[研究生入学考试]南京大学2002到2010数学分析考研试题及解答.doc

南京大学2002年数学分析考研试题一 求下列极限。（1）；（2）设，（i）在上的最大值；（ii）设，求。二 设，试证明在内有无穷多个零点。三 设在的某个邻域内连续，且， （1）求； （2）求；（3）证明在点处取得最小值。四 设在的某个邻域内具有二阶连续导数，且，试证明： （1）； （2）级数绝对收敛。五 计算下列积分 （1）求； （2），其中是圆柱面，三个坐标平面及旋转抛物面所围立体的第一象限部分的外侧曲面。六 设，在内可导，不恒等于常数，且，试证明：在内至少存在一点，使。七 在变力的作用下，质点由原点沿直线运动到椭球面,第一象限的点,问取何值时，所做的功最大，并求的最大值。八 （1）证明：，； （2）求。南京大学2002年数学分析考研试题解答一 （1）解 . （2）解 （i）,当时，在上单增，当时，在上单减，所以在处达到最大值，；（ii）当时， 单调递增有上界，设，则有，；当时，；当时，二 证明 因为，显然在上连续，由连续函数的介值定理知，存在使得 ，即得在上有无穷多个零点。三 解 （1），因为，所以，于是；（3）由知，存在，当时，即知中在处取得极小值。四 、证明 （1）由，知，由知.（2），已知收敛，其中，于是收敛，结论得证。五 （1）解 ,所以 .（2）解 曲面，事物交线为，其中是区域的边界时，利用高斯公式， . 当是的边界时，利用高斯公式 .六 证明 证法一 用反证法，假若结论不成立，则对任意，都有，在上单调递减，由于不恒等于常数，所以不恒等于零，存在一点，使得，存在，使得，因为，所以，这与矛盾，从而假设不成立，原结论得证。证法2 由于在上连续，在上取到最大值和最小值，且，由于，所以的最大值或最小值必在内达到。若在处达到最大值，存在使得，从而有；若在处达到最小值，存在使得，从而有；结论得证。七 解 设，则有，所以是有势场，由于时，等号成立当且仅当，所以时，达到最大值，且的最大值为。八 证明 （1）由于当时，有，对任意，取，所以有；（2）取，有，收敛，对任意，在上一致收敛于，故由函数列积分的黎曼控制收敛定理， 。南京大学2003年数学分析考研试题一 求下列极限（1）设，求；（2）设，求。（3）。二 过点作抛物线的切线，求 （1）切线方程； （2）由抛物线、切线及轴所围成的平面图形面积； （3）该平面图形分别绕轴和轴旋转一周的体积。三 对任一，求在中的最大值，并证明该最大值对任一，均小于。四 设在上有连续导数，且，（为常数），试证：在内仅有一个零点。五 计算下列积分 （1）设，求和； （2），其中为上半球面，的外侧。六 设，在上黎曼可积， （1）求，并讨论在上的一致收敛性； （2）求，（要说明理由）七 设的收敛半径为，令，试证明：在上一致收敛于，其中为任一有穷闭区间。南京大学2003年数学分析考研试题解答一 （1）解 设，则有，由此知，； （2）解 由归纳法，易知，由此知，单调递增有界，设，则有 ，故。（3） ，故。3 解 （1），设切点为，设切点的切线方程为。将，代入，所求切线方程为，即。（2）解。（3）， 。三 解 ，当时，当时，于是在处达到最大值，。容易证明在上单调递减， 故有.四 证明 对任意，,当充分大时，有，又，由连续函数的介值定理，存在，由，在上严格单调递增，所以在内仅有一个零点。五 （1）解 ，显然，.（2）解 ， .六、解 ，由于极限函数在上不连续，所以在上不一致收敛；但对任何在上一致收敛于0；且，根据控制收敛定理，对于在上黎曼可积， 有 。七、 证明 由条件知在上连续，在任意有限区间上是一致收敛的，对任意有限区间，在上一致收敛于，在上一致有界，再由在上一致连续，于是有在上一致收敛于.南京大学2004年数学分析考研试题1 求下列极限1. 