决胜中考——探索性数学问题0324考试.doc

初中数学开放性探究性试题及解题策略瑞金市壬田初中 谢清灵个人邮箱: QQ:1084733389 电话着基础教育课程改革和素质教育的全面推进,近几年在初中数学教学中和各省市的中考题中,出现了一批符合学生年龄特点和认知水平设计优美个性独特的开放题开放题打破传统模式,构思新颖,使人耳目一新数学开放题被认为是当前培养创新意识创造能力的最富有价值的数学问题,加大数学开放题在中考命题中的力度,是应试教育向素质教育转轨的重要体现,对发挥学生主体性方面确实具有得天独厚的优势,是培养学生主体意识的极好材料一数学开放题的概述1关于数学开放题的几种论述:所谓开放性试题:是指那些条件不完善,结论不明确不惟一,解法无限制的一类试题它是相对于传统型试题而言的两者的主要区别在于:传统型试题的条件是完备的,结果是确定的(唯一的):而开放性试题则是,要么条件不完备,要么结论不确定不惟一,需要解题者自己去探索.主要有如下的论述:(1)答案不固定或者条件不完备的习题,我们称为开放题;(2)开放题是条件多余需选择条件不足需补充或答案不固定的题;(3)有多处正确答案的问题是开放题这类问题给予学生以自己喜欢的方式解答问题的机会,在解题过程中,学生可以把自己的知识技能以各种方式结合,学生可以把自己的知识技能以各种方式结合,去发现新的思想方法;(4)答案不唯一的问题是开放性的问题;(5)具有多种不同的解法,或有多种可能的解答的问题,称之为开放题;(6)问题不必有解,答案不必唯一,条件可以多余,称之为开放题正因如此,开放性试题有利于学生的创造性思维的培养,更有利于学生素质的提高,之所以越来越受到命题者的青睐2数学开放题的基本类型:大概包括以下几种:(1)条件开放型这类问题一般是由给定的结论,反思,探索应具备的条件,而满足结论的条件并不唯一A DC EB1 2例1如图,AB=DB,1=2,请你添加一个适当的条件,使ABCDBE,则需添加的条件是(2)结论开放型这类题目就是在给定的条件下,探索响应的对象是否存在它有结论存在和结论不存在两种情况其基本解题方法是:假设存在,演绎推理,得出结论,从而对是否存在做出准确的判断DBCA例2如图,O的直径AB为6,P为AB上一点,过点P作O的弦CD,连结ACBC,设BCD=mACD,是否存在正实数m,使弦CD最短?如果存在,请求出m的值;如果不存在请说明理由简析:假设存在正实数m,使弦CD最短,则有CDAB于P,从而cosPOD=OP:OD, 因为,AB=6,所以cosPOD=30于是ACD=15,BCD=75,故m=5(3)策略开放性类型解题策略(或方法)有多种,可根据问题情景寻求解法的一类问题例3计算:,学生可能出现以下几种方法方法1:直接通分,相加后再约分方法2:原式=方法3:原式=.方法1是常规方法;方法2体现的是一种化归思想,但也不简单;方法3转化为一些互为相反数的和来计算,显然新颖简便(4)综合开放性类型(组合开放型)也叫条件结论同时开放试题条件结论都不全或未知,需根据问题情景补充条件和结论(这类型的试题的开放度大,相应难度高,突出考查的是寻求过程的多样性,解题的核心是怎样通过题设条件去联想类比归纳和猜想结论,追求的是解决实际问题的数学思想和方法的多样性)此外,设计开放型举例开放型实践开放型信息开放型(限于篇幅不举例子)还有综合开放型情境开放型等这些开放题的条件问题变化不定,有的条件隐蔽多余,有的结论多样,有的解法丰富等二开放题具有不同于封闭题的显著特点(1)数学开放题内容具有新颖性,条件复杂结论不定解法灵活无现成模式可套用题材广泛,贴近学生实际生活,不像封闭性题型那样简单,靠记忆套模式来解题(2)数学开放题形式具有多样性生动性,有的追溯多种条件,有的追溯多种条件,有的探求多种结论,有的寻找多种解法,有的由变求变,体现现代数学气息,不像封闭性题型形式单一的呈现和呆板的叙述(3)数学开放题解决具有发散性,由于开放题的答案不唯一,解题时需要运用多种思维方法,通过多角度的观察想像分析综合类比归纳概括等思维方法,同时探求多个解决方向(4)数学开放题教育功能具有创新性,正是因为它的这种先进而高效的教育功能,适应了当前各国人才竞争的要求三开放探索性试题备考策略:(一)数与式的开放题此类题常以找规律的阅读题形式出现,解题要求能善于观察分析,归纳所提供的材料,猜想其结论例题:观察下列等式:9-1=8 16-4=12 25-9=16 36-16=20 这些等式反映出自然数间的某种规律,设n表示自然数,用关于n的等式表示出来: 