[理学]第五章-波函数与薛定谔方程.doc

第五章 波函数与薛定谔方程5 - 1 波函数的统计诠释一 概率波（1） 电子双缝衍射和概率波 ( a )( b ) 图5 - 1 光( a )和电子( b )的双缝衍射图样 入射电子流的强度很大，即单位时间内有许多电子通过双缝，则底片上很快就出现了图5- 1 ( b )所给出的衍射图样。 单个电子就具有波动性：即使入射电子流极其微弱，以致电子几乎是单个地通过双缝，短时间内底片上记录下来的只是一些分布不规律的点子，但是只要时间足够长，底片上仍将呈现出有规律的衍射图样，即单个电子就具有波动性。 实验上所显示出来的电子的波动性，是许多电子在同一个实验中的统计结果；or 是一个在许多次相同实验中的统计结果。 实验的衍射图样代表了电子在空间r点附近出现的概率的大小，德布罗意波或薛定谔方程中的波函数正是为描写粒子的这种行为而引进的；是刻画粒子在空间概率分布的概率波。 在量子力学中，波函数是最重要的基本概念之一，它可以完全描述一个体系的量子态。 在经典物理学中并不存在与波函数对应的物理量。在经典概念下，当相干波源发出来的声波或光波在空间同一区域交叠时，所发生的是周期变化的实在物理量(如位移、压强或电场强度等)的叠加，在合成的强度分布中出现了在非相干叠加(即振幅的平方或强度叠加)时没有的干涉项，正是这一项决定了干涉和衍射现象的发生。( 2 ) 波函数的概率诠释设衍射波幅用描述，则衍射图样的强度分布用的模方描述 (5. 1)其中：y*( r )是y ( r )的复共轭。衍射波强度 | y ( r ) |2是刻画电子出现在r点附近的概率大小的一个量，即 (5. 2)表示在r点处的体积元中找到粒子的概率。这就是波函数的概率诠释 量子力学的基本原理之一。结论：波函数y ( r )： 是刻画粒子在空间概率分布的概率波，称为概率波幅或概率幅。(r)= | y ( r ) |2：描写粒子在空间的概率密度分布，即在r点处附近单位体积元中找到粒子的概率。二 波函数的性质在一般情况下，y 作为可以接受的波函数，从物理上往往要求y 是有限、连续和单值的。( 1 ) 统计诠释对波函数提出的要求 在空间任何有限体积元中找到粒子的概率为有限值。一般情况下，这意味着要求取有限值，但并不排除在空间某些孤立奇点处 . 例如，即使是的孤立奇点，V0是包围r0点在内的任何有限体积，则按统计诠释，只要有限值 (5. 3) 就是物理上可接受的，其中. 如取r0 = 0，V0是半径为r的小球，则式(5. 3)相当于要求：当r 0时， . (5. 4)如果在r 0时,波函数具有的形式，则要求. 波函数的归一化条件波函数y描述的粒子在空间各点的概率的总和为1 , (5. 5)这时的波函数为归一化的波函数。如果某波函数尚未归一化, 则有 , (5. 6)式中的称为波函数的归一化因子。 归一化的波函数对应的概率密度是相对概率而非绝对概率，亦即在所指定空间区域观察到粒子的概率占全空间概率的分数。 波函数有一个常数因子的不确定性。重要的是相对概率分布。如果C是常数(可以是复数)，则y ( r )和Cy ( r )所描述的相对概率分布是完全相同的。因为在空间任意两点r1和r2处，总有 . (5. 7)这就是说，Cy ( r )与y ( r )所描写的是同一个概率波。在这一点上，概率波与经典波有着本质的差别。一个经典波的波幅若增大一倍，则相应的波的能量将为原来的四倍，因而代表完全不同的波动状态。经典波根本谈不上归一化，而概率波却可以进行归一化。 波函数相位的不确定性如果y ( r )是归一化的波函数， y ( r ) y ( r ) （对于任意的实常数a） 单值 保证概率密度在任意时刻t都是确定的。( 2 ) 势场性质和边条件对波函数提出的要求具体的物理情况,对波函数y 提出要求：y 是连续的。例1、 波函数及其各阶导数的连续性问题在势场中运动的单粒子所遵从的薛定谔方程为.(一维)在一维情况下，当势函数是x的连续函数时，按照薛定谔方程，波函数的二阶导数是存在的，这就要求波函数及其一阶导数是x的连续函数。