圆中的压轴题.doc

圆中的压轴题常考知识点：1、说明某条线是切线（两种常考方案，一种是说明垂直，另一种是说明距离相等）2、利用K形相似或其他特殊条件（等腰三角形，直角三角形）求解线段长度3、利用切线性质求解线段长度例1：如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，半径为2的圆与y轴交于点A，点P（4，2）是O外一点，连接AP，直线PB与O相切于点B，交x轴于点C（1）证明PA是O的切线；（2）求点B的坐标；（3）求直线AB的解析式解：（1）证明：依题意可知，A（0，2）A（0，2），P（4，2），APx轴 OAP=90，且点A在O上，PA是O的切线； （2）解法一：连接OP，OB，作PEx轴于点E，BDx轴于点D，PB切O于点B，OBP=90，即OBP=PEC，又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或证RtOAPOBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2+PE2，x2=(4x)2+22，解得x=， 4分BC=CE=4=，OBBC=OCBD，即2=BD，BD=OD=，由点B在第四象限可知B（，）； 解法二：连接OP，OB，作PEx轴于点E，BDy轴于点D，PB切O于点B，OBP=90即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PEC，OBCPECOC=PC（或证RtOAPOBP，再得到OC=PC也可）设OC=PC=x，则有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22，解得x=， 4分BC=CE=4=，BDx轴，COB=OBD，又OBC=BDO=90，OBCBDO， =，即=BD=，OD=由点B在第四象限可知B（，）； （3）设直线AB的解析式为y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得； 解得直线AB的解析式为y=2x+2【考点解剖】 本题考查了切线的判定、全等、相似、勾股定理、等面积法求边长、点的坐标、待定系数法求函数解析式等【解题思路】（1） 点A在圆上，要证PA是圆的切线，只要证PAOA（OAP=90）即可，由A、P两点纵坐标相等可得APx轴，所以有OAP+AOC=180得OAP=90；（2） 要求点B的坐标，根据坐标的意义，就是要求出点B到x轴、y轴的距离，自然想到构造RtOBD，由PB又是O的切线，得RtOAPOBP，从而得OPC为等腰三角形，在RtPCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出关于CE的方程可求出CE、OC的长，OBC的三边的长知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得点B的坐标；（3）已知点A、点B的坐标用待定系数法可求出直线AB的解析式【方法规律】 从整体把握图形，找全等、相似、等腰三角形；求线段的长要从局部入手，若是直角三角形则用勾股定理，若是相似则用比例式求，要掌握一些求线段长的常用思路和方法.例2：如图所示，AB是O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CDAB于点D，CD交AE于点F，过C作CGAE交BA的延长线于点G（1）求证：CG是O的切线（2）求证：AF=CF（3）若EAB=30，CF=2，求GA的长考点：切线的判定；等腰三角形的判定与性质；垂径定理；圆周角定理；相似三角形的判定与性质3718684分析：（1）连结OC，由C是劣弧AE的中点，根据垂径定理得OCAE，而CGAE，所以CGOC，然后根据切线的判定定理即可得到结论；（2）连结AC、BC，根据圆周角定理得ACB=90，B=1，而CDAB，则CDB=90，根据等角的余角相等得到B=2，所以1=2，于是得到AF=CF；（3）在RtADF中，由于DAF=30，FA=FC=2，根据含30度的直角三角形三边的关系得到DF=1，AD=，再由AFCG，根据平行线分线段成比例得到DA：AG=DF：CF然后把DF=1，AD=，CF=2代入计算即可解：（1）证明：连结OC，如图，C是劣弧AE的中点，OCAE，CGAE，CGOC，CG是O的切线；（2）证明：连结AC、BC，AB是O的直径，ACB=90，2+BCD=90，而CDAB，B+BCD=90，B=2，AC弧=CE弧，1=B，1=2，AF=CF；（3）解：在RtADF中，DAF=30，FA=FC=2，DF=AF=1，AD=DF=，AFCG，DA：AG=DF：CF，即：AG=1：2，AG=2点评：本题考查了圆的切线的判定：过半径的外端点与半径垂直的直线为圆的切线也考查了圆周角定理、垂径定理和等腰三角形的判定例3：在平面直角坐标系xOy中，已知点A（6，0），点B（0，6），动点C在以半径为3的O上，连接OC，过O点作ODOC，OD与O相交于点D（其中点C、O、D按逆时针方向排列），连接AB（1）当OCAB时，BOC的度数为45或135；（2）连接AC，BC，当点C在O上运动到什么位置时，ABC的面积最大？