策略小结:此类“猜想性”开放题要求能够从所给条件出发,通过观察试验分析归纳比较概括猜想探索出一般规律,解题的关键在于正确的归纳和猜想(二)方程开放题此类问题主要以方程知识为背景,探索方程有解的条件或某种条件解的情况,求字母参数的值例题:是否存在k,使关于x的方程9x2-(4k-7)x-6k2=0的两个实数根x1x2,满足|x1-x2|=10如果存在,试求出所有满足条件的k的值;若不存在,说明理由策略小结:此类“存在性”开放题,其解题的一般思路是先假定满足条件的结果存在,再依据有关知识推理,要么得到下面结果,肯定存在性;要么导出矛盾,否定存在性(三)函数开放题xyO-1此类题是以函数知识为背景,设置探索函数解析式中字母系数的值及关系,满足某条件的点的存在性等例题:已知二次函数y=ax2+bx+c(a0)的图像如图所示,问由此图像中所显示的抛物线的特征,可以得到二次函数的系数abc的哪些关系和结论分析:a0;即2a+3b=0;c= -1;策略小结:此类“图像信息”开放题,只有认真观察图像上所给出的各个数据及位置特征,灵活运用函数性质,才能找出所有的关系与结论,数形结合是解此类题的重要数学思想方法(四)几何开放题此类问题常以几何图形为背景,设置探索几何量间的关系或点线位置关系DOAF B COA DE B CF例题:如图1,四边形ABCD是O的内接四边形,A是弧BD的中点,过A点的切线与CB的延长线交于点E(1)求证:ABDA=CDBE(2)若点E在CB延长线上运动,点A在弧BD上运动,使切线EA变为割线EFA,其他条件不变,问具备什么条件使原结论成立?(要求画出示意图2注明条件,不要求证明)分析:此题第(2)小题是一道条件探索性问题其解法是“执果索因”,要得到ABDA=CDBE,即要得ABECDA,已有条件ABE=CDA,还需增加条件:BAE=ACD,或BF=AD,或BF=DA,或FABD,或BCF=ACD等策略小结:此类探索性试题,解答一般方法是“执果索因”,能画出图形要尽量画出图形,再结合图形逆向推导探索出需要增加的条件,为探索结论,可以作辅助线,对于结论未定的问题,也可反面思考,寻求否定结论的反例,达到目的(五)综合性开放题此类问题是以几何代数综合知识为背景,考查分析,推理能力,综合运用知识解题能力例题:如图,在ABC中,AB=BC=2,高BE=3,在BC边的延长线上取一点D,使CD=3(1)现有一动点P,由A沿AB移动,设AP=t,SPCD=S,求S与t之间的关系式及自变量的取值范围;(2)在(1)的条件下,当t=时,过点C作CHPD垂足为H;求证:关于x的二次函数y= -x+2-(10k)x+2k的图像与x轴的两个交点关于原点对称;(3)在(1)的条件下,是否存在正实数t,使PD边上的高CH=CD,如果存在,请求出t的值;如果不存在,请说明理由分析:(1)(2)略(4)假设存在实数根t,使得CH=CD,则CDH=30可推得BPD=90,则BP=BD=2.5AB,这与P在AB边上矛盾,故这样的P点不存在策略小结:此类综合性开放题,需要学生综合题设条件,通过观察,比较联想猜测推理判断等探索活动逐步得到结论,有时需分析运动变化过程,寻找变化中的特殊位置,即“动”中求“静”“一般”中见“特殊”,再探求特殊位置下应满足的条件,利用分类讨论思想,各个击破常见的开放题举例:例1:在多项式4x2+1中添加一个条件,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式是(只写出一个即可)分析:要使多项式4x2+1成为一个完全平方式,可添加一次项,也可添加二次项,还可添加常数项解:(1)添加4x可得完全平方式(2x+1)2 (2)添加-4x可得完全平方式(2x-1)2(3)添加-1可得完全平方式(2x)2 (4)添加-4x2可得完全平方式12例2:已知反比例函数,其图象在第一第三象限内,则k的值可为(写出满足条件的一个k的值即可)分析:对于反比例函数(是常数,0)当它的图象在第一第三象限时有0,所以本题中应该是-20,即2解:-20 2 即只要的值大于2就可以满足题目要求例3:已知:ABC内接于O,过点A作直线EF,如图,AB为直径,要使得EF是O的切线,还需添加的条件是:(只须写出三种情况) (1)(2)(3)分析:根据题目所给条件,要使得EF是O的切线,关键是找到ABEF的条件即可解决问题解:(1)CAE=B (2)ABEF (3)BAC+CAE=90 (4)C=FAB (5)EAB=BAF例4:已知一元二次方程有一个根为1,那么这个方程可以是(只需写出一个方程)分析:如果一元二次方程有解,则有两个解,题目给出方程有一个根为1,我们可以将此一元二次方程写成(x-1)(x+a)=0的形式,则问题可以解决总之,开放性问题变化无穷生动活泼灵活多样一改学生死搬硬套的解题模式,消除学生模仿死记解题的习惯,从不同角度对问题的深思熟虑,寻求多样性的解题方法,以上仅仅是笔者几年来教学的心结,有不完善的地方还需要今后的教学中不断探索实践,但我们的目标是坚定的,为培养开放型创造型人才而努力工作 