即使是在有限的阶梯型方势场中，也可以证明，粒子的定态波函数及其一阶导数仍是x的连续函数。应该从薛定谔方程出发，根据势场的性质来决定波函数及其各阶导数的连续性问题。例2、波函数的束缚态边条件在金属和原子中的电子等许多实际情况下，粒子的运动被限制在一定的空间范围内，或者说，粒子处于束缚态。对于束缚态就要求波函数y ( r )在无限远处的值必须趋于零，即满足束缚态边条件。总之，从物理上讲，态函数y ( r )应当是位置r的连续函数，否则就会在不连续点上发生解释上的不确定性。( 3 ) 初值条件和边界条件从物理上看，仅有运动方程还不足以确定物体的运动：运动方程起始状态+(通过边界所受到的)外界作用从数学角度看，一个微分方程有无穷多个解，表现在其通解中含有若干个任意常量或任意函数，而起始状态和边界情况等则是确定这些常量值或函数形式的初值条件和边界条件:通解 + 初值条件 + 边界条件量子力学的定解问题: 求一个微分方程的解满足一定初值条件和边界条件的问题。三 概率的基本概念及运算( 1 ) 随机事件的概率概率:反映随机事件发生可能性的大小。当观测次数N趋于无穷时，事件A发生的概率 . (5. 8)( 2 ) 互斥事件概率的加法定理两个随机事件在一次观测中不可能同时发生设A和B是两个互斥事件，在N次观测中，事件A出现NA次，事件B出现NB次，则事件A或者事件B出现的概率为, (5. 9)即两个互斥事件中任意一个出现的概率等于两个事件出现的概率之和. 概率的归一化条件(全部互斥事件出现的概率为1) , (5.10)它表明，在一次观测中，全部互斥事件中总有一个是要发生的。( 3 ) 独立事件概率的乘法定理设A和B是两个独立事件，在N次观测中，事件A出现NA次，事件B出现NB次，则事件A和事件B同时出现(记为A B )的概率. (5. 11)( 4 ) 随机变量的概率分布 统计平均值和涨落一个变量以一定的概率取各种可能值设离散型随机变量X的可能取值为，如果在N次同样的实验或观测中，测得随机变量X取上述各值的次数分别为，则随机变量X的统计平均值为. (5. 12)对于连续型的随机变量Y，其统计平均值为, (5. 13)上述积分遍及Y的取值范围。随机变量X的涨落或均方偏差(为了描述随机变量X在其统计平均值上下起伏的平均幅度) (5. 14)5 - 2 力学量的统计不确定性一 不确定性原理海森伯提出的不确定性原理（uncertainty principle）：如果测量一个粒子的位置的不确定范围是Dx，则同时测量其动量也有一个不确定范围Dpx，两者的乘积不可能小于，即 . (5. 15)为不确定关系(uncertainty relation)。 电子和其他物质粒子的衍射实验已经表明，粒子束所通过的圆孔或单缝越窄小，则所产生的衍射图样的中心极大区就越大。说明：测量粒子的位置的精确度越高，测量粒子的动量的精确度就越低。 一维自由空间中运动的粒子，如果具有完全确定的动量px (即平面波)，则在任意给定的时刻t，粒子在空间的每一点x上的概率密度都相同。说明： 如果粒子的动量px完全确定，它的位置x就完全不确定。 比较：在经典力学中，一个粒子的位置和动量是可以同时确定的，而且一旦知道了某一时刻粒子的位置和动量，则在一般情况下，任意时刻粒子的位置和动量原则上都可以精确地预言。不确定关系(uncertainty relation)对能量和时间：体系处于某一状态，如果时间有一段Dt不确定，则能量也有一个DE不确定。有关系 . (5. 16) 粒子的平均寿命： 一个粒子在能量状态E附近的停留时间Dt 粒子的能级宽度： 在Dt时间内粒子的能量状态不完全确定，它有一个弥散DE 只有当粒子的停留时间为无限长时，该粒子的能量状态才是完全确定的，即只有当时，才有. 量子力学对认识论的启示：不可能做具有绝对确定性的断言，而只能做具有某种可能性的断言。对于微观粒子，我们只能给出在空间一定范围内找到粒子的概率，而不能确定哪一个粒子一定在什么地方。