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文档简介
2023-2024学年高一数学《复数》
选择题(共8小题)
I.(2022春•鼓楼区校级期中)若复数z=N_,则[z-i∣=
B.√5
2.(2022•鼓楼区校级模拟)在复平面内,复数Z对应的点在第二象限,且闵=∣z-i∣=l,则
A.j∕‰A√B.C.-ɪ-ʧɜj-D.-l∙+zZl√
22222222
3.(2022•福州模拟)设复数Z满足(1-/)z=3+i,则复平面内与Z对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
4.(2022春•福州期中)已知α,⅛∈R,ab≠On是“复数α+bi为虚数”的()
A.必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充要条件
D.既非充分条件也非必要条件
5.(2022•福州模拟)若复数Z满足Z(1-/)=4/,则Z在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
6.(2021秋•福州期末)已知z=3-4i,则∣z∣+zi=()
A.l+3zB.8-4/C.9+3/D.20+3Z
7.(2022春•仓山区校级期中)已知复数Z满足z(l+2i)=∣4+3i∣,(其中i为虚数单位),
则复数Z的虚部为()
A.1B.iC.-2D.-2/
8.(2020秋•福州月考)已知复数2=1+3^为Z的共朝复数,则匹=()
Z
A.3±LB.1LLC.iɪD.ItSL
2222
二.多选题(共4小题)
(多选)9.(2022•鼓楼区校级三模)设复数(αCR),当〃变化时,下列结论正
a+2i
确的是()
A.团=|力恒成立B.z可能是纯虚数
第1页(共14页)
C.Zj•可能是实数D.∣z∣的最大值为工
Z2
(多选)10.(2022春•鼓楼区校级期中)设Zi,Z2,Z3为复数,Z1W0,下列命题中正确的
是()
A.若IZlI=忆2∣,则∣Z1Z3∣=∣Z2Z3∣
B.若Z1Z2=Z1Z3,则Z2=Z3
C.若Zl=Z则Z♦=Z2
z2zI
D.若Z∕+Z22>0,∣U!jzi2>-Z22
(多选)11.(2022春•仓山区校级期中)设Z1,Z2是复数,则下列说法中正确的是()
A.若IZII=IZ2∣,510Z12=Z22
B.若IZII=IZ2∣,则zι=±z2
C.若z1z2=O,则ZI=O或Z2=0
D.若IZI-Z2∣=0,则z1=z2
(多选)12.(2022春•花都区校级期中)设复数Z满足Z=-I-23i为虚数单位,则下列
命题正确的是()
A.∣z∣=Vδ
B.复数Z在复平面内对应的点在第四象限
C.Z的共粗复数为-l+2i
D.复数Z在复平面内对应的点在直线y=-2x上
Ξ.填空题(共4小题)
13.(2022春•福州期中)己知α,6eR,i是虚数单位,若α+i=l-bi,则(a+bi)2-.
14.(2021春•鼓楼区校级期中)zeC,若IZl-~z=l+2i>贝IJZ=.
15.(2021秋•福州期中)已知i为虚数单位,复数Z[=l+√ξi,在复平面中将Zl绕着原点
逆时针旋转165°得到Z2,则Z2=.
16.(2022春•仓山区校级期中)在复数范围内,-4的所有平方根为,并由此写出
-4的一个四次方根.
四.解答题(共4小题)
17.(2022春•鼓楼区校级期中)已知复数z=α+bi(.,⅛∈R),若存在实数r,使Z=―∖+2i、.
t(l-i)
-成立.
第2页(共14页)
(1)求2α+b的值;
(2)求∣z-2∣的最小值.
18.(2022春•仓山区校级期中)已知复数Z="?-i(N?€R),且(l+3i)为纯虚数("⅛z
的共轨复数).
(1)求复数Z的模;
.2021
(2)复数Zl=且二——在复平面对应的点在第一象限,求实数”的取值范围.