动态几何问题动态几何类问题是近几年中考命题的热点,题目灵活多变,能够全面考查学生的综合分析和解决问题的能力有关动态几何的概念,在很多资料上有说明,但是没有一个统一的定义,在这里就不在赘述了本人只是用2010年的部分中考数学试题加以说明一知识网络动态几何涉及的几种情况 静态问题的难度最多也就是中等偏上,真正让人抓狂的永远是动态问题从历年中考来看,动态问题经常作为压轴题目出现,得分率也是最低的动态问题一般分两类,一类是代数综合方面,在坐标系中有动点,动直线,一般是利用多种函数交叉求解另一类就是几何综合题,在梯形,矩形,三角形中设立动点线以及整体平移翻转,对考生的综合分析能力进行考察所以说,动态问题是中考数学当中的重中之重,只有完全掌握,才有机会拼高分二真题精讲【例1】(2010,密云,)如图,在梯形中,梯形的高为.动点从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动;动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动.设运动的时间为(秒).(1)当时,求的值;(2)试探究:为何值时,为等腰三角形.【思路分析1】本题作为密云卷压轴题,自然有一定难度,题目中出现了两个动点,很多同学看到可能就会无从下手但是解决动点问题,首先就是要找谁在动,谁没在动,通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解对于大多数题目来说,都有一个由动转静的瞬间,就本题而言,M,N是在动,意味着BM,MC以及DN,NC都是变化的但是我们发现,和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC长度都是给定的,而且动态条件之间也是有关系的所以当题中设定MN/AB时,就变成了一个静止问题由此,从这些条件出发,列出方程,自然得出结果【解析】解:(1)由题意知,当运动到秒时,如图,过作交于点,则四边形是平行四边形.,. (根据梯形内辅助线的常用做法,我们将MN放在三角形内,将动态问题转化成平行时候的静态问题). (这个比例关系就是将静态与动态联系起来的关键) .解得.【思路分析2】第二问失分也是最严重的,很多同学看到等腰三角形,理所当然以为是MN=NC即可,于是就漏掉了MN=MC,MC=CN这两种情况在中考中如果在动态问题当中碰见等腰三角形,一定不要忘记分类讨论的思想,两腰一底一个都不能少具体分类以后,就成为了较为简单的解三角形问题,于是可以轻松求解【解析】(2)分三种情况讨论: 当时,如图作交于,则有即.(利用等腰三角形底边高也是底边中线的性质),解得. 当时,如图,过作于H.则,. 当时, 则. 综上所述,当或时,为等腰三角形.【例2】(2010,崇文)在ABC中,ACB=45.点D(与点BC不重合)为射线BC上一动点,连接AD,以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.(1)如果AB=AC.如图,且点D在线段BC上运动.试判断线段CF与BD之间的位置关系,并证明你的结论.(2)如果ABAC,如图,且点D在线段BC上运动.(1)中结论是否成立,为什么?(3)若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P,设AC=,CD=,求线段CP的长.(用含的式子表示) 【思路分析1】本题和上题有所不同,上一题会给出一个条件使得动点静止,而本题并未给出那个“静止点”,所以需要我们去分析由D运动产生的变化图形当中,什么条件是不动的由题我们发现,正方形中四条边的垂直关系是不动的,于是利用角度的互余关系进行传递,就可以得解【解析】:(1)结论:CF与BD位置关系是垂直; 证明如下:AB=AC ,ACB=45,ABC=45.由正方形ADEF得 AD=AF ,DAF=BAC =90, DAB=FAC,DABFAC , ACF=ABD.BCF=ACB+ACF= 90.即 CFBD.【思路分析2】这一问是典型的从特殊到一般的问法,那么思路很简单,就是从一般中构筑一个特殊的条件就行,于是我们和上题一样找AC的垂线,就可以变成第一问的条件,然后一样求解(2)CFBD.(1)中结论成立. 理由是:过点A作AGAC交BC于点G,AC=AG可证:GADCAF ACF=AGD=45 BCF=ACB+ACF= 90. 