二 动量分布概率( 1 ) 动量空间中的波函数 经典力学描述物质运动状态的力学量：坐标、动量、角动量、动能和势能。决定论的方式起作用。 量子力学波函数y以概率论的方式描述微观粒子的运动状态。尽管波函数本身不是力学量，但各种力学量的取值及其变化却取决于波函数。例、If y （一单色平面波），该粒子在空间各处的概率密度| y ( r ) |2 |C |2，相应的粒子动量（确定）.例、 在一般情况下，波函数y是一个由许多单色平面波叠加而成的波包，相应的动量也有一个分布。可将y ( r )作傅里叶展开，其正、逆变换式分别为：, (5. 17), (5. 18)其中：； 波函数按平面波展开的波幅；中含有平面波的份额，i.e.,粒子处在平面波态的概率（或者说粒子动量p的概率）与成比例; = 粒子动量在范围的概率. 和是一个量子态在不同表象中的表示(和是同一个量子态的两种不同描述方式)一旦给定，就完全确定了，反之亦然。( 2 ) 狄拉克 d 分布函数 (5. 19). (5. 20)例1、 长为l的细杆，质量为1. 设密度均匀，即 Let but keep mass =constant: d 函数的性质是很奇妙的，这不是传统数学中的函数。d 函数描述的是一种理想的分布-点模型，数学上的简单性导致了它在物理上的广泛应用。两个性质：1 ) 对于任意的连续函数f ( x )，有 , (5. 21)证：因为。 证毕。2 ) 在三维情况下，有 . (5. 22)( 3 ) 动量空间中的波函数的归一化式 的复共轭表达式. (5. 23) 的模方为.的模方在动量空间中积分 . 有 (using ) （using ） . 只要y ( r )是归一化的，由其傅立叶逆变换得出的j ( p )也归一化. (5. 24)波函数y ( r )：刻画粒子在空间概率分布的概率波。(r)= | y ( r ) |2：粒子在r点处附近单位体积元中被找到的概率。：波函数按平面波展开的波幅。： 粒子动量在范围的概率.和：一个量子态在不同表象中的表示。随机变量X的统计平均值：。三 力学量的平均值 算符的引进若粒子处在波函数所描述状态下，所有力学量都具有确定的平均值。这是因为，通常这些力学量不都具有确定值，但它们都有确定的概率分布。具体讨论一维粒子的力学量平均值的计算，学习关于力学量的平均值与算符。( 1 ) 位置x及其函数V ( x )的平均值, (5. 25) . (5. 26) 注意：的内积 .( 2 ) 动量的平均值与动量算符的引进由于微观粒子具有波粒二象性，“粒子在空间某一点的动量”的说法是没有意义的，类似于的积分是无意义的。利用y ( x )的傅里叶变换j ( p )，表示粒子的动量分布的概率密度. (5. 27)将y ( r )的傅里叶变换的一维形式 (5. 28)代入式(5. 27) . (5. 29)利用, (5. 30)将式(5. 29)的改写为 .用y ( r )的傅里叶逆变换式的一维形式 (5. 31)得动量平均值的一维表达式. (5. 32)在三维情况下. (5. 33) 用y ( r )来直接计算动量平均值的公式。 动量的平均值波函数y ( r )的梯度。？由德布罗意关系，粒子的动量是与波长的倒数成比例：波函数的梯度越大，波长越短，动量的平均值也越大。 算子或算符代表施加在波函数上的一种数学运算。定义动量算符 , (5. 34)则式(5. 33)可以写成 . (5. 35)目的：找到直接用坐标空间中的波函数来计算动量平均值的公式，动量p又不能直接作为被积函数出现，要设法把它从上式中隐去。结果必须引进动量算符.( 3 ) 力学量与算符（Operator）在量子力学中，描写物理系统的每一个力学量都对应于一个算符。 位置矢量r 平均值, (5. 36) 位置矢量r的函数V ( r ) . (5. 37)平均值. (5. 38) 对于处在量子态的粒子，其力学量A的平均值 , (5. 39)其中是与力学量A相应的算符。若波函数y未归一化 . (5. 40)算符是量子力学中的一个重要的基本概念。