2018年中考数学满分冲刺讲义第8讲类比结构构造—类比探究.docx

第8讲、类比结构构造类比探究（讲义）1. 我们定义：如图1，在ABC中，把AB绕点A顺时针旋转（0180）得到AB，把AC绕点A逆时针旋转得到AC，连接BC当+=180时，我们称ABC是ABC的“旋补三角形”，ABC边BC上的中线AD叫做ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图2、图3中，ABC是ABC的“旋补三角形”，AD是ABC的“旋补中线”如图2，当ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD=_BC；如图3，当BAC=90，BC=8时，则AD的长为_猜想论证：（2）在图1中，当ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明拓展应用图3（3）如图4，四边形ABCD，C=90，D=150，BC=12，CD=，DA=6在四边形内部是否存在点P，使PDC是PAB的“旋补三角形”？若存在，请给予证明，并求PAB的“旋补中线”长；若不存在，请说明理由图4 图1 图22. 【探索发现】如图1，是一张直角三角形纸片，B=90，小明想从中剪出一个以B为内角且面积最大的矩形，经过多次操作发现，当沿着中位线DE，EF剪下时，所得的矩形的面积最大，随后，他通过证明验证了其正确性，并得出：矩形的最大面积与原三角形面积的比值为_【拓展应用】如图2，在ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h，矩形PQMN的顶点P，N分别在边AB，AC上，顶点Q，M在边BC上，则矩形PQMN面积的最大值为_（用含a，h的代数式表示）【灵活应用】如图3，有一块“缺角矩形”ABCDE，AB=32，BC=40，AE=20，CD=16，小明从中剪出了一个面积最大的矩形（B为所剪出矩形的内角），求该矩形的面积【实际应用】如图4，现有一块四边形的木板余料ABCD，经测量AB=50cm，BC=108 cm，CD=60 cm，且，木匠徐师傅从这块余料中裁出了顶点M，N在边BC上且面积最大的矩形PQMN，求该矩形的面积图4图1 图2 图3备用图3. 折纸的思考【操作体验】用一张矩形纸片折等边三角形第一步，对折矩形纸片ABCD（ABBC）（如图1），使AB与DC重合，得到折痕EF，把纸片展平（如图2）第二步，如图3，再一次折叠纸片，使点C落在EF上的P处，并使折痕经过点B，得到折痕BG，折出PB，PC，得到PBC图1 图2 图3（1）说明PBC是等边三角形【数学思考】（2）如图4，小明画出了图3的矩形ABCD和等边三角形PBC他发现，在矩形ABCD中把PBC经过图形变化，可以得到图5中的更大的等边三角形请描述图形变化的过程图4 图5（3）已知矩形一边长为3 cm，另一边长为a cm对于每一个确定的a的值，在矩形中都能画出最大的等边三角形请画出不同情形的示意图，并写出对应的a的取值范围【问题解决】（4）从一张正方形铁片中剪出一个直角边长分别为4 cm和1 cm的直角三角形铁片，所需正方形铁片的边长的最小值为_cm4. 已知四边形ABCD的一组对边AD，BC的延长线交于点E（1）如图1，若ABC=ADC=90，求证：EDEA=ECEB（2）如图2，若ABC=120，cosADC=，CD=5，AB=12，CDE的面积为6，求四边形ABCD的面积（3）如图3，另一组对边AB，DC的延长线相交于点F若cosABC=cosADC=，CD=5，CF=ED=n，直接写出AD的长（用含n的式子表示）图1 图2图3【参考答案】1. （1）；4；（2）AD=BC，证明略；（3）存在，“旋补中线”长为2. 【探索发现】；【拓展应用】；【灵活应用】该矩形的面积为720；【实际应用】该矩形的面积为1 944 cm23. （1）证明略；（2）先将BPC按点B逆时针旋转某个适当角度得BP1C1，再将