设，求；2. ；3. ；4. 设，求.2 确定最小正数，使下面的不等式成立：，.3 设，求，并证明级数收敛.4 求其中是的上半球的下侧.5 设，（1） 当时，求，并讨论在的一致收敛性；（2） 证明:对任一自然数，方程在内有且仅有一个根；（3） 若是的根，求.6 设，(1) 证明 在上有界；(2) 证明，.南京大学2004年数学分析考研试题解答一1. 解 显然，所以；2. 解 .3. 解 因为 ，所以.4. 解 设在点的某个邻域内连续，则有 ，.2 解 设，则，当时，有，当时，有，从而在上严格单调递增，当时，从而在上严格单调递减，所以在处达到最大值，对，有，对，显然有，故使不等式，成立的最小的正数为.3 解 ，而是收敛的，所以收敛.4 解 设， 利用高斯公式，得 .5 解 （1），当时，于是有，.在上连续，显然，发散，从而知在上不一致收敛，对任意，在上一致收敛.五、设,求证:（2）对任意自然数,方程在区间内必有唯一根，（3）并求数列的极限.证明 (2) 显, 由连续函数的介值定理,存在,使得;显然,即在上严格单调递减,所以的根是唯一的.(3) 显然,于,即得单调递增, ,从而存在,且,;在,中 令 ,取极限，得 ，得,故 .6 证明（1）显然 是偶函数，在上连续， ，于是可知，在上有界，且在上一致连续；（2） 对，设，是偶函数，从而有，故有，.南京大学2005年数学分析考研试题一 、求下列极限1 设常数，试求极限。2 。3 设，求。二 设，试讨论的连续性、一致连续性及其可微性。三 设，研究的存在域，并讨论在定义域内的连续性和可微性。四 、1、 设，计算； 2、 计算曲面积分，其中为曲面的外侧。五、 设，为曲面上的任一点，求曲面上点的切平面三个截距之积的最大值。六、 设，试证明：.南京大学2005年数学分析考研试题解答一、 1、 解 解法1 ，故 .解法2，.所以. 2 解. 3 解 显然有，单调递减且有界，设，则有，（舍去），故。二 解 当时，；当时，；当时，显然在上连续，在上一致连续，在处不可导，在处均可导。三 解 设，当时，收敛，当时，发散，当时，发散，所以的定义域为，对任意，在上一致收敛，在上一致收敛，于是在上连续可微，故在内连续可微。四 、1、解 解法1 . 解法2 ， .2 、解 曲面的方程可化为，利用高斯公式 .五 解 ，切平面方程为，切平面在轴，轴，轴上的截距分别为，由于，所以的最大值为。六、定理1、 设在上连续，在内可导，则存在，使得证明 令，利用泰勒公式，存在，使得，即得 定理2、 设，记，则有 证明 存在，使得，从而 ，存在,使得，于是 .南京大学2006年数学分析考研试题一 、计算下列各题。1 、求。2 、求。3 、设，求。4 、设，且，求。5 、设，求。二 、设在上二次可导，且，试证明：，。三 、设，为参数，讨论方程在内有几个实根，并指出实根的范围。四 、设，试证明级数绝对收敛，并求级数之和。五、 设为椭球面的上半部，为上的外单位法向量，计算曲面积分。六、 试求函数项级数和的收敛域（绝对收敛或条件收敛），并讨论它们在收敛域内的一致收敛性。七 、设，在上二阶可导，且当时，试证明： （1）对任意，。 （2）存在，使。八、 设，绝对收敛，试证明：，其中。九、 设，在内二次可导，且存在一点，使得。试证明：存在两点，使，。南京大学2006年数学分析考研试题解答一 1 解 。 2 解 。3 解 因为，（）已知，所以。 4 解 ，因为，所以在处可导，且。 5 解 存在，使得， 于是。二 证明 ，由，所以，.三 解 ， ， ，当时，在上单调递减；当，在上单调递增，在处达到最小值，当时，在内有唯一的实根，当时，在内有两个实根，当时，在内有唯一的实根，当时，在内有唯一的实根，当时，在内无实根。