即CFBD【思路分析3】这一问有点棘手,D在BC之间运动和它在BC延长线上运动时的位置是不一样的,所以已给的线段长度就需要分情况去考虑到底是4+X还是4-X分类讨论之后利用相似三角形的比例关系即可求出CP.(3)过点A作AQBC交CB的延长线于点Q, 点D在线段BC上运动时,BCA=45,可求出AQ= CQ=4. DQ=4-x,易证AQDDCP, , ,. 点D在线段BC延长线上运动时,BCA=45,可求出AQ= CQ=4, DQ=4+x. 过A作交CB延长线于点G,则. CFBD,AQDDCP, , ,.【例3】(2010,怀柔)已知如图,在梯形中,点是的中点,是等边三角形.(1)求证:梯形是等腰梯形;(2)动点分别在线段和上运动,且保持不变.设求与的函数关系式;ADCBPMQ60(3)在(2)中,当取最小值时,判断的形状,并说明理由.【思路分析1】本题有一点综合题的意味,但是对二次函数要求不算太高,重点还是在考察几何方面第一问纯静态问题,自不必说,只要证两边的三角形全等就可以了第二问和例1一样是双动点问题,所以就需要研究在P,Q运动过程中什么东西是不变的题目给定MPQ=60,这个度数的意义在哪里?其实就是将静态的那个等边三角形与动态条件联系了起来.因为最终求两条线段的关系,所以我们很自然想到要通过相似三角形找比例关系.怎么证相似三角形呢? 当然是利用角度咯.于是就有了思路. 【解析】(1)证明:是等边三角形是中点 梯形是等腰梯形.(2)解:在等边中, (这个角度传递非常重要,大家要仔细揣摩) (设元以后得出比例关系,轻松化成二次函数的样子)【思路分析2】第三问的条件又回归了当动点静止时的问题由第二问所得的二次函数,很轻易就可以求出当X取对称轴的值时Y有最小值接下来就变成了“给定PC=2,求PQC形状”的问题了由已知的BC=4,自然看出P是中点,于是问题轻松求解(3)解: 为直角三角形当取最小值时,是的中点,而以上三类题目都是动点问题,这一类问题的关键就在于当动点移动中出现特殊条件,例如某边相等,某角固定时,将动态问题化为静态问题去求解如果没有特殊条件,那么就需要研究在动点移动中哪些条件是保持不变的当动的不是点,而是一些具体的图形时,思路是不是一样呢?接下来我们看另外两道题.【例4】已知正方形中,为对角线上一点,过点作交于,连接,为中点,连接.(1)直接写出线段与的数量关系;(2)将图1中绕点逆时针旋转,如图2所示,取中点,连接,.你在(1)中得到的结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明. (3)将图1中绕点旋转任意角度,如图3所示,再连接相应的线段,问(1)中的结论是否仍然成立?(不要求证明)【思路分析1】这一题是一道典型的从特殊到一般的图形旋转题从旋转45到旋转任意角度,要求考生讨论其中的不动关系第一问自不必说,两个共斜边的直角三角形的斜边中线自然相等第二问将BEF旋转45之后,很多考生就想不到思路了事实上,本题的核心条件就是G是中点,中点往往意味着一大票的全等关系,如何构建一对我们想要的全等三角形就成为了分析的关键所在连接AG之后,抛开其他条件,单看G点所在的四边形ADFE,我们会发现这是一个梯形,于是根据我们在第一讲专题中所讨论的方法,自然想到过G点做AD,EF的垂线于是两个全等的三角形出现了(1) (2)(1)中结论没有发生变化,即.证明:连接,过点作于,与的延长线交于点.在与中,. 在与中,. 在矩形中, 在与中,. 【思路分析2】第三问纯粹送分,不要求证明的话几乎所有人都会答出仍然成立但是我们不应该止步于此将这道题放在动态问题专题中也是出于此原因,如果BEF任意旋转,哪些量在变化,哪些量不变呢?如果题目要求证明,应该如何思考建议有余力的同学自己研究一下,笔者在这里提供一个思路供参考:在BEF的旋转过程中,始终不变的依然是G点是FD的中点可以延长一倍EG到H,从而构造一个和EFG全等的三角形,利用BE=EF这一条件将全等过渡要想办法证明三角形ECH是一个等腰直角三角形,就需要证明三角形EBC和三角形CGH全等,利用角度变换关系就可以得证了(3)(1)中的结论仍然成立. 【例5】(2010,朝阳)已知正方形ABCD的边长为6cm,点E是射线BC上的一个动点,连接AE交射线DC于点F,将ABE沿直线AE翻折,点B落在点B 处.(1)当=1 时,CF=_cm,(2)当=2 时,求sinDAB 的值;CADB(3)当= x 时(点C与点E不重合),请写出ABE翻折后与正方形ABCD公共部分的面积y与x的关系式,(只要写出结论,不要解题过程).