Z
19.(2022春•项城市校级月考)当实数。取何值时,在复平面内与复数Z=(m2-4w)+(w2
--6)i对应点满足下列条件?
(1)在第三象限;
(2)在虚轴上;
(3)在直线X-尸∙3=0上.
20.(2021春•鼓楼区校级期中)已知复数z=3+bi(b=R),且(l+3i)∙z为纯虚数.
(1)求复数z;
(2)若3二一,求复数3以及模∣3∣.
2+i
第3页(共14页)
2023-2024学年高一数学《复数》
参考答案与试题解析
一.选择题(共8小题)
1.(2022春•鼓楼区校级期中)若复数z=N-,则∣z-i∣=()
1+i
A.2B.√5C.4D.5
【考点】复数的模.
【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数:数学运算.
【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出结论.
【解答】解:复数z=-g-=,2(1;i)=2,Ll?=]_i,
1+i(1+i)(l-i)ι2+ι2
贝22
IJlZ-i∖=∖l-2i∖=√I+(-2)=√5-
故选:B.
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属
于基础题.
2.(2022•鼓楼区校级模拟)在复平面内,复数Z对应的点在第二象限,且闵=∣z-i∣=l,则
Z=()
A.jβ,+Λ(,B.-A-Vl-
4c.D.-JL+ZZIJ
22222222
【考点】复数的模;复数的运算.
【专题】转化思想:转化法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】根据已知条件,结合复数模公式,即可求解.
【解答】解:设Z=X+yi(XV0,y>0),
^∖z∖=∖z-i∖=lf
.∙.∕×2+y2=1,解得X=XIy=L
Vχ2+(y-l)2=122
3岑^4⅛i∙
故选:A.
【点评】本题主要考查复数模公式,属于基础题.
3.(2022•福州模拟)设复数Z满足(I-/)z=3+i,则复平面内与Z对应的点位于()
第4页(共14页)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】根据已知条件,先对Z化简,再结合复数的几何意义,即可求解.
【解答】解::(1-i)z=3+i,
•_3+i_(3+i)(1+i)
z^l-i^(l-i)(l+i)^1+21,
.∙.复平面内与Z对应的点(1,2)位于第一象限.
故选:A.
【点评】本题主要考查复数的运算法则,以及复数的几何意义,属于基础题.
4.(2022春•福州期中)已知4,b∈R,''b≠Q"是"复数0+初为虚数”的()
A.必要非充分条件
B.充分非必要条件
C.充要条件
D.既非充分条件也非必要条件
【考点】虚数单位i、复数:充分条件、必要条件、充要条件.
【专题】对应思想;转化法;简易逻辑;数学运算.
【分析】根据充分必要条件的定义以及虚数的定义判断即可.
【解答】解:a,⅛∈R,若b六0,则复数α+加是虚数,是充分条件,
反之,若复数α+bi为虚数,则bWO,是必要条件,
.∙."6≠0''是"复数α+加是虚数”的充分必要条件,
故选:C.
【点评】本题考查了充分必要条件和虚数的定义,是基础题.
5.(2022•福州模拟)若复数Z满足Z(1-/)=4i,则Z在复平面内对应的点位于()
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【专题】方程思想;转化法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】根据已知条件,结合复数的乘除法原则和复数的几何意义,即可求解.
【解答】解:(1-/)=43
4i4i(1+i)
z1-i(1+i)(1-i)=-2+2i>
第5页(共14页)
.∙.z在复平面内对应的点(-2,2)位于第二象限.
故选:B.
【点评】本题考查了复数的几何意义,以及复数代数形式的乘除法运算,需要学生熟练
掌握公式,属于基础题.
6.(2021秋•福州期末)已知z=3-4i,则团+zi=()
A.1+3/B.8-4/C.9+3/D.20+3Z
【考点】复数的模.