四 证明 显然，从而有，于是有收敛，即绝对收敛。，设，则有，故有.五 解 设，利用高斯公式， .六、证明 设，所以的收敛域为，且是绝对收敛的；对，对任意正整数，取，有，故在上不一致收敛。 设， 显然 一致有界，单调，在上一致收敛于0，由狄利克雷判别法，知在上一致收敛，但非绝对收敛。七 、1 、证明 用反证法，假若存在，使得，由，存在，有，从而存在，有，这与条件矛盾，所以结论成立。 2 、证明 设，由，于是存在，有，即，八 证明 设，对任意，在上一致收敛于，所以由函数列积分的控制收敛定理， .九 证明 由条件可知，在内达到最大值，存在，使得，存在，使得，存在，使得，得，存在，使得，得.南京大学2007年数学分析考研试题一、（30分）举例1、举一个极限点（凝聚点）在区间上稠密的可数集.2、举一个有振动间断点的函数.3、举一个连续但不是一致连续的函数.4、举一个可逆的可微函数，其逆函数不可微.5、举一个非零的可微函数，它在某一点的任意阶导数均为零.6、举一个Riemann不可积的函数.7、举一个非负函数，它在上积分收敛，但极限不存在.8、举一个在上定义的二元函数，它分别对于变量，连续，但不是连续的二元函数.9、举一个偏导数存在，但不可微的二元函数.10、举一个收敛但不绝对收敛的数项级数.二、（10分）假设一元函数一阶连续可导.令，计算.三、（10分）研究一元函数的极值点、零点，并画出草图.四、（10分）计算积分.五、（10分）计算积分，其中S为四面体的边界曲面.六、（10分）计算二重积分，其中D为圆域.七、（10分）设函数在区间二阶连续可微，且，.证明，.八、（10分）设，.证明：级数收敛的充分必要条件是级数收敛.九、（15分）设是上的非负连续函数.对，级数在上一致收敛到.若有限.证明：（1）收敛，且；(2)若令，则在上一致收敛到.十、（10分）设为二元连续函数.证明存在两个不同的点，使得.十一、（15分）（1）设连续，试证明，其中.（2）利用（1）或直接计算积分，其中S是球面，且积分是沿球面外侧而取的.十二、（10分）设为的向量值函数，且满足条件，这里是上的标准范数.证明可逆，且其逆映射也是的.南京大学2007年数学分析考研试题解答二、解 ，。四、解 ，于是 。五、，其中是四面体的边界；解曲面由四部分组成，； ；对曲面，故 .六、解 ，七、 证明 当时，显然成立； 对任何，有，于是。结果得证。八、1、设是单调递增的正数列，证明：（1）如果有界，则收敛；（2） 如果无界，则发散。证明 因为是单调递增的正数列，所以；，是正项级数；（1）如果有界，根据单调有界原理，存在有限（），从而收敛，由，得收敛；或者 由，得，有界，所以收敛。（2） 如果无界，则有，方法一，对任意大的，然后取充分大，就可使上式成立，于是不是基本列，故发散。方法二 因为 ，从而发散，若不收敛于1，则发散，若收敛于1，则有，（充分大），于是发散。八、2、 设是单调递增的正数列，证明：（1）如果有界，则收敛；（2） 如果无界，则发散。证明 因为是单调递增的正数列，所以；，是正项级数；（1）如果有界，根据单调有界原理，存在有限（），从而收敛，由，得收敛；（1） 如果无界，则有，方法一，对任意大的，然后取充分大，就可使上式成立，于是不是基本列，故发散。方法二 因为 ，从而发散。九、证明 （1）设，在上连续。对每一，则有单调递增，由于对，级数在上一致收敛到，于是在连续，从而在上收敛于，在连续，对，有，令，则有，收敛，但未必有。反例 级数的每一项都在区间上非负且连续，对，数在上一致收敛到，且有，尽管收敛，但 。和函数仅在上连续，在处不连续。级数在上不一致收敛。此题条件应改为：设是上的非负连续函数.对，级数在上一致收敛到，且有限，若。 证明 在上一致收敛到.