【思路分析】动态问题未必只有点的平移,图形的旋转,翻折(就是轴对称)也是一大热点这一题是朝阳卷的压轴题,第一问给出比例为1,第二问比例为2,第三问比例任意,所以也是一道很明显的从一般到特殊的递进式题目同学们需要仔细把握翻折过程中哪些条件发生了变化,哪些条件没有发生变化一般说来,翻折中,角,边都是不变的,所以轴对称图形也意味着大量全等或者相似关系,所以要利用这些来获得线段之间的比例关系尤其注意的是,本题中给定的比例都是有两重情况的,E在BC上和E在延长线上都是可能的,所以需要大家分类讨论,不要遗漏【解析】(1)CF= 6 cm; (延长之后一眼看出,EAZY) (2) 如图1,当点E在BC上时,延长AB交DC于点M,图1 ABCF, ABEFCE, . =2, CF=3. ABCF,BAE=F.又BAE=B AE, B AE=F. MA=MF.设MA=MF=k,则MC=k -3,DM=9-k.在RtADM中,由勾股定理得:k2=(9-k)2+62, 解得 k=MA=. DM=.(设元求解是这类题型中比较重要的方法)图2 sinDAB=; 如图2,当点E在BC延长线上时,延长AD交B E于点N,同可得NA=NE.设NA=NE=m,则B N=12-m.在RtAB N中,由勾股定理,得m2=(12-m)2+62, 解得 m=AN=. B N=. sinDAB=. (3)当点E在BC上时,y=; (所求A B E的面积即为ABE的面积,再由相似表示出边长)当点E在BC延长线上时,y=. 【总结】 通过以上五道例题,我们研究了动态几何问题当中点动,线动,乃至整体图形动这么几种可能的方式动态几何问题往往作为压轴题来出,所以难度不言而喻,但是希望考生拿到题以后不要慌张,因为无论是题目以哪种形态出现,始终把握的都是在变化过程中那些不变的量只要条分缕析,一个个将条件抽出来,将大问题化成若干个小问题去解决,就很轻松了.为更好的帮助考生,笔者总结这种问题的一般思路如下:第一仔细读题,分析给定条件中那些量是运动的,哪些量是不动的针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立这种关系第二画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系如果没有静止状态,通过比例,相等等关系建立变量间的函数关系来研究第三做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,如本讲例5当中的比例关系意味着两种不一样的状况,是否能想到就成了关键探索性数学问题 探索是人类认识客观世界过程中最生动最活跃的思维活动,探索性问题存在于一切学科领域之中,在数学中则更为普遍. 习惯上,我们可以按照命题者对解答者的要求将数学问题分为两大类:一类是已知和结论都有确定要求的题型;另一类是已知与结论两者中至少有一个没有确定要求的题型;我们把后一类问题称为探索性问题. 因此,在初中数学中的“探索性”问题特征是:命题中缺少一定的题设或没有给出明确的结论,或解题思路及过程没有确定的形式和方法,解题时需要经过大胆地猜想推断补充,并加以计算或证明的这一类命题. 命题趋势 探索性数学问题在近几年的中考中频频出现;常出现的四大类型:规律探索型条件探索型结论探索型存在探索型等;江西中考试卷中多以一至两个小题和一个中等以上问题出现,分值约有614分;要求考生对问题进行观察分析比较概括;达到发现规律,或得出结论,或寻求使结论成立的条件,或探索数学对象存在可能性与结果的目的. 解题策略 探索性问题的解答必须利用题设进行分析比较归纳推理,或由条件去探索出不明确的结论;或由结论去探索未给予的条件;或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的数学规律.以下课案就近几年的中考试题,列举几例加以说明:目的是对各种探索性的问题进行归纳整合,帮助老师与同学们提高对探索性数学问题的分析思考及解答能力.【题组讲解】一基础练习【实现目标】:认识各类探索试题的基本特征与形式,初步掌握解决各类不同类型的探索问题的方法.1规律探索型 规律探索型问题是根据已知条件或所提供的若干个特例,通过观察类比归纳,揭示和发现题目所蕴含的数学本质规律与特征的一类探索性问题.解题策略是:常常利用特殊值(特殊点特殊数量特殊线段特殊位置等)进行归纳概括,从特殊到一般,从而得出规律.题1(2010四川攀枝花)如图,将边长为2的等边三角形沿x轴正方向连续翻折2010次,第1题图P1P3P2Oyx依次得到点P,P,PP.则点P的坐标是 .简析:观察预判每一个点P,P,P的坐标是(1,),(3, ), (5, ),可以递推得;因而P的坐标是(4019, ).