对于有经典力学量对应的力学量，其相应的算符的写法，以及力学量与算符之间的更深刻的关系，将进一步讨论。20 - 3 态叠加原理一 量子态及其表象描述一个粒子的波函数给定后: 测量位置粒子出现在r点的概率密度为; 测量动量粒子动量为p的概率密度为( 其中是的傅里叶变换，它由完全确定)； 测量其他力学量类似的结果。一旦给定，则粒子的所有力学量的测量值的概率分布就确定了。结论：完全描述了三维空间一个粒子的量子态，称为态函数。 在给定描述一个粒子的之后： 完全确定动量测量值的概率分布(); 完全确定位置测量值的概率分布(); 其他力学量也有类似的结果。结论：也完全描述了粒子的量子态。普遍而言，粒子的量子态，既可以用描述，也可以用它的傅里叶变换描述，还可以用其他方式描述，所有这些描述方式彼此完全等价，存在着确定的变换关系。换言之，它们所描述的都是同一个量子态，但表象不同。这犹如一个矢量可以采用不同的坐标系来表示一样。： 粒子的量子态在坐标表象中的表示；： 粒子的同一量子态在动量表象中的表示；其他变量的函数作为波函数:如能量表象和占有数表象。力学量：表示为作用在各种波函数上的算符。算符：动量在坐标表象中的表示。二 态叠加原理(量子力学的一个基本原理)( 1 ) 态叠加原理的表述如果y1, y2yn等都是体系的可能状态，那末，它们的线性叠加态也是这个体系的一个可能状态。( 2 ) 态叠加中的干涉项图5- 2 ( a )所示的电子双缝衍射实验中:用 y1 表示电子穿过狭缝1 (此时缝2关闭)到达屏的状态，用 y2 表示电子穿过狭缝2 (此时缝1关闭)到达屏的状态，用 y 表示电子同时穿过1和2两个狭缝到达屏的状态。根据态叠加原理，y 可以写成是 y1 和 y2 的线性叠加, (5. 41)其中c1和c2是复数。电子在屏上任意一点P出现的概率密度为 . (5. 42)上式表明:电子穿过双缝后在P点出现的概率密度，一般并不等于电子穿过狭缝1到达P点的概率密度与穿过狭缝2到达P点的概率密度之和,而是等于它们两者之和再加上干涉项。图5 - 2 电子衍射和机枪打靶( 3 ) 态叠加原理的普遍表达式和线性空间 如y1, y2yn等都是体系的可能状态，那末它们的线性叠加态 (5. 43)也是这个体系的一个可能状态，其中的系数为复数，它们应使y与y1，y2都满足归一化条件。在y1，y2 正交归一，且 y 也已归一化的情况下，模方 分别表示y 态的粒子处在各态的概率。例、 式 将任一波函数y ( r )展开为各个不同动量的平面波的叠加，所根据的正是态叠加原理，只是粒子动量分布连续。 态叠加原理的数学表述：可以用来描写一个系统的状态的所有态函数y 组成一个集合，它对于以式(20. 43)表示的线性(叠加)运算是封闭的。集合：一个线性空间，是一种函数空间，每一个态函数y 为这个线性空间的一个元素。 态叠加原理的另一表述：物理系统的状态由希尔伯特空间中的矢量描写。？描写一个系统的态函数y 的总体张开一个线性空间，量子力学就是在这个空间里开展活动的。集合不仅是一个一般的线性空间，而且是一个满足平方可积条件和定义了内积的、由复函数构成的线性空间。在数学上，再加上一些严格规定的这样的线性空间，叫做希尔伯特空间。希尔伯特空间中的每个元素都称为矢量，内积就是矢量的点乘。 在量子力学里，按照运动方程只能解出波函数y 随时间的演化，其模方代表了观测到粒子的概率。 态叠加原理表明：必须采用带有相位的复值波函数或概率幅叠加的法则，而不能应用概率叠加的法则。存在这种概率幅的直接结果，就是引起了充满整个原子世界的干涉现象。( 4 ) 线性叠加态下观测结果的不确定性量子力学中的态叠加原理与测量密切联系？。假定体系处在： 状态 测量的力学量 结果y1 A a1y2 A a2 A a1 or a2(相对概率完全确定)结论：量子力学中的态叠加，导致了线性叠加态下观测结果的不确定性。可以认为，处在叠加态y 的粒子，部分地处于本征态y1，部分地处于本征态y2. 只有这样才能理解为什么测量力学量A时有时得到a1，有时得到a2，而这从经典概念来看是无法理解的。