（2）显然在连续，单调递增，在上收敛于，根据狄尼定理，知在上一致收敛于。十、证明 设为连续函数，则对任意，是连续的周期为函数。令，则有，若，则结论得证；若，则，由连续函数的零点定理，存在，使得，由此结论的证。十一、（1）、证明 取新坐标系，其中原点不变，平面即为，轴垂直于该面，点到平面的距离为；点在中的坐标为， 选取正交变换 ， ， ， 球域，变换为，在变量替换下，公式左端的积分可写为 ； （2）解 利用高斯公式，知 。十二、证明 显然，对于任意，有，是单射，所以存在，由，知连续，由，得对任意实数向量,有，在中令，取极限，则有得，任何,从而必有，可逆，由隐函数组存在定理，所以存在，且是连续可微的。南京大学2008年数学分析考研试题一 设为上的周期函数，且，证明恒为0。二 设定义在上的二元函数关于，的偏导数均恒为零，证明为常值函数。三 设为上的一致连续函数，且， 问：是否为连续函数？若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。四 是否存在区间上的数列，使得该数列的极限点（即聚点）集为，把极限点集换成，结论如何？请证明你的所有结论。五 设为上的非负连续函数，且，问是否在上有界? 若答案为“是”，请给出证明；若答案为“否”，请给出反例。六 计算由函数和的图像在平面上所围成区域的面积。七 计算积分。八 计算积分，其中为如下区域：， 为正常数。九 设，证明：级数是收敛的。十 方程在附近决定了隐函数，求的值。十一 求函数在约束条件，下的极值，并判断极值的类型。十二 设，且，证明：。十三 设为上的连续函数，且对任意正整数，均有 ，证明：为常值函数。南京大学2008年数学分析考研试题解答一 证明 设的周期为，则有，由条件知， 结论得证。二 证明 因为，在上连续，对任意，有，所以，即为常值函数。三 解 未必为连续函数。反例：，在上连续，又，所以在上一致连续，显然在上不连续。四 解（1）存在。取中的有理数形成的点集，则有。（2）不存在。假若存在，使得，由于是闭集，而为开集，矛盾，所以这样的点列不存在。五 未必有在上有界，未必有。六 解 显然两曲线的交点横坐标为，。七 解 显然这个二重广义积分是收敛的。由，。八 解 十 解，。十一 解 ，。十二 证明 ，于是，故有。十三 证明 作函数，是周期为的偶函数，当时，则在上连续，在可积。，在中收敛于，由在上连续，知，即得，在上为常值函数。南京大学2009年数学分析考研试题1 开区间内的有理数能否按照从小到大的顺序排成一列，请说明理由。2 若级数收敛，则是否有收敛，是请证明；否请举反例。3 设，求。4 求。5 若函数在上可导，则是否一定有界，是请证明；否请举反例。6 函数连续，且有唯一的极值点，证明：这个唯一的极值点一定是最值点。7 函数在上有二阶导数，求证：，。8 函数是一个函数，计算 。9 计算，其中是八分之一球面，方向朝外。10 、已知是上有界变差函数，求证：，其中是的傅里叶系数。南京大学2009年数学分析考研试题解答1 解 尽管中的有理数的个数是可数的，但中的有理数不能按从小到大的顺序排成一列，理由如下：（1）由于中无最小的有理数，也无最大的有理数；（2）用反证法，假若中的有理数按由小到大的顺序排成了一列 ，中应没有有理数了，而中仍有有理数，矛盾。2 解 由级数收敛，未必退出收敛。反例：设，显然收敛，但发散。3 解 设则有，由夹逼定理，知。4 解 。5 解 由在上可导，即在上存在，但未必在上有界。反例：，在上无界。6 证明 不妨设是的唯一的极小值点，则存在，当时，有 ，我们要断言，对所有，。用反证法，假若存在，使得，不妨设，由连续函数的介值性，存在，使得，在的内部达到最大值，因而也是极大值，这与有唯一性的极值点相矛盾，所以