并求出ABC的面积的最大值（3）连接AD，当OCAD时，求出点C的坐标；直线BC是否为O的切线？请作出判断，并说明理由考点：圆的综合题3718684专题：综合题分析：（1）根据点A和点B坐标易得OAB为等腰直角三角形，则OBA=45，由于OCAB，所以当C点在y轴左侧时，有BOC=OBA=45；当C点在y轴右侧时，有BOC=180OBA=135；（2）由OAB为等腰直角三角形得AB=OA=6，根据三角形面积公式得到当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，过O点作OEAB于E，OE的反向延长线交O于C，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长然后利用等腰直角三角形的性质计算出OE，然后计算ABC的面积；（3）过C点作CFx轴于F，易证RtOCFRtAOD，则=，即=，解得CF=，再利用勾股定理计算出OF=，则可得到C点坐标；由于OC=3，OF=，所以COF=30，则可得到BOC=60，AOD=60，然后根据“SAS”判断BOCAOD，所以BCO=ADC=90，再根据切线的判定定理可确定直线BC为O的切线解：解：（1）点A（6，0），点B（0，6），OA=OB=6，OAB为等腰直角三角形，OBA=45，OCAB，当C点在y轴左侧时，BOC=OBA=45；当C点在y轴右侧时，BOC=180OBA=135；（2）OAB为等腰直角三角形，AB=OA=6，当点C到AB的距离最大时，ABC的面积最大，过O点作OEAB于E，OE的反向延长线交O于C，如图，此时C点到AB的距离的最大值为CE的长，OAB为等腰直角三角形，AB=OA=6，OE=AB=3，CE=OC+CE=3+3，ABC的面积=CEAB=（3+3）6=9+18当点C在O上运动到第三象限的角平分线与圆的交点位置时，ABC的面积最大，最大值为9+18（3）如图，过C点作CFx轴于F，OCAD，ADO=COD=90，DOA+DAO=90而DOA+COF=90，COF=DAO，RtOCFRtAOD，=，即=，解得CF=，在RtOCF中，OF=，C点坐标为（，）；直线BC是O的切线理由如下：在RtOCF中，OC=3，OF=，COF=30，OAD=30，BOC=60，AOD=60，在BOC和AOD中，BOCAOD（SAS），BCO=ADC=90，OCBC，直线BC为O的切线点评：本题考查了圆的综合题：掌握切线的判定定理、平行线的性质和等腰直角三角形的判定与性质；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算例4：【新定义问题】对于平面直角坐标系O中的点P和C，给出如下定义：若C上存在两个点A，B，使得APB=60，则称P为C 的关联点。已知点D（，），E（0，-2），F（，0）（1）当O的半径为1时，在点D，E，F中，O的关联点是_；过点F作直线交轴正半轴于点G，使GFO=30，若直线上的点P（，）是O的关联点，求的取值范围；（2）若线段EF上的所有点都是某个圆的关联点，求这个圆的半径的取值范围。【解析】(1) ； 由题意可知，若点要刚好是圆的关联点； 需要点到圆的两条切线和之间所夹的角度为；由图可知，则，连接，则；若点为圆的关联点；则需点到圆心的距离满足；由上述证明可知，考虑临界位置的点，如图2；点到原点的距离；过作轴的垂线，垂足为；易得点与点重合，过作轴于点；易得；从而若点为圆的关联点，则点必在线段上；(2) 若线段上的所有点都是某个圆的关联点，欲使这个圆的半径最小， 则这个圆的圆心应在线段的中点；考虑临界情况，如图3；即恰好点为圆的关联时，则；此时；故若线段上的所有点都是某个圆的关联点，这个圆的半径的取值范围为. 【点评】“新定义”问题最关键的是要能够把“新定义”转化为自己熟悉的知识，通过第(2)问开头部分的解析，可以看出本题的“关联点”本质就是到圆心的距离小于或等于倍半径的点.了解了这一点，在结合平面直角坐标系和圆的知识去解答就事半功倍了.