变式:题2(2010广东肇庆,有改动)观察下列单项式: -a, 2a2, -4a3, 8a4,-16a5,按照此规律第n个单项式是 _ (n是正整数) . 简析:这一列单项式,观察每一序列号下单项式的符号系数字母的次数;符号满足奇数序号项为负偶数序号项为正;系数的绝对值是成2的自然数幂;字母a的次数是成正整数列递增;因而设定n为正整数,则答案为.02842462246844m6第2题图变式:题3(2010江苏盐城)填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,m的值是( ).A.38 B.52C.66 D.74 简析:观察这一系列正方形四方格028424622468441 2 3 4m6 1082(n-1)2nm2(n+1)中数字后,得出:右上的数字与左下的数字的积减去左上数字所得的差,即m=108-6=74;更为一般的方法:建立序列号123n;则有以下对应关系:左上方格的数字为2(n-1),右上的方格数字为2(n+1);左下方格的数字为2n,右下方格的数字是多少呢?,令n=4,代入即得;故选择D.第4题图变式:题4(2010山东日照)古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数,如图;例如: 他们研究过图1中的1,3,6,10,由于这些数能够表示成三角形,称其为三角形数;类似地,称图2中的1,4,9,16,这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( ).A.15 B.25 C.55 D.1225简析:图1的三角数,从第二个开始,有这样的规律:1=1,3=1+2,6=1+2+3,第n个三角数是;图2 中的正方形数从第二个开始,有这样的规律:第m个正方形数时,;比较ABCD四个数,仅有251225是正方形数(m分别等于535),检验25不是三角形数(n无整数解),而1225又是三角形数(此时n=35);故选择D.【变式意图】:变式试题T2T3和T4不仅是要考虑数与字母的变化特征,而且还要观察数的排列规律,同时又要考虑图形的特征表象;需要从纵横两个方面数形结合相互关联地比较观察猜想推理,获取与形成对每一个问题自身的数学本质特征与规律的认识,再进行严格地推理验证.【方法提炼】:特别注意:(1)一般写成竖式或单列形式进行对比分析;(2)注重纵横联系与数形结合;(3)关注自然数序列号与数据之间的联系.2条件探索型条件探索型问题是指在给定明确的结论而未给出确定的条件,需要采取证明推断去探索发现,并补充与完善使结论成立的条件的一类问题.解题策略是:从所给出的结论出发,采用逆推的办法,猜想出合乎要求的一些条件,并进行逻辑推理证明,从而寻找出满足结论的条件.ACBDFE第5题图题5(2010浙江金华)如图,在ABC中,D是BC边上的点(不与B,C重合),F,E分别是AD及其延长线上的点,CFBE.请你添加一个条件,使BDECDF (不再添加其它线段,不再标注或使用其他字母),并给出证明.(1)你添加的条件是: ;(2)证明: 简析:因为CFBE,所以FCDEBD.又因为FDCEDB,要证明BDECDF,只需要添加一组对应边相等即可.答案:(1)(或点D是线段BC的中点),中任选一个即可(2)以为例,进行证明:CFBE, FCDEBD.又,FDCEDB,BDECDF.变式:题6(2009山东东营)如图,在四边形ABCD中,已知AB与CD不平行,ABD=DCA,请你添加一个条件: ,使得加上这个条件后能够推出:ADBC且AB=CD.BCDAO第6题图简析:命题的结论很明显:四边形ABCD欲成为等腰梯形;现需探索补充使它成立的一个条件(有可能不唯一);可以先观察与已知条件ABD=ACD相关联的一对可能全等的三角形ABD与DCA,满足这种可能的添加条件有若干条;也可以从其他方面入手;可供添加的条件可以是以下的任选其一:解答:DAC=ADB,BAD=CDA,DBC=ACB,ABC=DCB,OB=OC,OA=OD;(任选其一).若添加条件为:BAD=CDA,可证明如下:在ABD与DCA中,已知ABD=DCA,且AD=DA,BAD=CDA,所以ABDDCA,可得到:AB=DC,BD=CA,ADB=DAC;进一步得到OA=OD,从而OC=OB;再得到ADB=DAC=ACB=DBC;最终得到ADBC.3结论探索型 结论探索型问题是指仅给出某种情境而没有明确指出结论,需要解题者去探索符合条件的数学结论的一类试题;这类探索问题的设问常以适合某种条件的结论“成立”“不成立”“是否成立”等语句加以表述,或直接问“有何结论”等.