【专题】计算题;方程思想;转化思想;综合法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】根据题意,求出团和Zi的值,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,z=3-4i,则∣z∣=√9+16=5,
zi—(3-4Z)i=4+3i,
贝!]∣z∣+zi=9+33
故选:C.
【点评】本题考查复数的计算,注意复数的模,属于基础题.
7.(2022春•仓山区校级期中)已知复数Z满足z(l+2i)=∣4+3i∣,(其中。为虚数单位),
则复数Z的虚部为()
A.1B.iC.-2D.-2/
【考点】复数的运算.
【专题】方程思想;定义法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】推导出z=l-2i,由此能求出复数Z的虚部.
【解答】解:•••复数Z满足Z(l+2f)=∣4+3∕∣,
∙.=∣4+3i∣=5=5(l-2i)=5(l-2i)f,2,∙.
l+2il+2i(l+2i)(l-2i)1-4i2
复数Z的虚部为-2.
故选:C.
【点评】本题考查复数的虚部求法,考查复数的运算法则等基础知识,考查运算求解能
力,是基础题.
8.(2020秋•福州月考)已知复数z=1+3W为Z的共规复数,则也=()
Z
A.ilkB.ItLc,ι∑3LD.ɪtɜk
2222
【考点】复数的运算.
第6页(共14页)
【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】根据Z,求出Z的共规复数,代入也化简计算即可.
【解答】解:∙.,z=l+i,.∙.Z=I^i'
•LZ=1+1+i=(2+i)(1+i)=l+3i
,,丁1ςΓ(l-i)(1+i)~1~
故选:D.
【点评】本题考查了复数的运算,考查转化思想,是一道基础题.
二.多选题(共4小题)
(多选)9.(2022•鼓楼区校级三模)设复数z=」—(4eR),当。变化时,下列结论正
a+2i
确的是()
A.∣z∣=,恒成立B.Z可能是纯虚数
C.Zj•可能是实数D.IZl的最大值为工
Z2
【考点】复数的模;虚数单位i、复数.
【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】首先根据得到Z=T--------i,再结合复数的定义和运算性质依次判断选项
a2÷4a2+4
即可.
【解答】解:Z=—一岩——
22
a+2iCa+2i)(a-2i)a+4a+4
团=;=J--黄~~-M一U~~$,故/正确;
V(a2+4)2(a2+4)2
对于8,Z=―------「当”=0时,Z=-Li是纯虚数,故B正确;
a2+4a2+42
)
对于C,z+λ=~^-------ɪ-i+a+2i=<-y—+a+.
za+4a+4a+4a÷4
令2--2-=0,即“2+3=0无解,故C错误;
a2+4
a?+41?1
对于D,∣z∣2=
(a2+4)2(a2+4)2a2+44
当且仅当α=0时,取等号,
.∙.∣z∣的最大值为工,故。正确.
2
第7页(共14页)
故选:ABD.
【点评】本题考查复数的运算,考查复数的性质、运算法则等基础知识,考查运算求解
能力,是基础题.
(多选)10.(2022春•鼓楼区校级期中)设zι,Z2,Z3为复数,zι≠0,下列命题中正确的
是()
A.若IZll=IZ2∣,则∣z1z3∣=归2z3∣
B.若Z1Z2=Z1Z3,则Z2=Z3
C.若Zl=£,则"77=Z2
D.若Z∕+Z22>0,则Z∕>-Z22
【考点】复数的模.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】根据已知条件,结合复数模的性质,共轨复数的定义,即可求解.
【解答】解:对于峰,由复数模的性质可得,∣Z1Z3∣=∣Z1∣∣Z3∣,匕2Z3∣=忆2∣∣Z3∣,
∙∙%l=㈤,
∣Z1Z3∣=匕2Z3∣,故/正确,
对于8,∙.'ZIZ2=Z1Z3,
.".Z1(Z2-Z3)=0,
Vzi≠0,
.∙.Z2=Z3,故8正确,
对于C,Tzi=H
z2
'zI=Z2=z2,故C正确,
对于。,令z?=-i,z'1+i,满足Z12+Z22>O,但z∕>-Z22不成立,故。错误.