例5：射线QN与等边ABC的两边AB，BC分别交于点M，N，且ACQN，AM=MB=2cm，QM=4cm动点P从点Q出发，沿射线QN以每秒1cm的速度向右移动，经过t秒，以点P为圆心，cm为半径的圆与ABC的边相切（切点在边上），请写出t可取的一切值 （单位：秒）考点：切线的性质；等边三角形的性质专题：分类讨论分析：求出AB=AC=BC=4cm，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况：画出图形，结合图形求出即可；解答：解：ABC是等边三角形，AB=AC=BC=AM+MB=4cm，A=C=B=60，QNAC，AM=BMN为BC中点，MN=AC=2cm，BMN=BNM=C=A=60，分为三种情况：如图1，当P切AB于M时，连接PM，则PM=cm，PMM=90，PMM=BMN=60，MM=1cm，PM=2MM=2cm，QP=4cm2cm=2cm，即t=2；如图2，当P于AC切于A点时，连接PA，则CAP=APM=90，PMA=BMN=60，AP=cm，PM=1cm，QP=4cm1cm=3cm，即t=3，当当P于AC切于C点时，连接PC，则CPN=ACP=90，PNC=BNM=60，CP=cm，PN=1cm，QP=4cm+2cm+1cm=7cm，即当3t7时，P和AC边相切；如图1，当P切BC于N时，连接PN3则PN=cm，PMNN=90，PNN=BNM=60，NN=1cm，PN=2NN=2cm，QP=4cm+2cm+2cm=8cm，即t=8；故答案为：t=2或3t7或t=8点评：本题考查了等边三角形的性质，平行线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形性质，切线的性质的应用，主要考查学生综合运用定理进行计算的能力，注意要进行分类讨论啊（2013巴中）如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，A点坐标为（4，0），B点坐标为（1，0），以AB的中点P为圆心，AB为直径作P的正半轴交于点C（1）求经过A、B、C三点的抛物线所对应的函数解析式；（2）设M为（1）中抛物线的顶点，求直线MC对应的函数解析式；（3）试说明直线MC与P的位置关系，并证明你的结论考点：二次函数综合题；解二元一次方程组；待定系数法求一次函数解析式；二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定245761 专题：计算题分析：（1）求出半径，根据勾股定理求出C的坐标，设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）代入求出a即可；（2）求出M的坐标，设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得到方程组，求出方程组的解即可；（3）根据点的坐标和勾股定理分别求出PC、DC、PD的平方，根据勾股定理的逆定理得出PCD=90，即可求出答案解答：解：（1）A（4，0），B（1，0），AB=5，半径是PC=PB=PA=，OP=1=，在CPO中，由勾股定理得：OC=2，C（0，2），设经过A、B、C三点抛物线解析式是y=a（x4）（x+1），把C（0，2）代入得：2=a（04）（0+1），a=，y=（x4）（x+1）=x2+x+2，答：经过A、B、C三点抛物线解析式是y=x2+x+2（2）y=x2+x+2=+，M（，），设直线MC对应函数表达式是y=kx+b，把C（0，2），M（，）代入得：，解得：k=，b=2，y=x+2，y=x+2答：直线MC对应函数表达式是y=x+2（3）MC与P的位置关系是相切证明：设直线MC交x轴于D，当y=0时，0=x+2，x=，OD=，D（，0），在COD中，由勾股定理得：CD2=22+=，PC2=，PD2=，CD2+PC2=PD2，PCD=90，PCDC，PC为半径，MC与P的位置关系是相切本题主要考查对用待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理，解二元一次方程组，二次函数的最值，切线的判定等知识点的连接和掌握，能综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键（2013深圳）如图8，抛物线y = ax2 + bx + c经过A（1，0）、B（5，0）两点，最低点的纵坐标为4，与y轴交于点C。（1）（3分）求该抛物线的函数解析式；（2）（3分）如图8 -1，若ABC的外接圆O1交y轴不同于点C的点D，且CD = AB，求tanACB的值。（3）（4分）如图8 2，设O1的弦DE/x轴，在x轴上是否存在点F，使OCF与CDE相似？若存在，求出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，