例题20. 1 如果粒子1处于y1态，粒子2处于y2态，那么由粒子1和粒子2组成的体系的态是否是y1 + y2？解 由粒子1和粒子2组成的体系1+2的态不是y1 + y2. 我们知道，态叠加原理指的是同一体系自身状态的叠加，而复合体系1+2的最简单的态也是y1和y2两者的积，即.在一般情况下，对于由N个粒子组成的体系，它的波函数可表为,其中分别表示各个粒子的空间坐标。这时，表示粒子1出现在( r1，r1+dr1)中， 粒子2出现在( r2，r2+dr2)中， 粒子N出现在( rN，rN+drN )中的概率。例题20. 2 如果我们知道粒子分别以概率1/3和2/3处于能量为E1和E2的态y1和y2，那么该粒子的态y是否是？解 该粒子的态y不一定是. 因为我们并不知道y1和y2之间的相位关系，所以只能写成,其中a1和a2是待定常数，相位差a1-a2是一个具有物理意义的量。处于上述态y下的粒子的空间概率密度分布为 .20 - 4 薛定谔方程一 薛定谔方程的引进波函数：态随时间的演化，称为运动状态。当确定后，粒子的任何一个力学量的平均值、力学量观测值的概率分布、以及它们随时间的变化也就完全确定了。量子力学的核心问题：要在各种具体情况下找出描述体系状态的各种可能的波函数之外，找出波函数随时间演化所遵从的规律。薛定谔方程是量子力学最基本的方程，亦是量子力学的一个基本假定，它的正确性只能靠实验来检验。例、引进(而不是导出)薛定谔方程。在非相对论情况下，质量为m的自由粒子. (5. 44)与粒子相联系的波的角频率w 和传播矢量k：,. (5. 45)与之相联系的是平面波.对该波函数分别求时间微商和空间梯度,.利用式，可得, 自由粒子的薛定谔方程： （5. 46)讨论： 自由粒子的，在形式上作如下的替换：, (5. 47) , (5. 48)将两者作用于波函数上可得出方程(5. 46)。应该强调，对能量E来说这只是形式上的替换，不能简单地把看成就是能量算符。 在势场V ( r )中运动的粒子，按照经典粒子的能量关系式, (5. 49)作式(5. 47)和式(5. 48)的替换，然后作用于上，得在势场V ( r )中运动的一个粒子的薛定谔方程 (5. 50)薛定谔方程描写该粒子运动状态随时间的变化,揭示出了微观世界中物质运动的基本规律。 薛定谔方程是线性齐次方程，这就保证了态的线性叠加性在时间进程中保持不变，从而满足了态叠加原理的要求:如果和是薛定谔方程的解，它们分别描述粒子的两个可能的运动状态，则它们的线性叠加 也是该方程的解，也描述粒子的一个可能的运动状态。 在经典力学中，粒子的运动状态由每一时刻粒子的位置r和动量p来描述，经典波动方程是关于时间和空间的二阶偏微分方程 , 需要有两个初条件和，才能确定该方程的解. 在量子力学中，薛定谔方程是关于时间的一阶偏微分方程，因而我们只需要一个初条件，便足以确定其解. 这一点与我们假定在某一时刻的状态由它当时的波函数完全描述是一致的。二 定域的概率守恒 (粒子在一定空间区域内(定域)出现的概率将怎样随时间变化)概率守恒的微分表达式 (5. 51)其中：r 为在时刻t、在r点附近的单位体积内，粒子出现的概率 ； (5. 52)为概率流密度矢量（单位时间内穿过单位横截面积的概率） , (5. 53a)或 , (5. 53b) 物理意义？将式(5. 51)对空间任意一个体积V求积分 .设S是包围体积V的闭合曲面，利用矢量分析与场论中的奥-高公式，有概率守恒的积分表达式 , (5. 54)单位时间内通过体积V的封闭表面S流入体积V内的概率(或粒子数)在闭区域V中找到粒子的总概率(或粒子数)在单位时间内的增量 概率守恒的两个表达式的意义：单位时间内空间指定体积内的概率的增加（或减少），必定等于穿过它表面流入或流出的概率流。 概率守恒具有定域的性质：观察到粒子的概率不会凭空产生，也不会无故消失；当粒子在空间某处的概率减小时，必然在另外一些地方的概率增加了，总概率不变；实现上述变化的变