它与传统题的区别在于:探索问题的结论的过程往往也是解题过程.第7题图解题策略是:从剖析题意入手,充分捕捉题设的信息,执因索果,顺向推理或联想类比猜测等,获得所求结论(特别注意解答的多样性与反思和证明).题7 (2009甘肃定西)抛物线的部分图象如图所示,请写出与其关系式图象相关的两个正确结论: , .(直接采用已知数据的结论除外)简析:已知的是二次函数的图像,结合图像可读出对称轴方程抛物线与x轴y轴的交点坐标;通过计算推理可得到:因而从关系式图像两方面,可填的正确结论:;图像与x轴的另一个交点坐标(-3,0);解析式为方程有两个根;抛物线的顶点坐标(-1,4);该二次函数的最大值为4;当时,y随着x的增大而减少;若二次函数则有等等,任选两条均可.4探索存在型问题 探索存在型问题:是指在一定的前提条件下,需探索发现某种数学关系是否存在的一类问题;它往往以“是否存在”“是否有”“是否变化”等疑问句出现,以示结论成立与否有待判断.解题策略是:通常对结论作出肯定存在的假设,再按题设条件进行推理计算,若导出矛盾,则否定先前的假设,若推出合理的结论,则说明先前的假设成立. 题8:(2009江西样卷)在平面直角坐标系中,现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限,斜靠在两坐标轴上,点A(0,2),点C(-1,0),如图;抛物线经过点B.第8题图(1)求点B的坐标;(2)求抛物线的解析式;(3)在抛物线上是否还存在点P(点B除外),使ACP仍然是以AC为直角边的等腰直角三角形?若存在,求所有点P的坐标;若不存在,请说明理由.简析:(1)借助全等三角形,容易求得点B的坐标;(2)代入点A点C点B的坐标,抛物线的解析式还是可以求得的;(3)满足条件的点P仍需要在抛物线上, 假设这样的点P存在,思考过程中,考虑点P是否是点B 关于直线AC的轴对称点?考虑点P是否是关于线段AC 中点的中心对称点?(或者将等腰直角三角板ABC物化, 把它沿直线AC的翻折或绕线段AC的中点旋转180.)如此寻求到:求点P的方法与思路.解:(1) 过点B作,垂足为D, 又, =1,=2;点B的坐标为(-3,1);(2)抛物线经过点B(-3,1),则得到,解得,所以抛物线解析式为;(3)假设存在PQ两点,使得ACP是直角三角形:若以AC为直角边,点C为直角顶点;则延长至点,使得,得到等腰直角三角形,过点作,1=,;=2, =1, 可求得点P1(1,-1);经检验点P1(1,-1)在抛物线上,使得是等腰直角三角形;若以AC为直角边,点A为直角顶点;则过点A作,且使得,得到等腰直角三角形,过点P2作,同理可证;=2, = 1, 可求得点(2,1);经检验点(2,1)也在抛物线上,使得也是等腰直角三角形. (解法二:从中点坐标入手,点C是BP1的中点,由此可得点P1的坐标;四边形ABC P2是平行四边形,AC的中点Q也就是BP2的中点,由此可得点P2的坐标.)二能力提高【实现目标】掌握各类探索性问题入手解答的基本套路,能将较为复杂的问题各个击破,类比转化为较为熟悉或简单的问题;在解题的过程中注重数学思想方法的运用;如:研究几何的运动变化情境时,常常借助代数变量的思想来表达变化中的几何量;经常利用数形结合观点方程函数辩证统一的思想构通代数与几何两大板块,最终达到数学本质意义的化归与统一;用分类讨论的数学思想考虑问题的多变性与复杂性,减少失误;通过观察数学对象的独立性特殊性,猜想归纳抽象概括出具有更加一般性的数学规律,并注意条件的不同带来的数学变化和转化.经过这一阶段的学习演练之后,老师与同学们的思路会更为灵活与开阔,解题也会变得更加深刻与严密,数学思维与能力将获得有效的提升.题9(2009河南)如图,在RtABC中,ACB=90,B =60,BC=2.点O是AC的中点,过点O的直线l从与AC重合的位置开始,绕点O作逆时针旋转,交AB边于点D.过点C作CEAB交直线l于点E,设直线l的旋转角为. (1)当=_度时,四边形EDBC是等腰梯形,此时AD的长为_;当=_度时,四边形EDBC是直角梯形,此时AD的长为_;第9题图(2)当=90时,判断四边形EDBC是否为菱形?并说明理由.简析:第(1)问是典型的条件探索;在保证了CEAB的前提下,则四边形EDBC一定可能是梯形(EDBC除外);第 问:逆推分析:当EDB=B =60此时=30,四边形EDBC是等腰梯形,AD的长为1; 因为;同理第问:逆推分析:当EDB=90时,此时=60,四边形EDBC是直角梯形,AD的长为1.5;因为. (2)当=90时,四边形EDBC是菱形;=ACB=90,BC/ED;又CE/AB,四边形EDBC是平行四边形; 在RtABC中,ACB=90,B=60,BC=2;A=30,AB=4,AC=; AO=.