故选:ABC.
【点评】本题主要考查复数模的性质,共辄复数的定义,属于基础题.
(多选)11.(2022春•仓山区校级期中)设zι,Z2是复数,则下列说法中正确的是()
A.若IZlI=IZ2∣,则zp=z22
B.若IZIl=IZ2∣,则Z1=±Z2
C.若z1z2=O,则ZI=O或z2=O
第8页(共14页)
D.若IZl-Z2∣=0,则z1=z2
【考点】复数的模.
【专题】转化思想;转化法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】根据已知条件,结合复数的乘积运算法则,以及特殊值法,即可求解.
【解答】解:对于4,令zι=l,Z2-i,满足匕II=忆2I,但故/错误,
对于8,令Zl=I,Z2=i,满足IZIl=IZ2∣,但zι≠土Z2,故8错误,
对于C,∙.'zι,Z2是复数,zιz2=0,
二由复数的乘积运算法则可知,Zl=O或Z2=O,故C正确,
对于。,".'∣zι-Z2∣=0,
.'.21-Z2—0,即Z1=Z2,故£)正确.
故选:CD.
【点评】本题主要考查复数的乘积运算法则,以及特殊值法,属于基础题.
(多选)12.(2022春•花都区校级期中)设复数Z满足Z=-I-23i为虚数单位,则下列
命题正确的是()
A.∣Z∣=Vδ
B.复数Z在复平面内对应的点在第四象限
C.Z的共辄复数为-1+2;
D.复数Z在复平面内对应的点在直线y=-Zr上
【考点】复数的代数表示法及其几何意义.
【专题】对应思想;定义法;数系的扩充和复数;数学抽象;数学运算.
【分析】根据复数的模、复数的几何意义、共轨复数等知识,逐一判断各选项即可.
【解答】解:由Z--1~2i,得IZlW(T)2+(-2)2,故“正确:
复数Z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-2),在第三象限,故B不正确:
Z的共辗复数为-1+23故C正确:
复数Z在复平面内对应的点(-1,-2)不在直线y=-2x上,故。不正确.
故选:AC.
【点评】本题考查了复数的代数表示法及其几何意义,复数的模和共轨复数,属基础题.
三.填空题(共4小题)
13.(2022春•福州期中)已知“,hER,i是虚数单位,若α+i=l-bi,则(“+bi)2=
第9页(共14页)
2i・
【考点】复数的运算.
【专题】方程思想;转化思想;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】利用复数相等的条件求得。与b的值,再由复数代数形式的乘除运算化简求解
(a+bi)2.
【解答】解:由α+i=l-bi,得α=l,b=-1,
:.(α+bi)2=(1-z)2=1-2z+z2=-2z.
故答案为:-2匚
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数相等的条件,是基础题.
14.(2021春•鼓楼区校级期中)zee,若IZI-W=I+2i,贝∣Jz=-∣∙+2i―.
【考点】复数的运算.
【专题】方程思想;定义法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】设z=α+加(.,⅛∈R),代入IZI-W=1+2L整理后利用复数相等的条件求解α
与b的值,则Z可求.
【解答】解:设z=α+加(α,fe∈R),
由IZl-z=l+2i,得M+b2-(a-bi)=1+2T
即V再S-a+bi=l+2"
Λ,√a2+b2-a=l,解得,a^,
廿2[b=2
・・・z=?2i,
故答案为:l+2i.
2
【点评】本题考查复数模的求法,考查复数相等的条件,是基础题.
15.(2021秋•福州期中)已知i为虚数单位,复数z1=1/「在复平面中将Zl绕着原点
逆时针旋转165°得到Z2,则Z2=-W.
【考点】复数的运算.
