数值分析课后习题部分参考答案.doc

数值分析课后习题部分参考答案Chapter 1（P10）5. 求的近似值，使其相对误差不超过。解：。设有位有效数字，则。从而，。故，若，则满足要求。解之得，。（P10）7. 正方形的边长约，问测量边长时误差应多大，才能保证面积的误差不超过1。解：设边长为，则。设测量边长时的绝对误差为，由误差在数值计算的传播，这时得到的面积的绝对误差有如下估计:。按测量要求，解得，。Chapter 2（P47）5. 用三角分解法求下列矩阵的逆矩阵： 。解：设。分别求如下线性方程组：，。先求的LU分解（利用分解的紧凑格式），。即，。经直接三角分解法的回代程，分别求解方程组，和，得，；和，得，；和，得，；。所以，。（P47）6. 分别用平方根法和改进平方根法求解方程组：解:平方根法：先求系数矩阵的Cholesky分解（利用分解的紧凑格式），即，其中，。经平方根法的回代程，分别求解方程组和，得，。改进平方根法：先求系数矩阵的形如的分解，其中为单位下三角矩阵，为对角矩阵。利用计算公式，得；。分别求解方程组，和，得，。（P48）12. 已知方程组的解为。（1） 计算系数矩阵的条件数；（2） 取，分别计算残量。本题的计算结果说明了什么？解：（1）设，求得，。从而，。（2）计算得，；，。这说明，系数矩阵的条件数很大时，残量的大小不能反映近似解精度的高低。Chapter 3（P72）3. 用Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代求解方程组取初值，迭代4次，并比较它们的计算结果。解：由方程组得，从而，Jacobi迭代格式为：，Gauss-Seidel迭代格式为：，整理得，Jacobi迭代：Gauss-Seidel迭代：Jacobi迭代中已经是方程组的精确解，而从Gauss-Seidel迭代的计算结果，可以预见它是发散的。（P73）9.设有方程组（1） 分别写出Jacobi迭代法和Gauss-Seidel迭代法的计算公式，（2） 用迭代收敛的充要条件给出这两种迭代法都收敛的的取值范围。解: 由方程组得，从而，Jacobi迭代格式为：，迭代矩阵为：设，求得，故。另由Jacobi迭代格式，得Gauss-Seidel迭代格式为：，迭代矩阵为：设，求得，故。另外，应保证方程组的系数矩阵非奇异，解得，。由迭代收敛的充要条件得，Jacobi迭代收敛；Gauss-Seidel迭代收敛。故，使得两种迭代法都收敛的的取值范围是相同的：。（P74）12.证明对称矩阵当时为正定矩阵，且只有当时，Jacobi迭代解才收敛。解: 为正定当且仅当以下三个不等式同时成立：，解之得，。此时解方程组的Gauss-Seidel迭代收敛。另外，可得解方程组的Jacobi迭代格式的迭代矩阵为解得，。由收敛的充要条件，Jacobi迭代收敛当且仅当。Chapter 5（P140）7.设为个互异节点，为这组节点上的次Lagrange插值基函数，试证：（1）；（2）。证：（1）对于固定的，设，则为次数不超过的多项式，且， 而对于多项式函数当然也满足如上的等式条件以及次数，由Lagrange插值问题的适定性，。（2）对于固定的，证完。Chapter 6P163 9. 设是区间上权函数为的最高项系数为1的正交多项式系，其中，试求和。解：由的正交性，当时，；当时，。另外，设，其中为待定系数。由的正交性，即。解之得，。故，。P163 11（3）利用正交函数族，求下列函数的最小二乘三次拟合多项式：解：设，及对于任意两个函数， 。再设关于如上定义的的0次，1次，2次，3次正交多项式分别为，其中，为待定系数。由正交性，求得；求得；求得。设所求的最小二乘三次拟合多项式为，其中为待定系数。则，。P163 13（2）求下列函数在指定区间上的一次最佳平方逼近多项式：解：设所求多项式为，其中为待定系数。则，化简并计算得关于的方程组，解之得，。Chapter 7P205 8 求近似公式的代数精确度。解：令，则公式左端=1，右端=1；令，则公式左端，右端；令，则公式左端，右端；令，则公式左端，右端；令，则公式左端，右端，左端右端。故，公式的代数精确度为3。P205 11 若用复化梯形公式计算积分，问积分区间要等分为多少份才能保证计算结果有四位有效数字（假定计算过程无舍入误差）？若用复化Simpson公式计算，积分区间应等分为多少份？解：考虑的Maclaurin级数展开：可得，当时，。从而。按照精度要求，绝对误差。复化梯形公式：设等分区间的份数为，则截断误差为，其中为上的某一点。计算可得，。令，解得，。故，用复化梯形公式计算积分时，满足精度要求的所需等分区间的份数至少为58.复化Simpson公式：设等分区间的份数为，则截断误差为，其中为上的某一点。计算可得，。令，解得，。故，用复化Simpson公式计算积分时，满足精度要求的所需等分区间的份数至少为8。P205 16 （3）确定下列公式中的节点及求积系数，使其具有尽可能高的代数精确度：解：设公式对精确成立，则有，解