线方程可化简为（1y3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x-b距离等于2，即=2解得b=1+2或b=1-2，因为是下半圆故可知b=1+2（舍），故b=1-2当直线过（0，3）时，解得b=3，故1-2b3，故选A5双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是（ ）A B C D【答案】A【解析】分析：根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=x再由双曲线离心率为，得到c=a，由定义知b= =a，代入即得此双曲线的渐近线方程解答：解：双曲线C方程为：（a0，b0）双曲线的渐近线方程为y=x又双曲线离心率为，c=a，可得b=a因此，双曲线的渐近线方程为y=x故答案为A6.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使F1AF2=90，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（ B ）(A) (B)(C) (D) 二、填空题1已知椭圆上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则等于 4 2.已知椭圆和双曲线，其中为椭圆的焦点，且P是椭圆与双曲线的一个交点，则_.3.在极坐标系中已知一个圆的方程为那么过圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为_三解答题1.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点（）若，求的值；（）求四边形面积的最大值（）解：依题设得椭圆的方程为，直线的方程分别为，2分如图，设，其中，DFByxAOE且满足方程，故由知，得；由在上知，得所以，化简得，解得或（）解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点到的距离分别为，又，所以四边形的面积为，当，即当时，上式取等号所以的最大值为1解法二：由题设，设，由得，故四边形的面积为，当时，上式取等号所以的最大值为2.已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.PQoxyF(1)设（为原点），求点的轨迹方程；(2)若直线的倾斜角为60，求的值.解：(1)设 由，易得右焦点 -（2分）当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知 当直线的斜率存在时，可设直线的方程为代入E有; -（5分）于是; 消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是-（8分）(2)设椭圆另一个焦点为，在中设，则由余弦定理得 同理，在，设，则也由余弦定理得 于是 -（12分）3.已知椭圆C：1（ab0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON ；（2）对于椭圆C上任意一点M ，试证：总存在角（R）使等式：cossin成立。解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为： 2分易知右焦点F的坐标为（），据题意有AB所在的直线方程为： 3分由，有： 设，弦AB的中点，由及韦达定理有： 所以，即为所求。 5分(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：，所以。 7分又点在椭圆C上，所以有整理为。 由有：。所以 又AB在椭圆上，故有 将，代入可得：。 11分对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然 。也就是：对于椭圆C上任意一点M ，总存在角（R）使等式：cossin成立。专题3：数列部分一、选择题1.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（ ）AB1C2D32.已知等比数列满足，且，则当时， A. B. C. D. 【解析】由得，则， ，选C. 【答案】C二、填空题1.设数列的前项和为，关于数列有下列四个命题：若既是等差数列又是等比数列，则；若，则是等差数列；若，则是等比数列；若是等比数列，则也成等比数列；若是等差数列，则是等比数列其中正确的命题是 （填上正确的序号）。2.数列an中：，则S2002 3.数列的前n项和为，=1， ( n),则的通项公式为 。解：由=1，=2，当n2时=得=3，因此是首项为=2，q=3的等比数列。故= (n2),而=1不满足该式 所以=。4.设等差数列的前项和为，若,则= 。解: 是等差数列,由,得. 三、解答题1.已知数列an中，a10, 且an+1=， ()试求a1的值，使得数列an是一个常数数列；()试求a1的取值范围,使得an+1an对任何自然数n都成立；()若a1 = 2，设bn = | an+1an| (n = 1，2，3，)，并以Sn表示数列bn的前n项的和，求证：Sn0，可得an0并解出：an=，即a1 = an = 4()研究an+1an= (n2) 注意到0因此，可以得出：an+1an，anan1，an1an2，a2a1有相同的符号7要使an+1an对任意自然数都成立,只须a2a10即可.由0，解得：0a1时，an+1an对任何自然数n都成立.因此当a1=2时，an+1an0 10 Sn= b1+b2+bn=|a2a1| + |a3a2| + |an+1an|=a1a2a2a3anan+1=a1an+1=2an+1 13又：an+2=, 故Sn2=2.数列 ()求并求数列的通项公式； ()设证明：当 解 ()因为一般地，当时，即所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此当时，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此故数列的通项公式为()由()知， -得， 所以 要证明当时，成立，只需证明当时，成立. 证法一 (1)当n=6时，成立. (2)假设当时不等式成立，即 则当n=k+1时， 由(1)、(2)所述，当n6时，即当n6时， 证法二 令，则 所以当时，.因此当时，于是当时，综上所述，当时，3已知函数f(x)x3ax在(0，1)上是增函数(1)求实数a的取值集合A；(2)当a取A中最小值时，定义数列an满足：2an1f(an)，且a1b(0，1)(b为常数)，试比较an1与an的大小； (3)在(2)的条件下，问是否存在正实数c使02对一切nN恒成立？(1)f(x)3x2a0，对x(0，1)恒成立，求出a34分(2)当a3时，由题意：an1aan，且a1b(0，1)以下用数学归纳法证明：an(0，1)，对nN恒成立当n1时，a1b(0，1)成立；6分假设nk时，ak(0，1)成立，那么当nk1时， ak1ak3ak，由知g(x)(x33x)在(0，1)上单调递增，g(0)g(ak)g(1) 即0ak11，由知对一切nN都有an(0，1) 而an1anan3ananan(1an2)0 an1an10分(3)存在正实数c，使02恒成立,令y1，在(c，)上是减数，随着an增大，而小，