【专题】对应思想;综合法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】结合复数的几何意义,特殊角的三角函数值,即可得解.
第10页(共14页)
【解答】解:Zl=I在复平面内对应的点为(1,M),
将其逆时针旋转165°后落在第三象限,且与X轴负半轴的夹角为45°,所以对应的点
为(-&,-√2).
所以Z2=-V2^->∏i.
故答案为:-V2^V2∕∙
【点评】本题考查复数的几何意义,考查逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
16.(2022春•仓山区校级期中)在复数范围内,-4的所有平方根为±2i,并由此写
出-4的一个四次方根1+/.
【考点】虚数单位i、复数.
【专题】转化思想;综合法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】由题意利用虚数单位i的运算性质,复数的开方运算,得出结论.
【解答】解:在复数范围内,∙.∙(±2力2=-4,故-4的所有平方根为±2。
V-4=4(cosπ+∕sinπ),故它的四次方根为^(COSekI.+n_+汝]产卜"+“,
故它的一个四次方根√5(冬i喙)=1+3
故答案为:±2i;1+工
【点评】本题主要考查复数的开方运算,虚数单位,•的运算性质,属于基础题.
四.解答题(共4小题)
17.(2022春•鼓楼区校级期中)已知复数z=α+4Q,⅛∈R),若存在实数f,使上④_
t(l-i)
-3。”成立.
⑴求2a+b的值;
(2)求∣z-2出勺最小值.
【考点】复数的运算;复数的模.
【专题】方程思想;定义法;数系的扩充和复数;逻辑推理;数学运算.
【分析】(1)由复数的运算化简殳”,再由复数相等得到2α+b的值;
1-i
(2)由模长公式结合二次函数的性质得出最值.
【解答】解:(1)6+2i=(6+2i)(1+i)=4+8i=2+43
1-i(1-i)(1+i)2
—2424
z=γ-+γi-3ati=γ+(γ-3at)i'
第11页(共14页)
(2
.τ=a
・・j4,
--3at=-b
:•里=2a,3at=6,
t
:∙2a-6=-b,解得2α+b=6.
22
(2)∣z-2∣=∣("2)+(6-2α)∕∣=√(a-2)+(6-2a)
=V5a2-28a+40=(a-γ-)2+∣-
∙∙∙∣z-2∣的最小值为逃
5
【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式,考查了推理能力与计算能力,属
于基础题.
18.(2022春•仓山区校级期中)已知复数Z="?-i6"∈R),且^^∙(l+3i)为纯虚数("⅛z
的共甄复数).
(1)求复数Z的模;
.2021
(2)复数Zl=且二——在复平面对应的点在第一象限,求实数。的取值范围.
Z
【考点】复数的代数表示法及其几何意义;复数的运算.
【专题】整体思想;综合法;数系的扩充和复数;数学运算.
【分析】(1)结合复数的四则运算进行化解,然后结合纯虚数概念可求必进而可求;
(2)先结合复数的四则运算进行化简,然后结合复数的几何意义可求.
【解答】解:(I)^∙(l+3i)=(m+i)(1+3/)="-3+(3w+l)i为纯虚数,
则m=3,z=3-i,
所以∣z∣=JTU;
(2)zι=a∑F021=Qj_=(a-i)(3+i)=3a+l+(a-3)i在复平面对应的点在第一
Z3-i(3-i)(3+i)10
象限,
所以3α+l>0且α-3>0,
所以α>3,
故α的取值范围为(3,+∞).
【点评】本题主要考查了复数的四则运算及复数的几何意义的应用,属于基础题.
22
19.(2022春•项城市校级月考)当实数α取何值时,在复平面内与复数Z=(w-4w)+(w
第12页(共14页)
-w-6)i对应点满足下列条件?
(1)在第三象限;
(2)在虚轴上;
(3)在直线x-y÷3=0上.
【考点】虚数单位i、复数.
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