在RtAOD中,A=30,AD=2.BD=2,BD=BC.又四边形EDBC是平行四边形,四边形EDBC是菱形.(提供解法二:第问:以斜边AB上的中线CM(设点M是斜边AB的中点)为辅助线,逆推分析:当EDCM时,EDCM且ED=BC; 此时=30,四边形EDBC是等腰梯形,AD的长为1;因为;同理第问:以斜边AB上的高线CH(设点H是垂足)为辅助线,逆推分析:当EDCH时,此时=60, 四边形EDBC是直角梯形,AD的长为1.5;因为.)(点评:本题的第2问又是结论探索型问题,顺应条件的变化与不同,做出正确的解答即可.)题10(2010福建南平,有改动)如图,一种电子游戏,电子屏幕上有一正六边形ABCDEF,点P沿直线AB从右向左移动,当出现:点P与正六边形六个顶点中的至少两个顶点构造成等腰三角形时,就会发出警报,则直线AB上会发出警报的点P有( ).第10题图A.9个 B.10个 C.11个 D.12个 简析:本题是一道探索结论的典型试题,并且符合条件的点P有多种可能,需要确定它的个数;为了探索本题的方便,不妨设正六边形ABCDEF的边长为则依据三角函数知识可得对角线,对角线; 因而在点P沿直线AB从右向左移动时:当时,此时的点与正六边形ABCDEF六个顶点中的点构造成等腰;当时,构造成等腰;当时,构造成等边和等腰;当时,构造成等腰;当点与点B重合时,构造成等腰和等边;当位于线段的中点时,构造成等腰;同理根据对称性,可推测在线段的延长线上,还存在这样的五个点.故选择答案C. 【引入几何画板动画演示,验证结论!】【方法提炼】:1注意分类讨论时的不重不漏;2利用了对称性的数学思想方法,使求解更简便,思考的过程中还可以通过平移方法来检验;3将原试题进行了改编,适当增加了它的思考性与难度! 题11(2010四川乐山)在ABC中,D为BC的中点,O为AD的中点,直线l过点O.过ABC三点分别做直线l的垂线,垂足分别是GEF,设AG=h1,BE=h2,CF=h3. (1)如图(11.1),当直线lAD时(此时点G与点O重合).求证:h2+h3= 2h1; (2)将直线l绕点O旋转,使得l与AD不垂直. 如图(11.2),当点BC在直线l的同侧时,猜想(1)中的结论是否成立?请你说明理由;h2h1EFGOCABDh3lh3h1h2EFlCABDO(G)Oh2h1h3FEGlCABD图（11.3）图（11.2）图（11.1） 如图(11.3),当点BC在直线l的异侧时,猜想h1h2h3满足什么关系.(只需写出关系,不要求说明理由)简析:(1)当直线lAD时,本图满足直角梯形的中位线性质,易得结论;(2)将直线l绕点O旋转,使得l与AD不垂直.此时的图形(11.2)依然通过辅助线转化至(11.1),继续运用直角梯形的中位线性质,容易得结论:;(3)抓住中点O不放,继续过点D作DHl,垂足为H,依然有DH=AG= h1;又知点D是线段BC的中点,连结FD并延长交线段BE于F1,构建三角形中位线图形,可得:.解答:(1)证明:BEl, CFl,四边形BCFE是梯形.又GDl,D是BC的中点,DG是梯形的中位线,BE+CF=2DG.又O为AD的中点,AG=DG,BE+CF=2AG.即.(2)成立.证明:过点D作DHl,垂足为H,AGO=DHO=Rt,AOG=DOH,OA=OD,AGODHO,DH=AG.又D为BC的中点,由梯形的中位线性质,得2 DH=BE+CF,即2 AG =BE+CF,成立.(3)猜想h1h2h3满足h1h2h3满足关系:.【引入几何画板动画演示,验证结论!】【方法提炼】:第(3)问是在感悟了前两问的猜想与推理的前提下,作出的合情推理;考查着学生的数学直觉能力与发现猜想能力;此处猜想时,需要有直觉的感知:估算正确图形下的线段的长短,再作出一种合乎逻辑的大胆猜测(为节约时间,不要求证明而已).三挑战中考【实现目标】接触到中考型探索性数学问题,需要做到认真审题分类思考,具体问题具体分析,针对不同的题型:或特殊探路,或逆推分析,或用数学思想方法研究分析转化.老师和同学们掌握了这些规律,并在练习中不断领悟,提高综合解决问题的能力,形成自己的数学思维和能力;同时还需要培养并掌握一定的应试技巧与心理素质,相信同学们一定能在中考中取得理想的数学成绩. 题12:(2010江西)如图,一根直立于水平地面上的木杆AB在灯光下形成影子,当木杆绕A按逆时针方向旋转直至到达地面时,影子的长度发生变化.设AB垂直于地面时的影长为AC(假定ACAB),影长的最大值为m,最小值为n,那么下列结论:mAC;m=AC;n=A