由斜二测画法得到的直观图的性质.doc

由斜二测画法得到的直观图的十条性质 宁波市鄞州区正始中学 方勇近日在讲解数学必修2（人教A版）第一章空间几何体第二节中关于直观图的几个命题的真假时，随着对平面直观图问题的深入，发现了其中一些不为人熟知的数据，现作文如下.研究思路：在平面图形上建立直角坐标xoy平面，那么原平面图形经斜二测画法后得到平面图形的直观图. 相应的，直角坐标系xoy也投影成仿射坐标系.为便于研究，笔者把得到的仿射坐标平面内的点也作为直角坐标平面xoy内一点，由此平面中的点P，对应的直观图中的点，这种对应可看作是平面上的从点P到点的变换，记为变换T.由斜二测画法，可知T：.为方便叙述，本文中把点P的直观图记为；把线段AB的直观图记为；把的直观图记为，以此类推.性质一.斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.（点与点的连线的斜率恒为）.证明：设点P，则由变换T可得，即，那么直线的斜率为.这可说明斜二测画法是一种特殊的平行投影画法.性质二把一个平面图形D1平移后，得到图形D2，则两者的直观图与全等.说明：由性质一知，斜二测画法是平行投影画法，所以一个平面图形平移后，其直观图也进行了相应的平移. 故性质二成立.性质三圆的直观图是椭圆.证明：设圆的方程为，则由变换T得到：，代入圆方程得到圆的直观图在平面xoy上的方程：.由于该二次方程有的项，要认清该方程表示的曲线，故对方程作平移和旋转变换如下：（1）平移变换：令，得到方程；（2）旋转变换：再令（其中，），得到方程.这就是说，一个以为圆心，r为半径的圆，其直观图是：以为中心，为长轴长，为短轴长的椭圆，且椭圆长轴所在的直线与x轴的夹角为.性质四若的斜率为，则的斜率为；反之，若的斜率为，则的斜率为.证明：设，那么，又由变换T知：，则，有，得到，又可反解得. 所以性质四得证.性质五长度为r的线段在直观图中的长度设为，则.说明：由性质二知，长度为r的线段，可将它平移成以为圆心，r为半径的圆的一条半径.又由性质三可知，圆的半径r的直观图是椭圆的半径，显然.性质六当且仅当线段的斜率为时（由性质四知此时线段的斜率为），有.证明：对于性质三中的椭圆，由对称性可知，斜率为零的一条半径（长度为r），关于长轴对称的一条半径，其长度也为r. 则可得到线段的斜率为，由性质四知线段的斜率为. 若以椭圆中心为圆心，r为半径作一圆，显然与椭圆必有四个交点，它们与椭圆中心的连线的斜率必是0或. 这就是说，当且仅当线段AB的斜率为0或时，其直观图长度不变.性质七菱形的直观图可能仍旧是菱形.说明：结合性质六知，当且仅当菱形两边的斜率分别为，时，其直观图仍旧是菱形.性质八矩形的直观图可能仍旧是矩形.说明：当矩形的直观图两边的斜率分别为（）和（）（此即性质三中椭圆的长轴与短轴的斜率）时，也就是当矩形两边的斜率分别为和（由性质四易得上述数据）时，其直观图仍旧是矩形.性质九正方形的直观图不可能是正方形.说明：正方形既是菱形，又是矩形. 由性质七、八的说明可知，正方形相邻两边的斜率不可能同时满足性质七、八，故正方形的直观图不可能是正方形.性质十为平面内一